人教A版 (2019)第三章 函数概念与性质3.4 函数的应用（一）优秀学案设计

这是一份人教A版 (2019)第三章 函数概念与性质3.4 函数的应用（一）优秀学案设计，共15页。

函数的性质-函数的单调性
函数的单调性


重点
增函数、减函数的概念；求单调区间。
难点
单调性判断；单调性的简单应用；抽象函数单调性。
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题和解答题。
Ø 难度 中等





核心知识点一：单调函数
定义域为I的函数f（x）的增减性

2. 函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间。


典例一：函数单调性的判定与证明
证明函数f（x）＝x＋在（2，＋∞）上是增函数。
解析：任取x1，x2∈（2，＋∞），且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝x1＋－x2－
＝（x1－x2）＋
＝。
∵2＜x1＜x2，
∴x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0，
∴f（x1）－f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）＝x＋在（2，＋∞）上是增函数。

总结提升：
方法归纳：
利用定义证明函数单调性的步骤


典例二：求函数的单调区间
作出函数f（x）＝的图象，并指出函数f（x）的单调区间。

解析：f（x）＝的图象如图所示，
由图可知，函数f（x）＝的单调递减区间为（－∞，1]和（1，2），单调递增区间为[2，＋∞）。

总结提升：
方法归纳
求函数单调区间的两种方法
（1）图象法，可分为三步：
①作出函数的图象；
②观察函数图象；
③上升图象对应增区间，下降图象对应减区间。
（2）定义法，可分为三步：
①作差并变形；
②判断各因式符号；
③如果各因式符号确定，则函数在该区间上具有单调性，如果因式符号不确定，则需确定分界点分类讨论以确定单调区间。

典例三：函数单调性的简单应用
已知函数f（x）＝x2－2（1－a）x＋2在区间（－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围。
解析：∵f（x）＝x2－2（1－a）x＋2＝[x－（1－a）]2＋2－（1－a）2，
∴f（x）的减区间是（－∞，1－a]。
∵f（x）在（－∞，4]上是减函数，
∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合。
∴1－a≥4，解得a≤－3。

总结提升：函数单调性应用的关注点
（1）已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数。
（2）应用函数的单调性的定义建立关于参数的不等式（组）或方程，解不等式（组）或方程可求得参数的取值范围。
（3）“函数f（x）的单调区间是（a，b）”与“f（x）在区间（a，b）上单调”的区别：前者表明区间（a，b）是其单调区间的全部，而后者表明区间（a，b）是其单调区间的子集。
（4）注意运用数形结合的思想来解决问题。

典例四：抽象函数单调性
已知f（x）是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f（x－2）＜f（1－x），则x的取值范围为________。
解析：由题意，得，
解得1≤x≤2。 　①
因为f（x）是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f（x－2）＜f（1－x），所以x－2＜1－x，解得x＜。　②
由①②得1≤x＜。
易错总结：
（1）本题易忽视函数的定义域为[－1，1]，直接利用单调性得到不等式x－2＜1－x，从而得出x＜的错误答案。
（2）解决此类问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”，从而转化为熟悉的不等式。若函数y＝f（x）在区间D上是增函数，则对任意x1，x2∈D，且f（x1）＜f（x2），有x1＜x2；若函数y＝f（x）在区间D上是减函数，则对任意x1，x2∈D，且f（x1）＞f（x2），有x1＜x2。需要注意的是，不要忘记函数的定义域。


1. 证明判断单调性，变形是关键，常用的变形方法有“因式分解”，“配方”有理化等方法。
2. 单调性的判断方法，有图像法和定义法。
3. 已知函数单调性，求参数范围，要学会运用数形结合的方法。结合图形来进行。
4. 抽象函数单调性问题，不要忽视了定义域。


（答题时间：30分钟）
1. 若x1，x2∈（－∞，0），且x1＜x2，函数f（x）＝，则f（x1）与f（x2）的大小关系是（　　）
A. f（x1）＞f（x2） B. f（x1）＜f（x2）
C. f（x1）＝f（x2） D. 以上都有可能
2. 下列函数f（x）中，满足对任意x1，x2∈（0，＋∞），当x1f（x2）的是（　　）
A. f（x）＝x2 B. f（x）＝
C. f（x）＝|x| D. f（x）＝2x＋1
3. 函数y＝f（x）在R上为增函数，且f（2m）＞f（－m＋9），则实数m的取值范围是（　　）
A. （－∞，－3） B. （0，＋∞）
C. （3，＋∞） D. （－∞，－3）∪（3，＋∞）
4. 函数y＝ax＋1在R上是单调递减的，则g（x）＝a（x2－4x＋3）的单调递增区间是（　　）
A. [2，＋∞） B. [－2，＋∞）
C. （－∞，2] D. （－∞，－2]
5. 已知函数f（x）＝x2＋2ax＋2在[－5，5]上单调，则实数a的取值范围是（　　）
A. a≤－5 B. a≥5
C. －5≤a≤5 D. a≤－5或a≥5
6. 如图所示为函数y＝f（x），x∈[－4，7]的图象，则函数f（x）的单调递增区间是________。

