人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课时作业

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专题05　含参函数的单调性讨论
【方法总结】
分类讨论思想研究函数的单调性
讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主．讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类：
(1)最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；
(2)导函数是否有变号零点，即“有没有”；
(3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内，即“在不在”；
(4)导函数的变号零点之间的大小关系，即“大不大”．
牢记：十二字方针“是不是，有没有，在不在，大不大”．
考点一　导主一次型
【例题选讲】
[例1]　已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．
解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－＝，令f′(x)＝0，得x＝a，
①当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
②当a>0时，x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．
【对点训练】
1．已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．讨论函数f(x)的单调性．
1．解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝1，
当a>0时，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
当a<0时，f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减；
当a＝0时，f(x)为常函数．
2．已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．
2．解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝ (x>0)，
①当a≤0时，f′(x)＝－a>0，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当a>0时，令f′(x)＝－a＝＝0，可得x＝，
当00；当x>时，f′(x)＝<0，
故函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．
综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．
考点二　导主二次型
【方法总结】
此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：
(1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数．如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论；
(2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果x1，x2都在定义域内，则讨论个零点x1，x2的大小；如果二次三项式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式Δ≤0和Δ>0分类讨论；
【例题选讲】
命题点1　是不是＋有没有＋在不在
[例2]　(2021·全国乙节选)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1．讨论f(x)的单调性．
解析　由题意知f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－2x＋a，对于f′(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a)．
①当a≥时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增；
②当a<时，令f′(x)＝0，即3x2－2x＋a＝0，解得x1＝，x2＝，
令f′(x)>0，则x 所以f(x)在(－∞，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增．
综上，当a≥时，f(x)在R上单调递增；当a<时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
[例3]　(2018·全国Ⅰ节选)已知函数f(x)＝－x＋alnx，讨论f(x)的单调性．
解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－－1＋＝－．
①当a≤2时，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时，f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②当a＞2时，令f′(x)＝0，得x＝或x＝．
当x∈∪时，f′(x)＜0；当x∈时，f′(x)＞0．
所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增．
综合①②可知，当a≤2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a＞2时，f(x)在，上单调递减，在上单调递增．
[例4]　设函数f(x)＝alnx＋，其中a为常数．讨论函数f(x)的单调性．
解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝＋＝．
当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)．
(1)当a＝－时，Δ＝0，f′(x)＝≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
(2)当a＜－时，Δ＜0，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
(3)当－＜a＜0时，Δ＞0．设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，
则x1＝，x2＝．
由x1＝＝＞0，所以
x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；
x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；
x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．
综上可得：当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－＜a＜0时，f(x)在，上单调递减，在上单调递增．
【对点训练】
3．(2020·全国Ⅲ节选)已知函数f(x)＝x3－kx＋k2．讨论f(x)的单调性．
3．解析　由题意，得f′(x)＝3x2－k，
当k≤0时，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当k＞0时，令f′(x)＝0，得x＝±，
令f′(x)＜0，得－＜x＜，令f′(x)＞0，得x＜－或x＞，
所以f(x)在上单调递减，在，上单调递增．
4．已知函数f(x)＝x－＋1－alnx，a>0．讨论f(x)的单调性．
4．解析　由题意知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，导函数f′(x)＝1＋－＝.
设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.
