数学必修 第一册无理数指数幂及其运算性质当堂达标检测题

这是一份数学必修 第一册无理数指数幂及其运算性质当堂达标检测题，文件包含人教A版高中数学必修第一册题型归纳讲与练专题41指数六大题型原卷版doc、人教A版高中数学必修第一册题型归纳讲与练专题41指数六大题型解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。

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\l "_Tc19504" 【题型1 根式与分数指数幂的互化】 PAGEREF _Tc19504 \h 2
\l "_Tc26352" 【题型2 指数式的化简】 PAGEREF _Tc26352 \h 4
\l "_Tc17241" 【题型3 根据指数式求参】 PAGEREF _Tc17241 \h 5
\l "_Tc9166" 【题型4 指数式的给条件求值问题】 PAGEREF _Tc9166 \h 6
\l "_Tc28242" 【题型5 指数幂等式及幂的方程问题】 PAGEREF _Tc28242 \h 7
\l "_Tc9290" 【题型6 指数幂等式的证明】 PAGEREF _Tc9290 \h 8
【知识点1 根式与分数指数幂】
1．根式
(1)n次方根的定义与性质
(2)根式的定义与性质
2．分数指数幂
注：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已.
【题型1 根式与分数指数幂的互化】
【例1】（2023·全国·高三专题练习）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】利用分数指数幂与根式的互化公式逐个判断即可.
【解答过程】A中，（），故A错误；
B中，，故B错误；
C中，（），故C正确；
D中，，故D错误.
故选：C.
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】运用化简
【解答过程】因为，所以即
又因为且
所以=
故选：D.
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据分式与指数幂的互化逐项判断可得答案.
【解答过程】对于A选项：，，故A错误；
对于B选项：，故B错误；
对于C选项：，故C正确；
对于D选项：当时，，而当时，没有意义，故D错误.
故选：C.
【变式1-3】（2023·全国·高一假期作业）下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据指数幂的运算性质，再结合指数幂的意义即可得到答案
【解答过程】对于A，由有意义可知，而当时，无意义，故A错误；
对于B，当时，，而无意义，故B错误；
对于C，，故C错误．
对于D，．故D正确．
故选：D.
【知识点2 指数幂的运算】
1．有理数指数幂的运算
(1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质：
①(a>0,r,s∈Q)；
②(a>0,r,s∈Q)；
③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
(2)指数幂的几个常用结论：
①当a>0时，>0；
②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义；
③若(a>0,且a≠1)，则r=s；
④乘法公式仍适用于分数指数幂.
2．无理数指数幂及实数指数幂
(1)无理数指数幂
一般地，无理数指数幂(a>0,是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂(a>0)中指数x
的取值范围从整数逐步拓展到了实数.
(2)实数指数幂的运算性质：
整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同.
【题型2 指数式的化简】
【例2】（2023·全国·高一假期作业）的值为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用指数幂的运算性质求解．
【解答过程】解：原式＝.
故选：D．
【变式2-1】（2023秋·高一课时练习）化简 (a>0，b>0)的结果是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】直接利用根式与分数指数幕的互化及其化简运算，求解即可.
【解答过程】 ，
故选：B.
【变式2-2】（2023春·江西·高一校考期末）计算，结果是（ ）
A．1B．C．D．
【解题思路】根据给定条件，利用指数幂的运算及根式的意义计算作答.
【解答过程】.
故选：B.
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】直接利用指数幂的运算性质计算即可.
【解答过程】.
故选：B.
【题型3 根据指数式求参】
【例3】（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据指数幂的运算以及根式的含义，直接可求得答案.
【解答过程】因为，故，
故选：D.
【变式3-1】（2022秋·高一单元测试）若正数，满足，，则（ ）
A．1B．3C．5D．7
【解题思路】根据根式的性质求出，，即可得解.
【解答过程】解：因为正数，满足，，
所以，，
所以；
故选：C.
【变式3-2】（2022秋·高一单元测试）若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据给定根式，结合其变形及结果列式计算作答.
