2020-2021学年5.3 导数在研究函数中的应用学案

5.3.1函数的单调性(1)      导学案

1.通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会数形结合思想，发展直观想象素养。

2.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运算素养。

重点： 理解函数的单调性与导数的正负之间的关系

难点： 运用导数判断函数的单调性

函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)正负的关系

定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)：

增 ；减

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数f (x)在区间(a，b)上都有f ′(x)＜0，则函数f (x)在这个区间上单调递减． (　　)

(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． (　　)

(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　　)

(4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f ′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．(　　)

一、    新知探究

在必修第一册中，我们通过图像直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等的性质。在本章前两节中我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化，能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？本节我们就来讨论这个问题。

问题1: 判断函数单调性的方法有哪些?

1.定义法：

2.图像法：

3.性质法:增+增→增，减+减→减， 增→减，复合函数单调性同增异减

4.导数法

问题2:图（1）是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间变化的函数 h(t)=-4.9t2+4.8t+11 图像. 图(2)是跳水运动员的速度v随时间t的变化的函数v(t)= -9.8t+4.8的图象，是函数h(t)的零点。

      运动员从起跳到最高点，及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？

观察图像可以发现

（1）从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是单调递增，相应地，相应的v(t)=h'(t)>0

（2）从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)是单调递减，相应地，v(t)=h'(t)<0

问题3:我们看到，函数h(t)的单调性与的正负有内在联系，那么，我们能否由的正负来判断函数h(t)的单调性呢？

对于高台跳水问题，可以发现：

当 时，函数的图像是“上升”的，

h(t)函数在上单调递增；

当 时，函数的图像是“下降”的，

 h(t)函数在上单调递减。

这种情况是否具有一般性呢？

问题4:观察下面一些函数的图像，探讨函数的单调性与导数的正负的关系。

从函数导数的几何意义理解函数的单调性与导数的正负之间的关系；

导数f (x0)表示函数 f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率

二、典例解析

例1.  利用导数判断下列函数的单调性:

（1） 

（2）

(3)

用解不等式法求单调区间的步骤

1确定函数fx的定义域；

2求导函数f′x；

3解不等式f′x＞0或f′x＜0，并写出解集；

4根据3的结果确定函数fx的单调区间.

跟踪训练1．（1）函数f (x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是(　　)

A．增函数　　　　B．减函数

C．先增后减      D．不确定

（2）求f (x)＝3x2－2ln x函数的单调区间：

例2.  已知导函数 的下列信息，试画出函数 的图象的大致形状.

当1 < x < 4 时, >0;

当 x > 4 , 或 x < 1时, 0;

当 x = 4 , 或 x = 1时, 0.

研究函数图象与其导函数图象之间的关系的着手点

研究一个函数图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素.对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零、在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.

跟踪训练2．（1）导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f (x)的图象可能是(　　)

　　　　　　　　　A　　　　B　　　　 C　　　　 D

（2）．已知函数f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)的单调递增区间是________．

1．设函数f (x)的图象如图所示，则导函数f ′(x)的图象可能为(　　)

2.已知函数y＝f (x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)

3．函数f (x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，2)           B．(0，3)

C．(1，4)             D．(2，＋∞)

4．函数f (x)＝ex－x的单调递增区间为________．

1）  函数的单调性与导数的正负的关系；

在某个区间（a，b）内，如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递增；

在某个区间（a，b）内，如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递减；2） 用导数判断函数单调性的步骤；

(1)求函数的定义域；(2)求f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)；即为f(x) 的单调增（或减）区间;

3）应用导数判断函数图象；

参考答案：

知识梳理

1．[解析]　(1)√　函数f (x)在区间(a，b)上都有f ′(x)＜0，所以函数f (x)在这个区间上单调递减，故正确．

(2)×　切线的“陡峭”程度与|f ′(x)|的大小有关，故错误．

(3)√　函数在某个区间上变化的快慢，和函数导数的绝对值大小一致．

(4)√　若f ′(x)≥0(≤0)，则函数f (x)在区间内单调递增(减)，故f ′(x)＝0不影响函数单调性．

[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√

学习过程

一、新知探究

二、    典例解析

例1.  解: (1) 因为, 所以

所以，函数在R上单调递增，如图（1）所示

典(2) 因为, 所以

所以，函数在 上单调递减，如图（2）所示

(3) 因为, ,所以

所以，函数在 ,上单调递增，如图（3）所示

跟踪训练1．A　[∵f (x)＝2x－sin x，∴f ′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，

∴f (x)在(－∞，＋∞)上是增函数．]

（2）[解]　(1)f (x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)，

f ′(x)＝6x－＝＝，

由x＞0，f ′(x)＞0，解得x＞.由x＞0，f ′(x)＜0，解得0＜x＜.

∴函数f (x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为，

单调递减区间为.

例2. 解: 当1 < x < 4 时, ,0 可知 在此区间内单调递增;

当 x > 4 , 或 x < 1时, 0; 可知 在此区间内单调递减;

当 x = 4 , 或 x = 1时, 0.

综上, 函数 图象的大致形状如右图所示.

跟踪训练2．（1）D　[当x＞0时，f ′(x)＞0，当x＜0时，f ′(x)＜0，所以函数f (x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，对照图象，应选D.]

（2）．(－1，2)和(4，＋∞)　[由y＝f ′(x)的图象及导数的符号与函数单调性的关系可得y＝f (x)的大致图象如图所示．所以函数f (x)的单调递增区间是(－1，2)和(4，＋∞)．]

达标检测

1．C　[∵f (x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上是减函数，在(1，4)上为增函数，∴当x＜1或x＞4时，f ′(x)＜0；当1＜x＜4时，f ′(x)＞0.故选C.]

2.B

2.法一：由函数y＝f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象自左到右先增后减，可知函数y＝f (x)图象的切线的斜率自左到右先增大后减小．

法二：由于f ′(x)＞0恒成立，则根据导数符号和函数单调性的关系可知，f (x)单调递增，即图象从左至右上升．四个图象都满足．

由于当x＞0时，f ′(x)＞0且越来越小，则函数值增加得越来越慢，图象呈现上凸状；当x＜0时，f ′(x)＞0且越来越大，故函数值增加得越来越快，图象呈现下凸状，可以判断B正确．故选B.]

3．D　[∵f ′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，由f ′(x)＞0得(x－2)ex＞0，∴x＞2.

∴f (x)的单调递增区间为(2，＋∞)．]

4． (0，＋∞)　[∵f (x)＝ex－x，∴f ′(x)＝ex－1.由f ′(x)＞0得，ex－1＞0，

即x＞0.∴f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)．]