高中数学人教A版 (2019)必修 第一册函数的应用(一)课后测评

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\l "_Tc10463" 【题型1 一次函数模型的应用】 PAGEREF _Tc10463 \h 1
\l "_Tc2166" 【题型2 二次函数模型的应用】 PAGEREF _Tc2166 \h 3
\l "_Tc2034" 【题型3 幂函数模型的应用】 PAGEREF _Tc2034 \h 7
\l "_Tc27370" 【题型4 分段函数模型的应用】 PAGEREF _Tc27370 \h 9
\l "_Tc10540" 【题型5 “对勾”函数模型的应用】 PAGEREF _Tc10540 \h 12
\l "_Tc22164" 【题型6 函数模型的综合应用】 PAGEREF _Tc22164 \h 15
【知识点1 一次函数、二次函数模型的应用】
1．实际问题中函数建模的基本步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型.
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.
(3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解.
(4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果
要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答.
2．一次函数模型的应用
一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0).
一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.
3．二次函数模型的应用
二次函数模型：f(x)=+bx+c(a,b,c为常数,a≠0).
二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值
问题常用到二次函数模型.
【题型1 一次函数模型的应用】
【例1】（2022秋·福建泉州·高一校考期中）从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，则的解析式是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】求出第次倒出酒精后容器中含纯酒精的质量，然后可得第次倒出的纯酒精的质量，然后可得倒次共倒出的纯酒精．
【解答过程】第次时共倒出了纯酒精升，
第次倒出后容器中含纯酒精为升
第次倒出的纯酒精是升
所以倒出第次时，共倒出了纯酒精
故选：C.
【变式1-1】（2022秋·四川广安·高一校考阶段练习）一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】由等腰三角形的周长为20，得到，结合三角形的性质，求得，即可得到函数的解析式.
【解答过程】由等腰三角形的周长为20，且底边长y是关于腰长x，
可得，所以，
又由，即，即，
因为，即，可得，所以，
所以解析式为.
故选：D.
【变式1-2】（2023春·福建·高三统考学业考试）某公司市场营销部员工的个人月收入与月销售量成一次函数关系，其对应关系如图所示.由图示信息可知，月销售量为3百件时员工的月收入是（ ）
A．2100元B．2400元C．2700元D．3000元
【解题思路】利用公司市场营销部员工的个人月收入与月销售量成一次函数关系，设出函数解析式，代入图象中的坐标，求出函数并将月销售量为3百件代入，可得此时的月收入．
【解答过程】设一次函数为：，将和代入得：，
解得，
故公司市场营销部员工的个人月收入与月销售量之间的函数关系为，
令，可得元，
故选：C.
【变式1-3】（2022·全国·高一专题练习）南通至通州的某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额＝车票收入一支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）不改变支出费用，提高车票价格．下面给出的四个图形中，实线虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（ ）
A．①反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）
B．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）
C．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）
D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）
【解题思路】根据题意，利用一次函数的性质判断不同方案下参数的变化对图象的影响，即可确定正确选项.
【解答过程】设目前车票价格为，支出费用为，则，
对于建议（I），设建议后的支出费用为（＜），则，
显然建议后，直线斜率不变，在y轴上的截距变大，故图象①反映了建议（I）；
对于建议（II），设建议后的车票价格为（＞），则，
显然建议后，直线斜率变大，在y轴上的截距不变，故图象③反映了建议（II）．
故选：C．
【题型2 二次函数模型的应用】
【例2】（2023春·广东广州·高一校考期中）某学校因为学生活动区域紧张，为了更好的为学生提供活动场地，决定在一块长米，宽米的矩形地块上施工，规划建设占地如图中矩形的学生活动中心，要求顶点在地块的对角线上，、分别在边、上，假设长度为米.

(1)要使矩形活动区域的面积不小于平方米，的长度应在什么范围？
(2)长度和宽度分别为多少米时矩形活动区域的面积最大？最大值是多少平方米？
【解题思路】（1）由已知可得，可求得，可得出，利用矩形的面积公式可得出关于的不等式，即可解得的取值范围；
（2）利用二次函数的基本性质可求得矩形面积的最大值，及其对应的的值，即可得出结论.
【解答过程】（1）解：因为，由图可知，，即，即，
所以，，所以，，其中，
矩形的面积为，其中，
由，整理可得，解得，
因此，当时，形活动区域的面积不小于平方米.
（2）解：由（1）知，，其中，
故当时，函数取最大值，即，
因此，当米，米时，矩形活动区域的面积最大，且最大值为平方米.