7. 函数y＝3|x|的单调增区间为________。
8. 证明：函数y＝在（－1，＋∞）上是增函数。





1. A 【解析】∵函数f（x）＝在（－∞，0）上是减函数，又∵x1，x2∈（－∞，0），且x1＜x2，∴f（x1）＞f（x2）。
2. B 【解析】f（x）＝在（0，＋∞）上为减函数，符合题意。
3. C 【解析】因为函数y＝f（x）在R上为增函数，且f（2m）＞f（－m＋9），所以2m＞－m＋9，即m＞3。
4. C 【解析】∵函数y＝ax＋1在R上单调递减，∴a＜0。
∴g（x）＝a（x2－4x＋3）＝a（x－2）2－a，抛物线开口向下，∴g（x）的单调递增区间是（－∞，2]。
5. D 【解析】函数f（x）＝（x＋a）2＋2－a2的图象的对称轴为x＝－a。
∵f（x）在[－5，5]上是单调的，∴－a≤－5或－a≥5。
故实数a的取值范围是a≤－5或a≥5。
6. [－1.5，3]和[5，6]
【解析】由图象知单调递增区间为[－1.5，3]和[5，6]。
7. [0，＋∞）
【解析】y＝3|x|＝
由一次函数的单调性可得，单调增区间是[0，＋∞）。
8. 【解析】
证明：设x1>x2>－1，
则y1－y2＝－＝。
∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0，
∴>0，即y1－y2>0，y1>y2，
∴y＝在（－1，＋∞）上是增函数。

函数的最值

重点
函数的最值及最值
难点
求函数最值
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题和解答题。
Ø 难度 中等、稍大





核心知识点一：函数的最值

最大值
最小值
条件
一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有
f（x）≤M
f（x）≥M
存在x0∈I，使得f（x0）＝M
结论
称M是函数y＝f（x）的最大值
称M是函数y＝f（x）的最小值
几何
意义
f（x）图象上最高点的纵坐标
f（x）图象上最低点的纵坐标
注意：
1. 对函数的最值的理解
（1）最大值（或最小值）必须是一个函数值，是值域中的一个元素。如函数f（x）＝－x2（x∈R）的最大值是0，有f（0）＝0。
（2）使函数f（x）取得最值的自变量的值有时可能不止一个。如函数f（x）＝x2，x∈[－1，1]的最大值是1，此时有f（1）＝f（－1）＝1，即取得最大值的自变量有两个。
（3）不等式f（x）≥M或f（x）≤M中的x是函数定义域中的任意值，不能是定义域中的部分值。
（4）不等号“≤”或“≥”中的等号必须能够成立，否则M不是函数的最值。
2. 函数的最值与值域的关系
（1）函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的是整个定义域。
（2）函数的值域一定存在，而函数的最大（小）值不一定存在。
（3）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素，即此时函数的最大值是其值域中的最大值，函数的最小值是其值域中的最小值。


典例一：利用函数的图象求函数的最值

（1）函数f（x）在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（　　）
A. －2，f（2）
B. 2，f（2）
C. －2，f（5）
D. 2，f（5）
解析：由函数的图象知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f（5）。
（2）求函数f（x）＝的最值。
函数f（x）的图象如图

解析：由图象可知f（x）的最小值为f（1）＝1，无最大值。

总结提升：利用图象法求函数最值
（1）利用函数图象求函数最值是求函数最值的常用方法，对图象易作出的函数常用此法。
（2）图象法求最值的一般步骤：


典例二：利用函数的单调性求最值
求函数f（x）＝在区间[2，5]上的最大值与最小值。
解析：任取2≤x1＜x2≤5，
则f（x2）－f（x1）＝－＝。
∵2≤x1＜x2≤5，∴x1－x2＜0，x2－1＞0，x1－1＞0，
∴f（x2）－f（x1）＜0，∴f（x2）＜f（x1），
∴f（x）＝在区间[2，5]上是减函数，
∴f（x）max＝f（2）＝＝2，
f（x）min＝f（5）＝＝。

总结提升：方法归纳
函数的单调性与最值的关系：
（1）若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f（x）在[a，b]上的最大值为f（a），最小值为f（b）；
（2）若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f（x）在[a，b]上的最大值为f（b），最小值为f（a）。

典例三：不含参数二次函数的最值
已知函数f（x）＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值。（1）x∈R；（2）[0，3]；（3）[－1，1]。

解析：f（x）＝3x2－12x＋5＝3（x－2）2－7。
（1）当x∈R时，f（x）＝3（x－2）2－7≥－7，
当x＝2时，等号成立。
即函数f（x）的最小值为－7，无最大值。