①当Δ<0，即00都有f′(x)>0．此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．
②当Δ＝0，即a＝2 时，仅对x＝有f′(x)＝0，对其余的x>0都有f′(x)>0．
此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．
③当Δ>0，即a>2时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝，x2＝，0 x∈(0，x1)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；
x∈(x1，x2)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；
x∈(x2，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．
此时f(x)在上单调递增，在(，)上单调递减，在上单调递增．
5．已知函数f(x)＝(1＋ax2)ex－1，当a≥0时，讨论函数f(x)的单调性．
5．解析　由题易得f′(x)＝(ax2＋2ax＋1)ex，
当a＝0时，f′(x)＝ex＞0，此时f(x)在R上单调递增．
当a＞0时，方程ax2＋2ax＋1＝0的判别式Δ＝4a2－4a．
①当0＜a≤1时，Δ≤0，ax2＋2ax＋1≥0恒成立，所以f′(x)≥0，此时f(x)在R上单调递增；
②当a＞1时，令f′(x)＝0，解得x1＝－1－，x2＝－1＋．
x∈(－∞，x1)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；
x∈(x1，x2)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；
x∈(x2，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．
所以f(x)在和上单调递增，
在上单调递减．
综上，当0≤a≤1时，f(x)在R上单调递增；当a＞1时，f(x)在和上单调递增，在上单调递减．
命题点2　是不是＋在不在＋大不大
[例5]　已知函数f(x)＝lnx＋ax2－(2a＋1)x．若a>0，试讨论函数f(x)的单调性．
解析　因为f(x)＝ln x＋ax2－(2a＋1)x，所以f′(x)＝＝．
由题意知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝0得x＝1或x＝，
若<1，即a>，由f′(x)>0得x>1或0 即函数f(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减；
若>1，即00得x>或0 即函数f(x)在(0，1)，上单调递增，在上单调递减；
若＝1，即a＝，则在(0，＋∞)上恒有f′(x)≥0，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
综上可得，当0时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
[例6]　已知函数f(x)＝x2e－ax－1(a是常数)，求函数y＝f(x)的单调区间．
解析　根据题意可得，当a＝0时，f(x)＝x2－1，函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．
当a≠0时，f′(x)＝2xe－ax＋x2(－a)e－ax＝e－ax(－ax2＋2x)．
因为e－ax>0，所以令g(x)＝－ax2＋2x＝0，解得x＝0或x＝．
(1)当a>0时，函数g(x)＝－ax2＋2x在(－∞，0)和上有g(x)<0，即f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减；函数g(x)＝－ax2＋2x在上有g(x)≥0，即f′(x)≥0，函数y＝f(x)单调递增．
(2)当a<0时，函数g(x)＝－ax2＋2x在和(0，＋∞)上有g(x)>0，即f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增；函数g(x)＝－ax2＋2x在上有g(x)≤0，即f′(x)≤0，函数y＝f(x)单调递减．
综上所述，当a＝0时，函数y＝f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)；
当a>0时，函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，，单调递增区间为；
当a<0时，函数y＝f(x)的单调递增区间为，(0，＋∞)，单调递减区间为．
[例7]　已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋－ax＋2(a∈R)．讨论f(x)的单调性．
解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝－．令f′(x)＝0，得x＝1或x＝．
当a≤0时，ax－1＜0，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；
当0＜a＜1时，f(x)在(0，1)上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；
当a＝1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当a＞1时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
[例8]　已知函数f(x)＝aln(x＋1)－ax－x2，讨论f(x)在定义域上的单调性．
解析　f′(x)＝－a－2x＝，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－，又f(x)的定义域为(－1，＋∞)，
①当－≤－1，即当a≥0时，
若x∈(－1，0)，f′(x)＞0，则f(x)单调递增；若x∈(0，＋∞)，f′(x)＜0，则f(x)单调递减．
②当－1＜－＜0，即－2＜a＜0时，
若x∈，f′(x)＜0，则f(x)单调递减；若x∈，f′(x)＞0，则f(x)单调递增；
若x∈(0，＋∞)，f′(x)＜0，则f(x)单调递减．
③当－＝0，即a＝－2时，f′(x)≤0，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．
④当－＞0，即a＜－2时，若x∈(－1，0)，f′(x)＜0，则f(x)单调递减；
若x∈，f′(x)＞0，则f(x)单调递增；若x∈，f′(x)＜0，则f(x)单调递减．
综上，当a≥0时，f(x)在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；当－2＜a＜0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；当a＝－2时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减；当a＜－2时，f(x)在(－1，0)上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
[例9]　(2016·山东)已知f(x)＝a(x－lnx)＋，a∈R．讨论f(x)的单调性．
解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－－＋＝．
当a≤0，x∈(0，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．
当a＞0时，f′(x)＝.
