人教A版 (2019)选择性必修 第二册导数的运算优秀教案设计

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1．函数的导函数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】简单复合函数的导数
【分析】
根据复合函数的求导法则即可求解.
【详解】由得，
故选：B
2．已知函数，则在处的瞬时变化率为（ ）
A．1B．0C．D．
【答案】C
【知识点】简单复合函数的导数、瞬时变化率的概念及辨析
【分析】由瞬时变化率定义可知，直接求即可.
【详解】由题可知，则
故选：C
3．函数的导数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】简单复合函数的导数
【解析】根据复合函数的求导法则可求得结果.
【详解】
.
故选：C
4．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】求某点处的导数值、简单复合函数的导数
【分析】根据题意，求得，令，即可求解.
【详解】由函数，
可得，
令，可得，所以.
故选：C.
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】简单复合函数的导数、导数（导函数）概念辨析
【分析】根据导数的定义以及复合函数求导法则可求出结果.
【详解】因为，所以，
.
故选：D
6．已知是奇函数，则在处的切线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、简单复合函数的导数、由奇偶性求参数
【分析】根据奇函数定义求出，再由导数的几何意义求出切线斜率，即可得解.
【详解】因为为奇函数，则，
可得，
注意到，可知不恒成立，
则，即，可得，
所以，
则，故，
可知切点坐标为，切线斜率为2，
所以切线方程为.
故选：C.
7．已知函数和点，则导数 ；的图像在点处的切线的方程是 .
【答案】
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、简单复合函数的导数、导数的加减法
【分析】本题首先可以根据导函数的求法得出，然后求出，最后通过直线的点斜式方程即可求出的图像在点处的切线的方程.
【详解】因为，
所以，
因为，，
所以的图像在点处的切线的方程是，即，
故答案为：；.
【点睛】本题考查函数的求导以及函数上一点的切线方程，考查导函数的几何意义，考查直线的点斜式方程，考查计算能力，是简单题.
8．关于函数头有如下四个命题：
①函数的图象是轴对称图象；
②当时，函数有两个零点；
③函数的图象关于点中心对称；
④过点且与曲线相切的直线有两条．
其中所有真命题的序号是 （填上所有正确的序号）．
【答案】①③④．
【知识点】利用导数研究函数的零点、简单复合函数的导数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、判断或证明函数的对称性
【分析】对①求出导函数是二次函数，可直接判断；对②利用导数研究函数图象与性质即可判断与轴的交点个数；对③根据对称中心的概念即可判断；对④根据题意转化为有两个解，即可求解.
【详解】因为，所以对称轴是，故①正确；
因为时，所以在上单调递减；时或，所以在上单调递增，
所以的极大值为，极小值为，因为，
则函数有1个零点，故②错误；
，，
所以函数函数的图象关于点中心对称，故③正确；
设切点为，所以，
所以切线方程为，
因为经过点，所以，
即，解得或，此时方程有两个解，
过点且与曲线相切的直线有两条，故④正确；
故答案为：①③④．
9．求下列函数的导数：
(1)；(2)；(3)；
(4)；(5)；(6).
【答案】(1);(2);(3)
(4);(5);(6)
【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、简单复合函数的导数
【分析】结合导数的四则运算，利用复合函数求导法则求解各个函数即可.
【详解】（1）令，则.
.
（2）令，则，
.
（3）
,.
（4）令，则，
则.
（5），.
（6）.
能力提升
10．设函数的导函数为，则（ ）
A．B．C．7D．25
【答案】A
【知识点】求某点处的导数值、简单复合函数的导数
【分析】利用导数的运算法则求出，再求出函数值即可.
【详解】函数，求导得，
，
所以．
故选：A
11．已知函数，若的图象在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，则（ ）
A．B．2C．±2D．
【答案】D
【知识点】导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，再求出切线与坐标轴的交点坐标，再根据面积列式可求出结果.
【详解】因为，所以.
因为，所以的图象在处的切线方程为.
因为切线与坐标轴能围成三角形，所以，
令，得，令，得，
所以，所以.
故选：D
12．若，直线与曲线相切于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】对直线与曲线进行求导，根据斜率相等及切点处值相等得到方程组，解出切点横坐标即可.
【详解】因为曲线，直线，，所以，
又，所以，则．
故选：D.