（2）函数f（x）＝3（x－2）2－7的图象如图所示，由图可知，函数f（x）在[0，2）上递减，在[2，3]上递增，并且f（0）＝5，f（2）＝－7，f（3）＝－4，所以在[0，3]上，f（x）max＝f（0）＝5，f（x）min＝f（2）＝－7。
（3）由图象可知，f（x）在[－1，1]上单调递减，
f（x）max＝f（－1）＝20，f（x）min＝f（1）＝－4。

总结提升：求解二次函数最值问题的顺序
（1）确定对称轴与抛物线的开口方向、作图。
（2）在图象上标出定义域的位置。
（3）观察单调性写出最值。
[注意] 求二次函数的最值时，要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，并注意最大（小）值不一定在顶点处取得。

典例四：含参数二次函数的最值
求函数f（x）＝x2－2ax＋2在[－1，1]上的最小值。
解析：函数f（x）图象的对称轴方程为x＝a，且函数图象开口向上，如图所示：

（1）当a>1时，f（x）在[－1，1]上单调递减，
故f（x）min＝f（1）＝3－2a；
（2）当－1≤a≤1时，f（x）在[－1，1]上先减后增，
故f（x）min＝f（a）＝2－a2；
（3）当a<－1时，f（x）在[－1，1]上单调递增，
故f（x）min＝f（－1）＝3＋2a。
综上可知f（x）的最小值为
f（x）min＝。

总结提升：
解答本题利用了分类讨论思想，对称轴x＝a不确定，从而分类讨论，分为：
①对称轴在定义域区间右侧；
②对称轴在定义域区间左侧；
③对称轴在定义域区间内，再结合函数的图象求其最值。


1. 利用函数图象求最值，在定义域范围内。找对应图像最高点，最低点的纵坐标。
2. 单调性求最值，要注意区间端点能否取到，还要注意区间端点所对应函数值有无穷的情况。
3. 不含参数二次函数求最值，一是注意开口方向；二是对称轴与区间关系；三是除了运用单调性外还可以根据“开口向上，离对称轴越远函数值越大”的规律来求解最值值域。
4. 含参数讨论单调性，讨论标准是对称轴与区间的关系。


（答题时间：30分钟）
1. 函数f（x）的部分图象如图所示，则此函数在[－2，2]上的最小值、最大值分别是（　　）

A. －1，3　　　　　　　　　 B. 0，2
C. －1，2 D. 3，2
2. 函数y＝x－在[1，2]上的最大值为（　　）
A. 0 B.
C. 2 D. 3
3. 函数y＝的最大值是（　　）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
4. 若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是（　　）
A. 2 B. －2
C. 2或－2 D. 0
5. 已知函数f（x）＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f（x）有最小值－2，则f（x）的最大值为（　　）
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
6. 函数f（x）＝在[1，b]（b>1）上的最小值是，则b＝________。
7. 已知函数f（x）＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R的最小值为g（t），试写出g（t）的函数表达式。






1. C 【解析】当x∈[－2，2]时，由题图可知，x＝－2时，f（x）的最小值为f（－2）＝－1；x＝1时，f（x）的最大值为2。故选C。
2. B 【解析】函数y＝x在[1，2]上是增函数，函数y＝－在[1，2]上是增函数，所以函数y＝x－在[1，2]上是增函数。
当x＝2时，ymax＝2－＝。
3. C 【解析】当x<1时，函数y＝x＋3单调递增，且有y<4，无最大值；当x≥1时，函数y＝－x＋6单调递减，则在x＝1处取得最大值，为5。所以，函数在整个定义域内的最大值为5。
4. C 【解析】当a＞0时，由题意得2a＋1－（a＋1）＝2，即a＝2；当a＜0时，a＋1－（2a＋1）＝2，所以a＝－2。综上a＝±2。
5. C 【解析】因为f（x）＝－（x2－4x＋4）＋a＋4＝－（x－2）2＋4＋a，所以函数f（x）图象的对称轴为x＝2。
所以f（x）在[0，1]上单调递增。
又因为f（x）min＝－2，所以f（0）＝－2，即a＝－2。
所以f（x）max＝f（1）＝－1＋4－2＝1。
6. 【解析】因为f（x）在[1，b]上是减函数，
所以f（x）在[1，b]上的最小值为f（b）＝＝，
所以b＝4。
答案：4
7. 【解析】f（x）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为x＝1。

当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图（1）所示，函数f（x）在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为g（t）＝f（t＋1）＝t2＋1；
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图（2）所示，最小值为g（t）＝f（1）＝1；
当t>1时，函数图象如图（3）所示，函数f（x）在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为g（t）＝f（t）＝t2－2t＋2。
综上可得g（t）＝