高中数学人教A版 (2019)必修 第一册对数的运算课后练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册对数的运算课后练习题，文件包含人教A版高中数学必修第一册题型归纳讲与练专题43对数七大题型原卷版doc、人教A版高中数学必修第一册题型归纳讲与练专题43对数七大题型解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc9754" 【题型1 对数的概念的理解】 PAGEREF _Tc9754 \h 2
\l "_Tc14861" 【题型2 指数式与对数式的互化】 PAGEREF _Tc14861 \h 3
\l "_Tc5999" 【题型3 对数的运算性质的应用】 PAGEREF _Tc5999 \h 5
\l "_Tc28486" 【题型4 换底公式的应用】 PAGEREF _Tc28486 \h 6
\l "_Tc9399" 【题型5 指、对数方程的求解】 PAGEREF _Tc9399 \h 7
\l "_Tc26296" 【题型6 带附加条件的指、对数问题】 PAGEREF _Tc26296 \h 9
\l "_Tc28205" 【题型7 对数的实际应用】 PAGEREF _Tc28205 \h 10
【知识点1 对数的概念】
1．对数的定义、性质与对数恒等式
(1)对数的定义：一般地，如果=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
(2)对数的性质：
①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数.
②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1).
(3)对数与指数的关系：
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，=Nx=.
用图表示为：
2．常用对数与自然对数
【题型1 对数的概念的理解】
【例1】（2022春·江苏南京·高一校考阶段练习）下列说法中错误的是（ ）
A．零和负数没有对数B．任何一个指数式都可化为对数式
C．以10为底的对数叫做常用对数D．以e为底的对数叫做自然对数
【解题思路】根据对数的性质、定义、常用对数的定义、自然对数的定义进行判断即可.
【解答过程】由对数的概念知，指数式中，只有，且的指数式才可以化为对数式，因此零和负数没有对数，把以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数叫做自然对数，
故选：B.
【变式1-1】（2022秋·高一单元测试）已知对数式有意义，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】由对数式的意义列不等式组求解可得.
【解答过程】由有意义可知，解得且，
所以a的取值范围为.
故选：B.
【变式1-2】（2022秋·四川甘孜·高一校考阶段练习）对于 ，且，下列说法中，正确的是（ ）
①若 ，则 ; ② 若，则;
③ 若 ，则; ④若 ，则.
A．①③B．②④C．②D．①②④
【解题思路】根据对数的含义以及性质一一判断各选项，即可判断出答案.
【解答过程】对于①，当 时， 都没有意义，故不成立;
对于②，，则必有 ，故正确;
对于③，当 互为相反数且不为 0 时，也有，但此时，故错误;
对于④，当时，都没有意义，故错误.
综上，只有②正确.
故选：C.
【变式1-3】（2023·全国·高一假期作业）有下列说法：
①以10为底的对数叫作常用对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以e为底的对数叫作自然对数；
④零和负数没有对数.
其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据对数的相关概念和性质，一一判断每个选项，可得答案.
【解答过程】根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确，根据对数的性质可知④正确，
只有当且时，指数式才可以化成对数式，②错误，
故选：C.
【题型2 指数式与对数式的互化】
【例2】（2023·高一课时练习）设，则 （ ）
A．B．25C．D．
【解题思路】由对数化为指数可得答案
【解答过程】由，可得，所以，
故选：D.
【变式2-1】（2023秋·天津河西·高三校考期末）已知，若，，则（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解题思路】设并由条件求出的范围，代入化简后求出的值，得到与的关系式代入化简后列出方程，求出的值，进而求解.
【解答过程】设，由可得：，代入，可得：，即，解得：或（舍去）.
所以，即，又因为，所以，则，
解得：，，所以，
故选：.
【变式2-2】（2023秋·高一课前预习）下列指数式与对数式的互化中不正确的是（ ）
A．e0=1与ln 1=0B．lg39=2与=3
C．=与lg8=-D．lg77=1与71=7
【解题思路】利用指对互化公式进行互化，得出结果.
【解答过程】对于A，e0=1可化为0=lge1=ln 1，所以A中互化正确；
对于B，lg39=2可化为32=9，所以B中互化不正确；
对于C，=可化为lg8=-，所以C中互化正确；
对于D，lg77=1可化为71=7，所以D中互化正确.
故选：B.
【变式2-3】（2023·全国·高一假期作业）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【解题思路】结合指数式与对数式互化的知识确定正确答案.
【解答过程】根据指数式与对数式互化可知：
对于选项A：等价于，故A正确；
对于选项B：等价于，故B正确；
对于选项C：等价于，故C错误；
对于选项D：等价于，故D正确；
故选：C.
【知识点2 对数的运算】
1．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有：
2．对数的换底公式及其推论
(1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=.
(2)换底公式的推论：
①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)；
② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)；
③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R).
【题型3 对数的运算性质的应用】
【例3】（2023春·云南文山·高二校考阶段练习）下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据指数运算、分数指数幂与根式的化简、对数运算法则即可知A、B、C错误.
【解答过程】根据指数运算法则可知，，即A错误；
再根据分数指数幂与根式化简可得，即B错误；
由对数运算法则可知，，而，
故C错误，D正确.
故选：D.
【变式3-1】（2023·全国·高一专题练习）设，，则（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据对数的运算法则即可求解.
【解答过程】由得，所以，
故选：C.
【变式3-2】（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．11或B．11或C．12或D．10或
【解题思路】对两边同时取对数，可解得或，讨论或时的值，即可得出答案.