13．若直线既和曲线相切，又和曲线相切，则称为曲线和的公切线.曲线和曲线：的公切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】基本初等函数的导数公式、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】根据导数的几何意义可知公切线的斜率为和，则，分类讨论当曲线与的切点相同与不相同的情况，求出对应的切点，结合直线的点斜式方程即可求解.
【详解】由，得，由得，
设曲线的公切线与曲线的切点为，则切线的斜率为，
与曲线的切点为，则切线的斜率为，
所以.
当曲线与的切点相同时，，
解得，所以切点为，此时公切线的方程为；
当曲线与曲线的切点不同时，，得，
所以，即，解得，此时与矛盾，
故不存在两切点不同的情况，
综上可得：切点的坐标为，公切线的方程为.
故选：A.
14．若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】导数的运算法则、求过一点的切线方程
【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义，确定，化简可得，结合题意有，解不等式即可求出的取值范围.
【详解】令，则有，设过点作曲线的切线，
切点为，根据题意有，即，
又，可得，因为，所以上式可化为
，整理有：，因为过点可以作曲线
的两条切线，所以方程有两解，所以，即，
解得或.
故选：D
15．已知函数的定义域均为为的导函数，且，，若为偶函数，则（ ）
A．2B．1C．0D．-1
【答案】A
【知识点】简单复合函数的导数、判断证明抽象函数的周期性、函数奇偶性的定义与判断
【分析】由题意分析可得，再推导得的奇偶性和周期性，利用特殊值求出，进而分析得到，计算可得答案.
【详解】由题意，可知，①，
令可得，，所以.
又因为为偶函数，所以，两边同时求导可得，②
令可得，，所以，
联立①②可得，，化简可得，所以是周期为2的函数，所以，，
又因为，所以，所以，
所以.
故选：A.
16．设曲线在点处的切线与直线垂直，则a＝ .该切线与坐标轴围成的面积为 .
【答案】 2 /0.25
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的运算法则
【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义结合切线与直线垂直，列式计算，可求得a的值；求出切线方程，即可求得切线与坐标轴围成的面积.
【详解】令，则曲线在点处的切线的斜率为，
又切线与直线垂直，所以.
因为，所以，
所以，即；
由题意可知，切线方程为，即，
令得；令得，
故该切线与坐标轴围成的三角形面积为，
故答案为：2；
17．已知是定义在上的偶函数，则 .
【答案】
【知识点】求某点处的导数值、由奇偶性求参数
【分析】利用偶函数定义可构造方程求得，代入解析式中，求得后，代入即可.
【详解】为上的偶函数，，
即，，解得：，
，，.
故答案为：.
18．若直线是曲线的切线，则 ．
【答案】
【知识点】简单复合函数的导数、已知切线（斜率）求参数
【分析】设切点为，利用导数的几何意义得到方程组，解得即可.
【详解】因为，所以，
设切点为，则，即，
当时，则，，所以，，
所以在处的切线为，符合题意；
当，则，则，所以，则，
则，此时无解，不符合题意，故舍去；
综上可得.
故答案为：
19．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：记为的导函数，为的导函数，则曲线在点处的曲率为．曲线在点处的曲率为 ．
【答案】
【知识点】简单复合函数的导数
【分析】求出原函数的导函数与导函数的导函数，然后代入题中公式即可求出答案.
【详解】因为，
所以，，
则，，
所以曲线在点处的曲率为.
故答案为：.
20．求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)；
(3)；
(4)．
【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、简单复合函数的导数
【分析】（1）（2）（3）（4）根据基本初等函数导数公式，导数除法公式，复合函数求导公式求解.
【详解】（1）．
（2）．
（3）．
（4）
拓展延伸
21．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数.记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【知识点】导数新定义、导数的乘除法、导数的加减法、简单复合函数的导数
【分析】结合已知条件以及导数的运算判断.
【详解】解：由，得，
，
，当时，，
这与在定义域中小于0不符，故A错误；
B．由，得，，
，在上恒成立，故B正确；
C．由，得，，
，恒成立，故C正确；
D．由，得，，
时，，，
恒成立，与在定义域中小于0不符，故D错误．
故选：BC．
22．已知定义在上的函数，为的导函数，f'x定义域也是 R，满足，则 .
【答案】
【知识点】简单复合函数的导数、函数对称性的应用
【分析】求导得到，赋值累加即可.
【详解】对两边同时求导得
，
即，
则，，
则.
故答案为：.