【变式2-1】（2023·高一课时练习）小明同学想知道自家煤气灶旋钮放到什么位置时，烧开一壶水最省燃气，于是通过实验统计了旋钮的转角为、、、、时，烧开一壶水所耗燃气情况：
请选择合适的函数模拟拟合以上数据，由此计算：旋钮的转角为多少度时，烧开一壶水所耗然气最少？最少燃气为多少立方米？
【解题思路】设旋钮的转角（单位：度）为x，所耗燃气量（单位：）为y，在平面直角坐标系中描点，可选择二次函数进行模拟拟合，设，取代入，求出，根据二次函数的性质求出最小值.
【解答过程】设旋钮的转角（单位：度）为x，所耗燃气量（单位：）为y，在平面直角坐标系中描出表中的五个点如图，

可以选择二次函数进行模拟拟合，设，
不妨取代入，
得，解得，
故,
当时，
的最小值为（）.
所以当（度）时，烧开一壶水所耗燃气最少，约 ．
【变式2-2】（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）某蔬菜种植基地共有蔬菜种植大棚个，用于种植普通蔬菜，平均每个大棚年收入为万元．为适应市场需求，提高收益，决定调整原种植方案，将个大棚改种速生蔬菜，其余大棚继续种植普通蔬菜．经测算，调整种植方案后，种植普通蔬菜的每个大棚年收入比原来提高，种植速生蔬菜的每个大棚年收入为万元．
(1)当时，要使蔬菜种植大棚全年总收入不少于原来的，求的取值范围
(2)当时，求蔬菜种植大棚全年总收入的最大值．
【解题思路】（1）当时，设种植速生蔬菜和普通蔬菜的收入分别为，表示出，要使蔬菜种植大棚全年总收入不少于原来的，即，解不等式结合，即可得出答案.
（2）设蔬菜种植大棚全年总收入为万元，可得，由二次函数的性质结合，即可得出答案.
【解答过程】（1）当时，设种植速生蔬菜和普通蔬菜的收入分别为，
则，，
，
要使蔬菜种植大棚全年总收入不少于原来的，
则，
所以，
化简得：，即，
解得：，又因为，
所以，.
（2）设蔬菜种植大棚全年总收入为万元，
所以
，
，
当时，，
所以当时，函数在单调递增，当时，函数在单调递减，
所以，当时，，
当时，，
当时，，
所以当时，，所以，
，所以，
所以最大，所以当时，蔬菜种植大棚全年总收入最大为：万元.
【变式2-3】（2023秋·北京西城·高一统考期末）某商贸公司售卖某种水果．经市场调研可知：在未来20天内，这种水果每箱的销售利润r（单位：元）与时间t（，单位：天）之间的函数关系式为，且日销售量p（单位：箱）与时间t之间的函数关系式为．
(1)求第几天的日销售利润最大？最大值是多少？
(2)在未来的这20天中，在保证每天不赔本的情况下，公司决定每销售1箱该水果就捐赠元给“精准扶贫”对象，为保证销售积极性，要求捐赠之后每天的利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．
【解题思路】（1）通过计算得，根据二次函数最值即可得到答案；
（2）计算，根据题意得到不等式， 且对于均成立以及，最后取交集即可.
【解答过程】（1）设第日的销售利润为，则
.
，
当时，.
所以第10天的销售利润最大，最大值是1250元.
（2）设捐赠之后第日的销售利润为，则
.
依题意，应满足以下条件：
①；
②，即；
③对于均成立，即.
综上，且.
【知识点2 幂函数模型的应用】
1．幂函数模型的应用
幂函数模型应用的求解策略
(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.
(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式.
【题型3 幂函数模型的应用】
【例3】（2023·全国·高一假期作业）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解．
【解答过程】设初始状态为，则，，
又，，即 ，
，，，，．
故选：D．
【变式3-1】（2023秋·高一课时练习）上海市为抑制房价，2011年准备新建经济适用房800万，解决中低收入家庭的住房问题.设年平均增长率为，设2014年新建经济住房面积为，则关于的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据平均增长率的定义写出方程即可得到答案．
【解答过程】由题意知
2012年为
2013年为
2014年为
故选B.
【变式3-2】（2023·全国·高一假期作业）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（ ）
A．10%B．20%C．22%D．32%
【解题思路】设年平均增长率为，依题意列方程求即可.
【解答过程】由题意，设年平均增长率为，则，
所以，故年平均增长率为20%.
