高中人教A版 (2019)5.2 导数的运算课后练习题

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难点：理解简单复合函数的复合过程，正确地运用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数。
一、基本初等函数的导数
二、导数的运算法则
1、加减法：
2、乘法：
3、除法：
三、复合函数的导数
1、复合函数的概念
一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作.
2、复合函数的求导法则
一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
规律：从内到外层层求导，乘法连接。
3、求复合函数的导数的步骤
第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；
第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；
第三步相乘：把上述求导的结果相乘；
第四步变量回代：把中间变量代回。
4、求复合函数的导数注意以下几点：
（1）分解的函数通常为基本初等函数；
（2）求导时分清是对哪个变量求导；
（3）计算结果尽量简洁。
四、导函数的常用结论
1、奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数．
2、函数的导数反映了函数的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小反映了变化的快慢，越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
题型一 求简单函数的导数
【例1】（2023·河北·高二河北师范大学附属中学校考阶段练习）函数的导数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.故选：C
【变式1-1】（2023·甘肃·高二天水市第一中学校考阶段练习）下列求导运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A中，由，所以A错误；
对于B中，由，所以B正确；
对于C中，由，所以C错误；
对于D中，由，所以D错误.故选：B.
【变式1-2】（2023·山西晋中·高二校考阶段练习）（多选）下列函数求导正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确；故选：BD
【变式1-3】（2023·高二课时练习）求下列函数的导数．
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）
（2）
（3）
题型二 求复合函数的导数
【例2】（2023·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）函数的导函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，故选：B
【变式2-1】（2023·湖北·高二武汉市第四十九中学校考阶段练习）（多选）下列求函数的导数正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】选项A:正确；
选项B: 错误；
选项C：正确；
选项D：，正确；故选：ACD
【变式2-2】（2023·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考阶段练习）求下列函数的导数：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，
所以.
（2）.
【变式2-3】（2023·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学校考阶段练习）求下列函数的导数．
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
（2）
题型三 求某点处的导数值
【例3】（2023·重庆·高二校联考期末）若函数，则（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【解析】，则.故选：B
【变式3-1】（2023·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，
即，则，
，故选：D.
【变式3-2】（2023·海南·高二校考期末）函数的导函数为，且满足，则的值为（ ）
A．5 B．1 C．6 D．-2
【答案】C
【解析】函数，求导得，
当时，，解得，
因此，所以.故选：C
【变式3-3】（2023·安徽滁州·高二校联考阶段练习）已知函数，则（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
【答案】A
【解析】当时，，所以，
又，则，解得，
由定义可知，．故选：A．
题型四 求切线的斜率与方程
【例4】（2023·湖南·高二浏阳一中校联考阶段练习）曲线在处的切线的斜率为（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】∵，
∴曲线在处的切线的斜率为，故选：D．
【变式4-1】（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考阶段练习）函数的图象在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以．因为，
所以切线方程为，即．故选：D.
【变式4-2】（2023·北京东城·统考一模）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由函数，可得，
设切点坐标为，可得切线方程为，
把原点代入方程，可得，即，解得，
所以切线方程为，即.故选：A.
【变式4-3】（2023·贵州黔东南·高二校考阶段练习）（多选）已知函数，则过点且与曲线相切的直线方程可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由，得，
设切点坐标为，则，
则过切点的切线方程为，
把点代入，可得，
整理得：，即或.
当时，切线方程为;当时，切线方程为.故选：BC.
题型五 已知切线求参数范围
【例5】（2023·河南周口·高二校联考阶段练习）已知曲线在处的切线过点，则实数（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】B
【解析】因为，所以，
曲线在处的切线的斜率为，
又因为，曲线在处的切线过点，
故，则．故选：B．
【变式5-1】（2023·山东淄博·高二校考阶段练习）已知直线是函数的图象在点处的切线，则 .
【答案】5
【解析】由题可得，，
因为直线是函数的切线，
所以，解得，
所以，所以切点为，
又因为切点在切线上，所以，所以.
【变式5-2】（2023·陕西咸阳·高二校考阶段练习）已知曲线在处的切线与直线垂直，则的值是
【答案】
【解析】设曲线在处的切线斜率为，
因为切线与直线垂直，所以，解得，
令，则，
所以，解得.
【变式5-3】（2023·山东枣庄·高二枣庄八中校考阶段练习）已知函数在处的切线与函数的图象相切，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，则，
又，函数在处的切线方程为，
设直线与函数的图象相切于，
则，，
联立解得，.故选：A
题型六 利用切线求距离最值
【例6】（2023·陕西安康·高二校考期中）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】过点作曲线的切线，
当切线与直线平行时，点到直线距离最小.
设切点为，
所以切线斜率为，由题知，解得或（舍），
，此时点到直线距离.故选：D
【变式6-1】（2023·江西吉安·高二统考期末）若动点在曲线上，则动点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，由题意知，
则在点处的切线斜率为，
当在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，
由，得，则，
所以点到直线的距离.
所以动点到直线的距离的最小值为.故选：A
【变式6-2】（2023·广东广州·高二统考期末）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设与直线平行的直线的方程为，
∴当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，
设切点， ，所以，
，，，
点，直线的方程为，
两点间距离的最小值为平行线和间的距离，
两点间距离的最小值为.故选：.
【变式6-3】（2023·浙江·高二校联考阶段练习）若点，，则、两点间距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】点在直线，点在上，，
设的切线的切点为，
，所以在点处的切线为，
此时切线与直线平行，
直线与之间的距离为的最小值，故选：B函数
导函数
函数
导函数
(c是常数)
(为实数)
特别地
特别地