【解答过程】因，则有，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
【变式3-3】（2022·全国·高一专题练习）已知实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据二次根式的运算求解.
【解答过程】设，，
，，
，
.
.
又，，
，.
故选：D.
【题型4 指数式的给条件求值问题】
【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知，则的值是（ ）
A．15B．12C．16D．25
【解题思路】利用分数指数幂的运算即可求出结果.
【解答过程】因为，
所以，
又由立方差公式，，
故选：A．
【变式4-1】（2023·江苏·高一假期作业）若，，则的值为（ ）
A．B．2C．D．
【解题思路】由求出，结合指数幂公式可分别求出，进而得解.
【解答过程】由，，得，，，．
故．
故选：C.
【变式4-2】（2022秋·四川成都·高一校考期中）已知，则（ ）
A．7B．9C．47D．49
【解题思路】对两边平方化简后，再平方化简可求得结果.
【解答过程】由，得，即，
所以，
所以，即，
所以，
故选：C.
【变式4-3】（2023秋·河南郑州·高一校考期末）已知，下列各式中正确的个数是（ ）
①；②；③；④；
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据完全平方和公式，立方和公式分别计算即可求解.
【解答过程】①,正确；
②，正确；
③因为可知，，，
所以，故错误；
④，正确.
故选：C.
【题型5 指数幂等式及幂的方程问题】
【例5】（2022·全国·高一专题练习）方程的解为（ ）
A．2B．﹣2C．﹣1D．1
【解题思路】由，再利用指数函数的单调性求解 .
【解答过程】解：∵，
∴x﹣1＝﹣2，
∴x＝﹣1．
故选：C．
【变式5-1】（2022·全国·高一专题练习）方程的解集是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据题意，先把转化为，且，然后再化简求值即可．
【解答过程】原方程可化为：，即，解得：．
故选：B．
【变式5-2】（2022·全国·高一专题练习）方程的解是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．2D．1
【解题思路】化简指数方程为3x﹣1＝3﹣2，即可解出．
【解答过程】∵方程，
∴，
∴，
∴，
因此方程的解是．
故选：B.
【变式5-3】（2023·上海·高一专题练习）方程的解为（ ）．
A．B．C．1D．3
【解题思路】把作为一个整体，方程两同乘以，可以看作一元二次方程求解．
【解答过程】，，，
因为，所以，．
故选：A．
【题型6 指数幂等式的证明】
【例6】（2022·全国·高一专题练习）已知且，，求证：．
【解题思路】根据题意，由，得到，即可得到证明.
【解答过程】证明：∵且，，
∴，∴，
∴．
∴．
【变式6-1】（2022·全国·高一专题练习）已知，求证：3k2+2＝2m2．
【解题思路】由，化为2|m|2+3k2，两边平方整理利用完全平方公式即可得出．
【解答过程】证明：∵，
∴2|m|2+3k2，
两边平方可得：，
化为，
∴．
【变式6-2】（2022·全国·高一专题练习）设，且x，y，a均为正数，求证：.
【解题思路】根据根式和分数指数幂的运算法则进行化简，即可得到结论.
【解答过程】
，设，
则，即，
故成立.
【变式6-3】（2022·全国·高一专题练习）已知，且，求证：.
【解题思路】设，可得出，，，代入可得出，然后代入所证等式左边，化简计算即可证明等式成立.
【解答过程】令，则，，，
因为，所以，即.
所以.定义
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*
性质
(1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示；
(2)当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为；
(3)负数没有偶次方根；
(4)0的任何次方根都是0，记作
定义
式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数
性质
，
整数指数幂
指数
幂中
的指
数从
整数
拓展
到了
有理
数
分数指数幂
正整数指数幂：
正数的正分数指数幂：
负整数指数幂：
正数的负分数指数幂：
规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1
规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义
整数指数幂
的运算性质
底数、指数
的取值范围
实数指数幂
的运算性质
底数、指数
的取值范围
m,n∈Z,a∈R
r,s∈R,且a>0
m,n∈Z,a∈R
r,s∈R,且a>0
n∈Z,a∈R,b∈R
r∈R,且a>0,b>0