故选：B.
【变式3-3】（2022·全国·高一专题练习）某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成.该公司年总收入为亿元，其中保险业务收入为亿元，理财业务收入为亿元.该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加亿元.因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速.要求从年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍，若要使得该公司年的保险业务收入不高于当年总收入的，则的值至少为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】求出年通过理财业务的收入为亿元，根据题意可得出关于的不等式，解出的范围即可得解.
【解答过程】因为该公司年总收入为亿元，预计每年总收入比前一年增加 亿元，所以年的总收入为亿元，
因为要求从年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍，
所以年通过理财业务的收入为亿元，所以，解得.故的值至少为，
故选：A.
【知识点3 分段函数模型的应用】
1．分段函数模型的应用
由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用.
【题型4 分段函数模型的应用】
【例4】（2022秋·河南·高一校联考阶段练习）某企业生产一种化学产品的总成本（单位：万元）与生产量（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，要使每吨的平均生产成本最少，则生产量控制为（ ）
A．20吨B．40吨C．50吨D．60吨
【解题思路】由总成本与生产量之间的关系求出平均生产成本的函数解析式，求函数取最小值时的x的值即为所求.
【解答过程】因为总成本y与生产量x之间的关系为，
设平均生产成本为，则，
当时，，
则时，最小为100，
当时，，
当且仅当，即时，最小为90，
综上，，即生产量控制在40吨时，每吨的平均生产成本最少.
故选：B.
【变式4-1】（2023·全国·高三对口高考）2005年10月27日全国人大通过了关于修改个人所得税的决定，工薪所得减去费用标准从800元提高到1600元也就是说原来月收入超过800元部分就要纳税，2006年1月1日开始超过了1600元才需要纳税，若税法修改前后超过部分的税率相同，如下表：
某人2005年9月交纳个人所得税123元，则按照新税法只要交税（ ）元．
A．43B．2280C．680D．不能确定
【解题思路】根据已知写出税法修改前纳税额与工资的分段函数形式，根据个人所得税求出某人工资，再按新税法求税额即可.
【解答过程】设工资为元，
当，纳税为0元；
当，纳税为元；
当，纳税为元；
当，纳税为元；
所以，纳税为，
而，令，可得元，
由，则按新税法只要交税元.
故选：A.
【变式4-2】（2023春·广东河源·高二校考期中）在一般情况下，过江大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为90千米/小时；研究表明，当时，车流速度是车流密度的一次函数．设当车流密度时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大．则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据条件建立分段函数关系，利用待定系数法求出，的值，利用二次函数的最值性质进行求解即可．
【解答过程】，
则当时，，
当时，，即，解得，，
故，
当时，的最大值为时，；
当时，，
根据二次函数的对称轴方程为，得的最大值为时，．
故选：A．
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（ ）
A．120B．200C．240D．400
【解题思路】先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分和分析讨论求出其最小值即可
【解答过程】由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为，
当时，，
当时，取得最小值240，
当 时，，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值200，
综上，当每月得理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元，
故选：D.
【知识点4 “对勾”函数模型的应用】
1．“对勾”函数模型的应用
对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+(a>0,b>0)，当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用.
【题型5 “对勾”函数模型的应用】
【例5】（2022秋·河北邯郸·高一校考期中）某工厂为提升品牌知名度进行促销活动，需促销费用 为常数万元，计划生产并销售某种文化产品万件生产量与销售量相等已知生产该产品需投入成本费用万元不含促销费用，产品的促销价格定为元/件.
(1)将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；（注：利润销售额投入成本促销费用）
(2)当促销费用投入多少万元时，此工厂所获得的利润最大？最大利润为多少？
【解题思路】（1）根据题意可得销售额，则利润，，化简即可得出答案；
（2）由（1）得，，利用基本不等式可得，结合对勾函数的性质，分类讨论，，求出最大值，即可得出答案.
【解答过程】（1）由题意得，；
（2）由（1）得，，
，
，当且仅当，即时等号成立，
由对勾函数的性质可知：
当时，在上单调递增，
∴当时，；
当时，，当且仅当时等号成立，
综上所述，当时，当促销费用投入万元时，此工厂所获得的利润最大，最大利润为万元；
当时，当促销费用投入万元时，此工厂所获得的利润最大，最大利润为万元.