①若0＜a＜2，则＞1，当x∈(0，1)或x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．
②若a＝2，则＝1，在x∈(0，＋∞)内，f′(x)≥0，f(x)单调递增．
③若a＞2，则0＜＜1，当x∈或x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．
综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减；当0＜a＜2时，f(x)在(0，1)内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当a＝2时，f(x)在(0，＋∞)内单调递增；当a＞2时，f(x)在内单调递增，在内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．
【对点训练】
6．已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋lnx，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性．
6．解析　函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax－(a＋1)＋＝＝．
①当01，∴x∈(0，1)和时，f′(x)>0；x∈时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在(0，1)和上单调递增，在上单调递减；
②当a＝1时，＝1，∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
③当a>1时，0<<1，∴x∈和(1，＋∞)时，f′(x)>0；x∈时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
综上，当0 当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>1时，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
7．已知函数f(x)＝x2eax＋1＋1－a(a∈R)，求函数f(x)的单调区间．
7．解析　f(x)＝x2eax＋1＋1－a(a∈R)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝x(ax＋2)eax＋1 ．
①当a＝0时，x>0，f′(x)>0；x<0，f′(x)<0，
所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)．
②当a>0时，x∈，f′(x)>0；x∈，f′(x)<0；x∈(0，＋∞)，f′(x)>0，
所以函数f(x)的单调递增区间为，(0，＋∞)，单调递减区间为．
③当a<0时，x∈(－∞，0)，f′(x)<0；x∈，f′(x)>0；x∈，f′(x)<0，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，，单调递增区间为．
8．已知函数f(x)＝(a－1)lnx＋ax2＋1，讨论函数f(x)的单调性．
8．解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＝．
(1)当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
(2)当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
(3)当0 则当x∈时，f′(x)<0；当x∈(＋∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在上单调递减，在(＋∞)上单调递增．
9．已知函数f(x)＝lnx＋，其中常数k>0，讨论f(x)在(0，2)上的单调性．
9．解　因为f′(x)＝－－1＝＝－(x>0，k>0)．
①当0k>0，且>2，所以当x∈(0，k)时，f′(x)<0，当x∈(k，2)时，f′(x)>0，
所以函数f(x)在(0，k)上是减函数，在(k，2)上是增函数；
②当k＝2时，＝k＝2，f′(x)<0在(0，2)上恒成立，所以f(x)在(0，2)上是减函数；
③当k>2时，0<<2，k>，所以当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0，
所以函数f(x)在上是减函数，在上是增函数．
综上可知，当0 减函数；当k>2时，f(x)在上是减函数，在上是增函数．
10．已知函数f(x)＝ln(x＋1)－，且1 10．解析　函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝，x>－1．
①当－1<2a－3<0，即1 当－10时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当2a－3 ②当2a－3＝0，即a＝时，f′(x)≥0，则f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．
③当2a－3>0，即 当－12a－3时，f′(x)>0，则f(x)在(－1，0)，(2a－3，＋∞)上单调递增．
当0 综上，当1 考点三　导主指对型
【例题选讲】
[例10]　已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，讨论函数f(x)的单调性．
解析　函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．
①若a＝0，则f(x)＝e2x在(－∞，＋∞)上单调递增．
②若a>0，则由f′(x)＝0，得x＝ln a．当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
③若a<0，则由f′(x)＝0，得x＝ln．当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，
f′(x)>0；故f(x)在上单调递减，在上单调递增．
[例11]　已知f(x)＝(x2－ax)lnx－x2＋2ax，求f(x)的单调递减区间．
解析　易得f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝(2x－a)ln x＋x－a－3x＋2a＝(2x－a)ln x－(2x－a)＝(2x－a)(lnx－1)，
令f′(x)＝0得x＝或x＝e．
当a≤0时，因为x＞0，所以2x－a＞0，令f′(x)＜0得x＜e，所以f(x)的单调递减区间为(0，e)．
当a＞0时，
①若＜e，即0＜a＜2e，
当x∈时，f′(x)＞0，当x∈时，f′(x)＜0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＞0，
所以f(x)的单调递减区间为；
②若＝e，即a＝2e，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，f(x)没有单调递减区间；
③若＞e，即a＞2e，当x∈(0，e)时，
f′(x)＞0，当x∈时，f′(x)＜0，当x∈时，f′(x)＞0，
所以f(x)的单调递减区间为．
综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，e)；当0＜a＜2e时，f(x)的单调递减区间为；当a＝2e时，f(x)无单调递减区间；当a＞2e时，f(x)的单调递减区间为．
【对点训练】
11．已知函数f(x)＝ex－ax－1的定义域为(0，＋∞)，讨论函数f(x)的单调性．
11．解析　∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a．易知f′(x)＝ex－a在(0，＋∞)上单调递增．
∴当a≤1时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a＞1时，由f′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a，∴当0＜x＜ln a时，f′(x)＜0，当x＞ln a时，f′(x)＞0，
∴f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
