人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）精品学案

专题8 函数方程问题的分析

一、基础知识：

1、函数方程：含有未知函数的等式叫做函数方程，例如：都可称为函数方程。在高中阶段，涉及到函数方程有以下几个类型：

（1）表示函数的某种性质：例如体现是偶函数；体现是周期为1的周期函数（可详见“函数对称性与周期性”一节）

（2）可利用解方程组的思想解出涉及的函数的解析式：例如：，可用代替得，即

（3）函数方程也是关于变量的恒等式，所以通过对变量赋特殊值得到某些数的函数值

2、双变量函数方程的赋值方法：

（1）对均赋特殊值，以得到某些点的函数值，其中有些函数值会对性质的推导起到关键作用，比如，在赋特殊值的过程中要注意所赋的值要符合函数定义域。

（2）其中某一个变量不变，另一个赋特殊值，可得到单变量的恒等式，通常用于推断函数的性质

3、常见函数所符合的函数方程：在填空选择题时可作为特殊的例子辅助处理，但是在解答题中不能用这些特殊的函数代表函数方程

（1）：

（2）：

（3）① 当时，：

     ②当时，：

二、典型例题

例1：已知函数对任意的均有，且当时，

（1）求证：为奇函数

（2）求证：为上的增函数

（1）思路：要证明奇函数，则需要出现在同一等式中，所以考虑令，则有，再通过代入特殊值计算出即可

解：（1）令，则

令，则解得

为奇函数

（2）思路：要证明单调递增，则需任取，且，去证明与的大小，结合等式，则需要让与分居等号的两侧，才能进行作差。所以考虑，进而。只需判断的符号即可

解：任取，且，令，代入方程可得：

    ，依题意可得：

即

为增函数

小炼有话说：第（2）问将拆分为是本题证明的亮点，达到了让与分居等号的两侧的目的

例2：已知定义在上的函数，对于任意实数都满足，且，当时，

（1）求的值

（2）求证：在上是增函数

（3）求不等式：的解集

解：（1）令，则有，解得或

令可得：

（2）思路：考虑证明单调递增，则需构造出，即可设且令，则有，从而，由和已知条件可得：所以需要证明，即，，可考虑结合题目条件和，令，则有，从而单调性可证

证明：，则令，代入函数方程有：

    ，下证

由已知可得，时，所以只需证明时，

令  

，即

在上单调递增

（3）思路：本题并没有的解析式，所以考虑利用函数的单调性求解。由（1）（2）问可得，从而，再根据单调性即可得到关于的不等式，解出不等式即可

解：

，且

  由（2）可得单调递增

解得

例3：定义在的函数满足关系，当时，，若，则的大小关系为（     ）

A.         B.         C.        D.

思路：由比较函数值大小联想到考虑函数的单调性，先化简，由可得：，令解得：，即，所给方程左边已经作差，所以考虑，，则，因为，所以，从而，即，得到在单调递增，所以

答案：D

小炼有话说：本题在证明单调性时，因为考虑了中自变量的取值，所以只需考虑的单调性，缩小的范围使得判断的范围较容易。但也可将在中任取，但是在判断的范围会比较复杂，可利用不等式的等价变形来证：

假设，因为 

且

由可得成立，从而

例4：函数的定义域为，满足，在区间上单调递增，若满足，则实数的取值范围是（     ）

A.              B.           C.       D.

思路：从所求中发现互为相反数，所以联想到判定是否具有奇偶性。令，则有，需求出：令，则，再令，则，所以，为偶函数。所以，所解不等式为，因为为偶函数，且区间上单调递增，所以自变量距离轴越近，则函数值越小，所以，即，解得，因为，所以的范围为

答案：D

例5：设角的终边在第一象限，函数的定义域为，且，当时，有，则使等式成立的的集合为           

思路：首先从所求出发，由确定代入的特殊值。令得：，则下一步需要确定的值，令，则有，所以，由角的终边在第一象限可得：，从而的集合为

答案：

例6：定义在上的函数满足：对于任意的，有，且时，有，设的最大值和最小值分别为，则的值为（     ）

A.               B.              C.             D. 

思路：由最值联想到函数的单调性，从而先考虑证明单调，令（其中），则可证明为增函数，从而，再利用函数方程求出的值即可

解：，且，令代入函数方程可得：

，

在单调递增  

令，可得：

答案：D

例7：已知函数满足：，对任意实数都有，则（   ）

A.                B.             C.              D. 

思路：由所求出发可考虑判断是否具备周期性，令，可得，即，所以，两式相加可得，则可判定的周期为6，由可得：，即，由可得，则，从而，所以，且

答案：B

例8：已知是定义在上的函数，，且对任意的，都有，那么

__________

思路：函数方程为“和→积”的特点，抓住，可发现令，则，所以可得：自变量间隔,，其函数值的和为0，所以将求和的式子两两一组，即：

答案：

例9：设函数的定义域为，，且对，都有，则的解析式为________

思路：观察到右边的结构并非的轮换对称式，考虑其中一个变量不变，另一个变量赋值为1，则时， ①，时， ②，则求是关键，结合，可令，则，代入到①②可得：，即，消去解得：

答案：:

例10：已知函数是定义在上不恒为的函数，且对于任意的实数满足，

，，考察下列结论：

① ②为奇函数  ③数列为等差数列  ④数列为等比数列，其中正确的个数为(          )

 A．               B．              C．           D．

思路：考虑按照选项对函数方程中的进行赋值。

①计算，令，可得；令，则，所以，①正确

② 使等式中出现，令，则，需要计算出，结合方程可令，则有，即，所以，为奇函数，②正确

③ 从等差数列定义出发，考虑递推公式，因为，所以可得：

，从而判定为等差数列，③正确

④若按照等比数列定义，考虑，则不易于进行化简。可由③出发得到的表达式：，所以，即，所以，从而可判定是一个等比数列，④正确

答案：D