【解答过程】由，两边取对数得 ，所以或.
当时，8，所以；
当时，，
所以，
综上， 或，
故选：A.
【变式3-3】（2023·天津河西·天津市校考模拟预测）已知，则（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
【解题思路】先取倒数，再应用对数运算律计算即可.
【解答过程】因为,所以，
.
故选:B.
【题型4 换底公式的应用】
【例4】（2023春·江苏南通·高一校考阶段练习）的值为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】使用换底公式及对数运算性质求解.
【解答过程】
故选：C.
【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用对数运算性质和对数换底公式即可求得的变形式.
【解答过程】，
又，则
故选：B.
【变式4-2】（2023·四川泸州·四川省校考二模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】先由得到，用换底公式把写出以18为底的对数，即可分解.
【解答过程】由，，
所以，，
所以.
故选：C.
【变式4-3】（2023秋·吉林长春·高一校考期末）已知，，则（ ）
A．B．1C．2D．4
【解题思路】利用换底公式，对数运算性质用以6为底的对数表示，可得答案.
【解答过程】由换底公式，，则.
因，则
则 .
故选：B.
【题型5 指、对数方程的求解】
【例5】（2023春·北京·高一校考开学考试）方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据对数的运算性质计算.
【解答过程】由题意，得，
故.
故选：D.
【变式5-1】（2022秋·高一单元测试）方程的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】通过对数运算性质转化为一元二次方程即可求解.
【解答过程】，
∴．
设，则，解之得：．
∴或，解之得：或．
经检验，和均符合题意，∴该方程的解集是．
故选：B.
【变式5-2】（2021·高一课时练习）方程的解集是（ ）．
A．B．C．D．
【解题思路】利用换底公式以及对数的运算即可求解.
【解答过程】，
，
，
，
解得或，
解得或，
所以方程的解集为.
故选：D.
【变式5-3】（2023·高一课时练习）若、是方程的两根，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用根与系数的关系整理、化简，计算可得.
【解答过程】原方程等价于.
∵、是方程的两个根，
∴，，
∴.
故选：A.
【题型6 带附加条件的指、对数问题】
【例6】（2023·全国·高一假期作业）（1）已知，，求.（用表示）
（2）已知，，求.（用表示）
【解题思路】（1）由指数式与对数式的关系可得，结合对数运算公式化简即可；
（2）由指数与对数关系可得，利用换底公式和对数运算公式化简可得结论.
【解答过程】（1）因为，所以，
所以.
（2）因为，所以，
所以 .
【变式6-1】（2023秋·辽宁丹东·高一统考期末）已知实数，满足，．
(1)用表示；
(2)计算的值．
【解题思路】根据对数的运算法则及性质求解即可.
【解答过程】（1）由题意可知，
所以．
（2）因为，
所以．
【变式6-2】（2023秋·江苏苏州·高一统考开学考试）（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值；
（3）计算：.
【解题思路】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；
（2）将两边平方求出，再平方即可求出的值；
（3）根据对数的运算法、换底公式及对数的运算性质计算可得.
【解答过程】解：（1）因为，，
所以；
（2）因为，所以，所以.
所以；
（3）
.
【变式6-3】（2023秋·四川眉山·高一校考期末）（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
【解题思路】（1）直接利用指数幂和对数的运算性质计算即可；
（2）将条件两边同时平方，整理后再同时平方即可得答案.
【解答过程】（1）由得
，，
；
（2）由，两边平方得，
即，再两边平方得，
.
【知识点3 对数的实际应用】
1．对数的实际应用
在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数
学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解.
对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：
(1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化；
(2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算.
【题型7 对数的实际应用】
【例7】（2023秋·湖南长沙·高三校考开学考试）二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3×1015个二维码，那么大约可以用（ ）（，）
A．万年B．万年C．万年D．万年
【解题思路】设，然后根据对数的运算解出即可.
【解答过程】万年用掉个二维码，大约能用万年，设，
则
即万年，
故选：A.
【变式7-1】（2023·福建三明·统考三模）17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对（为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在的素数中，当，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数，其它都是合数.除了和两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在型素数研究中所做的开创性工作，就把型的素数称为“梅森素数”，记为.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数，第8个梅森素数，则约等于（参考数据：）（ ）
A．17.1B．8.4C．6.6D．3.6
【解题思路】利用对数的运算法则计算即可.
【解答过程】由已知可得.
故选：D.
【变式7-2】（2023·江苏徐州·校考模拟预测）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性．动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原来的会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中含量占原来的，推算该古物约是m年前的遗物（参考数据：），则m的值为（ ）
A．12302B．13304C．23004D．24034
【解题思路】根据题意列出方程解出未知量即可.
【解答过程】设原始量为，每年衰变率为，
，
，
，
，
.
故选：B.
【变式7-3】（2023春·贵州六盘水·高一统考期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶?（ ）（参考数据：，，）
A．3B．4C．5D．6
【解题思路】设经过个小时才能驾驶，则，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.
【解答过程】设经过个小时才能驾驶，则，
即，
由于在定义域上单调递减，
∴，
∴他至少经过小时才能驾驶.
故选：C.名称
定义
符号
常用对数
以10为底的对数叫做常用对数
简记作lg N
自然对数
以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e
≈2.71828
简记作ln N
运算
数学表达式
自然语言描述
积的对数
正因数积的对数等于同一底数的各因数的
对数的和
商的对数
两个正数的商的对数等于同一底数的被除
数的对数减去除数的对数
幂的对数
正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂
的底数的对数