综上，当a≤1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞1时，f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．
12．已知函数f(x)＝(x2－2ax)ln x－x2＋2ax(a∈R)．
(1)若a＝0，求f(x)的最小值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
12．解析　(1)若a＝0，f(x)＝x2ln x－x2，定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2xln x＋x2×－x＝2xln x，
由f′(x)＞0可得x＞1，由f′(x)＜0可得0＜x＜1，
所以f(x)在(0，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增，所以f(x)的最小值为f(1)＝－．
(2)f′(x)＝(2x－2a)ln x＋(x2－2ax)·－x＋2a＝(2x－2a)ln x，
①当a≤0时，2x－2a＞0，由f′(x)＞0可得x＞1，由f′(x)＜0可得0＜x＜1，
此时f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；
②当0＜a＜1时，由f′(x)＞0可得0＜x＜a或x＞1，由f′(x)＜0可得a＜x＜1，
此时f(x)的单调递减区间为(a，1)，单调递增区间为(0，a)和(1，＋∞)；
③当a＝1时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
④当a＞1时，由f′(x)＞0可得0＜x＜1或x＞a，由f′(x)＜0可得1＜x＜a，
此时f(x)的单调递减区间为(1，a)，单调递增区间为(0，1)和(a，＋∞)．
综上所述：当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；
当0＜a＜1时，f(x)的单调递减区间为(a，1)，单调递增区间为(0，a)和(1，＋∞)；
当a＝1时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；
当a＞1时，f(x)的单调递减区间为(1，a)，单调递增区间为(0，1)和(a，＋∞)．
考点四　导主正余型
【例题选讲】
[例12]　(2017山东理)已知函数f(x)＝x2＋2cosx，g(x)＝ex·(cosx－sinx＋2x－2)，其中e是自然对数的底数．
(1)求函数g(x)的单调区间；
(2)讨论函数h(x)＝g(x)－af (x)(a∈R)的单调性．
解析　(1)g′(x)＝(ex)′·(cos x－sin x＋2x－2)＋ex(cos x－sin x＋2x－2)′
＝ex(cos x－sin x＋2x－2－sin x－cos x＋2)＝2ex(x－sin x)．
记p(x)＝x－sin x，则p′(x)＝1－cos x．
因为cos x∈[－1，1]，所以p′(x)＝1－cos x≥0，所以函数p(x)在R上单调递增．
而p(0)＝0－sin 0＝0，所以当x<0时，p(x)<0，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；
当x>0时，p(x)>0，g′(x)>0，函数g(x)单调递增．
综上，函数g(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．
(2)因为h(x)＝g(x)－af (x)＝ex(cos x－sin x＋2x－2)－a(x2＋2cos x)，
所以h′(x)＝2ex(x－sin x)－a(2x－2sin x)＝2(x－sin x)(ex－a)．
由(1)知，当x>0时，p(x)＝x－sin x>0；当x<0时，p(x)＝x－sin x<0．
当a≤0时，ex－a>0，所以x>0时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；x<0时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减．
当a>0时，令h′(x)＝2(x－sin x)(ex－a)＝0，解得x1＝ln a，x2＝0．
①若00，函数h(x)单调递增；
x∈(ln a，0)时，ex－a>0，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；
x∈(0，＋∞)时，ex－a>0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增．
②若a＝1，则ln a＝0，所以x∈R时，h′(x)≥0，函数h(x)在R上单调递增．
③若a>1，则ln a>0，所以x∈(－∞，0)时，ex－a<0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；
x∈(0，ln a)时，ex－a<0，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；
x∈(ln a，＋∞)时，ex－a>0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减；
当0 当a＝1时，函数h(x)在R上单调递增；
当a>1时，函数h(x)在(－∞，0)，(ln a，＋∞)上单调递增，在(0，ln a)上单调递减．
【对点训练】
13．(2017·山东)已知函数f(x)＝x3－ax2，其中参数a∈R．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cosx－sinx，讨论g(x)的单调性．
13．解析　(1)由题意得f′(x)＝x2－ax，所以当a＝2时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x，所以f′(3)＝3，
因此曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0．
(2)因为g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，
所以g′(x)＝f′(x)＋cos x－(x－a)sin x－cos x＝x(x－a)－(x－a)sin x＝(x－a)(x－sin x)．
令h(x)＝x－sin x，则h′(x)＝1－cos x≥0，所以h(x)在R上单调递增．
因为h(0)＝0，所以当x>0时，h(x)>0；当x<0时，h(x)<0．
①当a<0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，
当x∈(－∞，a)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(a，0)时，x－a>0，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(0，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．
②当a＝0时，g′(x)＝x(x－sin x)，当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
③当a>0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，
当x∈(－∞，0)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(0，a)时，x－a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(a，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．
综上所述，当a<0时，函数g(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递增，在(a，0)上单调递减；当a＝0时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a>0时，函数g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减．