高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用完美版ppt课件

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用完美版ppt课件，共17页。PPT课件主要包含了复习引入，函数的最值，fx3，连续不断，各极值，最大值，最小值，对应练习，1求函数定义域等内容，欢迎下载使用。

①如果在x0附近的左侧 f '(x)>0, 右侧f '(x)<0, 那么, f(x0)是极大值; ②如果在x0附近的左侧 f '(x)<0, 右侧f '(x)>0, 那么, f(x0)是极小值.
2.在可导函数中，导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件.极值只能在函数的导数为零且在其附近左右两侧的导数异号时取到.
3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.
1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:
观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象，你能找出函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值、最小值吗？
发现图中____________是极小值， 是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。
思考：如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(a)是最大值呢？
f(x1)、f(x3)、f(x5)
f(x2)、f(x4)、f(x6)
函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值与最小值．
探究：观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、最小值吗？ 如果有，最大值和最小值分别是什么？
最大值：f(b);最小值：f(a)
最大值：f(x3);最小值：f(x4)
函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大（小）值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
例1:求函数y=x4－2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.
从上表可知,最大值是13,最小值是4.
1、求出所有导数为0的点；
2．求函数f (x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)上的____；(2)将函数y＝f (x)的______与____处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是______，最小的一个是______．
求函数的最值时,应注意以下几点:
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概 念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.
(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 但取最值的自变量不一定有一个，而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值(或极小值).
(4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.
(5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较.
求下列函数在所给的区间上的最大值与最小值。
（1）y=x-x3 x∈[0,2]
（2）y=x3+x2 -x x∈[-2,1]
【解题回顾】在求函数f(x)在[a,b]最值过程中，判断极值比较麻烦，可改求可导函数在(a,b)内导数为0点函数值，再把这些值与函数在端点的值比较即可。
一般地，求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(5).将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
我们知道，如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值；那么把闭区间[a,b]换成开区间（a,b）是否一定有最值呢？
函数f(x)有一个极值点时，极值点必定是最值点。
有两个极值点时，函数有无最值情况不定。
例2. a为常数,求函数f(x)=-x3+3ax(0≤x≤1)的最大值.
解:f'(x)=-3x2+3a=-3(x2-a).若a≤0,则f'(x)≤0,函数f(x)单调递减,所以当x=0时,有最大值f(0)=0.
反思感悟求解函数在区间上的最值,需注意以下几点(1)对函数进行准确求导,并检验f'(x)=0的根是否在给定区间内.(2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值.注意由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化,从而导致最值的变化,所以解决含参数的函数最值问题常常需要分类讨论,并结合不等式的知识进行求解.(3)分类讨论后比较极值与端点函数值的大小,确定最值.
练习：已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a),求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
例3设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).(1)求f(x)的最小值h(t);(2)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围.
分析:(1)利用配方法,即可求出二次函数f(x)的最小值h(t);(2)构造函数g(t)=h(t)-(-2t+m),只需使g(t)在(0,2)上的最大值小于零即可求得m的取值范围.
解:(1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0),∴当x=-t时,f(x)取最小值,即f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g'(t)=-3t2+3=0,得t=1或t=-1(不合题意,舍去).当t变化时,g'(t),g(t)的变化情况如下表:
∴g(t)在(0,2)内有极大值g(1)=1-m.h(t)<-2t+m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立,即等价于1-m<0.∴m的取值范围为(1,+∞).
延伸探究1若将本例(2)的条件改为“存在t∈[0,2],使h(t)<-2t+m成立”,则实数m的取值范围如何求解?
解:令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g'(t)=-3t2+3=0,得t=1或t=-1(不合题意,舍去).当t变化时,g'(t),g(t)的变化情况如下表:
∴g(t)在[0,2]上有最小值g(2)=-3-m,存在t∈[0,2],使h(t)<-2t+m成立,等价于g(t)的最小值g(2)<0.∴-3-m<0,∴m>-3,所以实数m的取值范围为(-3,+∞).
延伸探究2若将本例(2)的条件改为“对任意的t1,t2∈[0,2],都有h(t1)<-2t2+m”,求实数m的取值范围.
1.函数 在[-3，4]上的最小值为（ ）A、-64 B、-51 C、-56 D、-612.函数 在上的最大值为（ ） A、2+2 B、4 C、 D、5 3．函数 在 时的最大、最小值分别是 。