人教A版 (2019)选择性必修 第二册导数的运算精品教案

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5.2.1基本初等函数的导数
一、学习目标
（一）课程标准要求
①能根据导数定义推导函数的导数公式
②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如)的导数.
③会使用导数公式表.
（二）课时目标要求
1.利用导数的定义推导出常值函数与幂函数的导数，体验由特殊到一般的逻辑思维过程，发展学生的逻辑推理与数学运算核心素养.
2.能从物理或几何的角度，解释5个函数，的导数的意义，并借助信息技术观察这几个函数图象上的点处切线的斜率随着的变化而变化的规律，体会数形结合的思想，发展直观想象素养.
3.能根据几个常用幂函数的导数公式的结构特征，归纳出形如一般幂函数的导数公式，并熟悉其他基本初等函数的导数公式，体会特殊与一般的数学思想.
4.通过应用常用函数的导数公式求基本初等函数的导数，发展学生的数学运算核心素养.
二、重点难点
学习重点：基本初等函数的导数公式.
学习难点：基本初等函数的导数公式的应用.
三、学习过程
环节一：创设情境，导入新课
由导函数的定义可知，如果一个函数可导，那么它的导数是唯一确定的.我们知道，很多复杂的函数都是由基本初等函数通过加、减、乘、除等运算得到的，由此自然想到要计算较复杂函数的导数，是否可以先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的运算法则，这样就可以利用基本初等函数的导数和导数的运算法则来求复杂函数的导数了.本节课我们先研究基本初等函数的导数.
问题1：回顾上节课所学，函数在处的导数的概念是什么？导函数的概念又是什么？
追问1：你能利用导数的定义求出下列函数的导数吗？
(1);(2)
追问2：若和分别表示两个不同物体运动时路程关于时间的函数，你能借助这两个物体在任意一个时刻的瞬时速度，解释它们的运动状态吗？
问题2：你能从以上两个函数求导过程中归纳出用定义法求导数的基本步骤吗?
问题3：类似地，你能利用定义法推导以下两个函数的导数吗?
(3)；(4)
追问：你能从几何或物理角度解释问题3中的两个函数的导数的意义吗?
问题4：结合以上四个函数的导数推导方法，你能推导以下两个函数的导数吗?
(5)；(6)
追问：画出函数的图象．根据图象，你能结合其导数描述图象的变化情况吗？你能求出曲线在点处的切线方程，并进一步说明导数的几何意义吗?
问题5：前面我们根据导数的定义求出了一些简单函数的导数.对于常用的基本初等函数的导数，教科书给出了公式表.请你阅读教科书，记忆并默写出这些公式.
环节三：根据新知，简单应用
例1．求下列函数的导数：
（1）；（2）．
例2假设某地在20年间的年均通货膨胀率为，物价(单位：元)与时间(单位：年)之间的关系为
，
其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)?
追问：如果某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少?
环节四：随堂演练
1．下列选项正确的是（ ）
A．，则B．，则
C．，则D．，则
2．一质点的运动方程为，则时质点的瞬时速度为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则等于（ ）
A．0B．
C．D．
4．函数在点处的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
环节五：能力提升
题型一：基本初等函数导数公式应用
例1:求下列函数的导数.
(1)；(2)；(3)；(4)；(5).
变式训练：
1．求下列函数的导数.
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；
(7)；（8）；（9）；(10)．
题型二：利用导数研究曲线的切线方程
例2：已知函数
(1)求在点处的切线方程；
(2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程．
变式训练：
2．已知曲线的一条切线方程为，求的值．
3．以正弦曲线上一点为切点的切线为直线，则直线的倾斜角的范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．直线是曲线的一条切线，则实数 .
题型三：导数的简单综合应用
例3．已知两条曲线，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.
变式训练：
5．已知点，，函数．
(1)过坐标原点作曲线的切线，求切线方程；
(2)在曲线上是否存在点，使得过点的切线与直线平行？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
6．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ．
环节六：凝练升华，课堂小结
问题6:回顾本节课的学习内容，回答下列问题.
(1)利用导数定义推导函数的导数时，其基本步骤是什么?你认为最关键的是哪一步?
(2)回顾几个常用函数的导数的推导过程，你认为这个过程中应掌握哪些数学思想方法?
(3)在运用基本初等函数的导数公式解决问题的过程中，蕴含着哪些数学思想方法?
(4)用基本初等函数的导数公式解决实际问题时，基本方法是什么?
环节七：布置作业，应用迁移
巩固作业：教科书第75页练习第1、2、3、4题
巩固作业答案：
1．求下列函数的导数：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
2．求下列函数在给定点的导数：
（1）在处的导数；（2）在处的导数；
（3）在处的导数；（4）在处的导数．
3．求余弦曲线在点处的切线方程．
4．求曲线在点处的切线方程．