【变式5-1】（2023春·江苏镇江·高二统考期中）喝酒不开车，开车不喝酒.若某人饮酒后，欲从相距的某地聘请代驾司机帮助其返程.假设当地道路限速.油价为每升8元，当汽车以的速度行驶时，油耗率为.已知代驾司机按每小时56元收取代驾费，试确定最经济的车速，使得本次行程的总费用最少，并求最小费用.
【解题思路】根据题设可得，，利用对勾函数的性质可求该函数的最小值.
【解答过程】设汽车以行驶时，开车时间为小时，则代驾费用为，
油耗为，
则总费用，
，
由对勾函数的性质知，函数在单调递减，在上单调递增，
因为，所以当时，取到最小值，
最小值为.
最经济的车速为时，使得本次行程的总费用最少为元.
【变式5-2】（2022秋·浙江衢州·高一校考期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元．受地域影响，AD的长度最多能达到，其余边长没有限制．
(1)设总价为（单位：元），AD长为（单位：），试建立关于的函数关系式；
(2)当为何值时，最小？并求出这个最小值．
【解题思路】（1）先设，又，建立等式找出得关系计算即可；
（2）利用均值不等式计算即可，注意等号成立的条件.
【解答过程】（1）设，又，，
则，∴，
∴
（2）由（1）得，
利用均值不等式得，
当时，即时等号成立，
所以当时，S最小，最小值为118000元.
【变式5-3】（2022·江苏·高一专题练习）某厂家拟在2021年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量（即该产品的年产量）x（单位：万件）与年促销费用（单位：万元）满足（ k 为常数），如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.
(1)将2021年该产品的利润y（单位：万元）表示为年促销费用m的函数；
(2)该厂家2021年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？
(3)若该厂家2021年的促销费用不高于2万元，则当促销费用为多少万元时，该厂家的利润最大？
【解题思路】（1）由时，可构造方程求得，得到，代入利润关于的函数中，化简可得结果；
（2）利用基本不等式可求得，由取等条件可得结果；
（3）利用对勾函数的单调性即得.
【解答过程】（1）由题意可知：当时，（万件），
，解得：，
，又每件产品的销售价格为，
年利润
；
（2）因为，
当时，（当且仅当，即时取等号），
此时年利润（万元）；
该厂家年的促销费用投入万元时，厂家的利润最大，最大为万元.
（3）因为，
当时函数为增函数，故当时，（万元），
故当促销费用为2万元时，该厂家的利润最大.
【题型6 函数模型的综合应用】
【例6】（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利，如果获利，最大利润为多少元？
【解题思路】（1）依题意写出每吨的平均处理成本与月处理量之间的函数关系，再用基本不等式即可求解；
（2）设该单位每月获利元根，据题意写出的函数关系式，用一元二次函数求最值的方法求解.
【解答过程】（1）由题意，每吨的平均处理成本为，当且仅当，即时等号成立，
故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.
（2）设该单位每月获利为元，则.因为，所以.
故该单位每月获利，最大利润为35000元.
【变式6-1】（2023·江苏·高一假期作业）党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）.

(1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
【解题思路】（1）由题设，，根据图象上数据得解；
（2）列出企业利润的函数解析式换元法求得函数最值得解.
【解答过程】（1）设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元
由题设，，
由图知，故，又，所以．
从而，．
（2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元
则，
令，则，
当时，，此时.
故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元.
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数，其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）
【解题思路】（1）利用利润=总收益固定成本投入成本，即可求解利润关于月产量x的函数；
（2）分段求解利润关于月产量的最大值并比较即可.
【解答过程】（1）
当时，，
当时，，
；
（2）当时，
当时，；
当时，在定义域内单调递减，
，
当时，；
当月产量为台时，公司所获利润最大，最大利润为元.
【变式6-3】（2023春·上海杨浦·高一校考开学考试）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足60万箱时，；当产量不小于60万箱时，，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.
(1)求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；
（销售利润=销售总价-固定成本-生产成本）
(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？
【解题思路】(1) 根据产量的不同取值范围讨论利润y关于产量x的不同对应关系即可求解.
(2) 分别求出分段函数的最大值，比较大小即可求出利润的最大值.
【解答过程】（1）当时，；
当时，.
所以，；
（2）当时，，
当时，y取得最大值，最大值为850万元；
当时，，
当且仅当时，即时，y取得最大值，最大值为1300万元.
综上，当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.旋钮的转角
（单位：度）
18
36
54
72
90
所耗燃气量
（单位：）
0.130
0.122
0.139
0.149
0.172
级数
全月应纳税所得额
税率
1
不超过500元
5
2
500~2000元
10
3
2000~5000元
15