高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.2 导数的运算综合训练题

专题02　曲线的切线方程

考点一　求切线的方程

【方法总结】

求曲线切线方程的步骤

(1)求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程的步骤

第一步，求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值f′(x0)，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；

第二步，由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．

(2)求曲线过点P(x0，y0)的切线方程的步骤

第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；

第二步，写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；

第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；

第四步，将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．

注意：在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．

【例题选讲】

[例1](1) (2021·全国甲)曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为________．

(2) (2020·全国Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)

A．y＝－2x－1　　　　B．y＝－2x＋1　　　　C．y＝2x－3　　　　D．y＝2x＋1

(3) (2018·全国Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax．若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为(　　)

A．y＝－2x　　　　　　B．y＝－x　　　　　　C．y＝2x　　　　　　D．y＝x

(4) (2020·全国Ⅰ)曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．

(5)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为         ．

(6) (2021·新高考Ⅰ)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则(　　)

A．eb<a　　　　　　B．ea<b　　　　　　C．0<a<eb 　　　　　　D．0<b<ea

(7)已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则P点的坐标为(　　)

A．(1，3)　　　　B．(－1，3)　　　　C．(1，3)或(－1，3)　　　　D．(1，－3)

(8) (2019·江苏)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．

(9)设函数f(x)＝x3＋(a－1)·x2＋ax，若f(x)为奇函数，且函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＝0垂直，则切点P(x0，f(x0))的坐标为        ．

(10)函数y＝在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．1

(11)曲线y＝x2－lnx上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是        ．

【对点训练】

1．设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，则曲线在点P处切线的倾斜角α的取值范围为(　　)

A．∪　　　B．　　　C．∪　　　D．

2．函数f(x)＝ex＋在x＝1处的切线方程为        ．

3．(2019·全国Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________．

4．曲线f(x)＝在点P(1，f(1))处的切线l的方程为(　　)

A．x＋y－2＝0　　B．2x＋y－3＝0　　C．3x＋y＋2＝0　　D．3x＋y－4＝0

5．(2019·全国Ⅱ)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为(　　)

A．x－y－π－1＝0 　　　　　　　　　　　　　　B．2x－y－2π－1＝0

C．2x＋y－2π＋1＝0　　　　　　　　　　　　　　D．x＋y－π＋1＝0

6．(2019·天津)曲线y＝cos x－在点(0，1)处的切线方程为________．

7．已知f(x)＝x为奇函数(其中e是自然对数的底数)，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为       ．

8．已知曲线y＝x3上一点P，则过点P的切线方程为________．

9．已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为          ．

10．设函数f(x)＝f′x2－2x＋f(1)ln x，曲线f(x)在(1，f(1))处的切线方程是(　　)

A．5x－y－4＝0　　　　B．3x－y－2＝0　　　　C．x－y＝0　　　　D．x＝1

11．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”

的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f(x)＝ln(1＋x)，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为________，用此结论计算ln2 022－ln2 021≈________．

12．曲线f(x)＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为(　　)

A．2　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

13．已知曲线y＝x3＋．

(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；

(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程．

14．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0．

(1)求f(x)的解析式；

(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

15．(2021·全国乙)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标．

考点二　求参数的值(范围)

【方法总结】

处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．

注意：曲线上横坐标的取值范围；谨记切点既在切线上又在曲线上．

【例题选讲】

[例1](1)已知曲线f(x)＝ax3＋lnx在(1，f(1))处的切线的斜率为2，则实数a的值是________．

(2)若函数f(x)＝lnx＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是        ．

(3)设函数f(x)＝alnx＋bx3的图象在点(1，－1)处的切线经过点(0，1)，则a＋b的值为        ．

(4)(2019·全国Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)

A．a＝e，b＝－1　　　B．a＝e，b＝1　　　C．a＝e－1，b＝1　　　D．a＝e－1，b＝－1

(5)设曲线y＝在点(1，－2)处的切线与直线ax＋by＋c＝0垂直，则＝(　　)

A．　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．－3

(6)已知直线y＝kx－2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为________．

(7)已知函数f(x)＝x＋，若曲线y＝f(x)存在两条过(1，0)点的切线，则a的取值范围是           ．

(8)关于x的方程2|x＋a|＝ex有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为________．

【对点训练】

1．若曲线y＝xlnx在x＝1与x＝t处的切线互相垂直，则正数t的值为________．

2．设曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝(　　)

A．0　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．3

3．若曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为(　　)

A．(1，3)　　　　B．(－1，3)　　　　C．(1，3)或(－1，3)　　　　D．(1，－3)

4．函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是      ．

5．已知函数f(x)＝xcosx＋asinx在x＝0处的切线与直线3x－y＋1＝0平行，则实数a的值为        ．

6．已知函数f(x)＝x3＋ax＋b的图象在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y－5＝0，则a＝________；b＝________．

7．若函数f(x)＝ax－的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，4)，则a＝________．

8．若曲线y＝ex在x＝0处的切线也是曲线y＝lnx＋b的切线，则b＝(　　)

A．－1　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．e

9．曲线y＝(ax＋1)ex在点(0，1)处的切线与x轴交于点，则a＝      ；

10．过点M(－1，0)引曲线C：y＝2x3＋ax＋a的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A、B两点，若|MA|

＝|MB|，则a＝      ．

11．已知曲线C：f(x)＝x3－3x，直线l：y＝ax－a，则a＝6是直线l与曲线C相切的(　　)

A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件　　C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件

12．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：

(1)斜率最小的切线方程；

(2)切线l的倾斜角α的取值范围．

13．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．

(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；

(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．

14．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C．

(1)求在曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；

(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．