高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.4* 数学归纳法测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.4* 数学归纳法测试题，文件包含人教A版高中数学选择性必修第二册题型分类归纳讲与练44数学归纳法6大题型精讲原卷版docx、人教A版高中数学选择性必修第二册题型分类归纳讲与练44数学归纳法6大题型精讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
难点：了解数学归纳法的原理。
一、数学归纳法的定义和关键点
1、定义：一般地，当要证明一个命题对于不小于某个正整数的所有正整数都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）（归纳奠基）证明当时命题成立；
（2）（归纳递推）假设当(，≥)时命题成立，证明当命题也成立.
在完成这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法。
2、三个关键点
（1）验证是基础：数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点．
（2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
（3）利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．
二、归纳——猜想——证明”的一般环节：
1、计算：根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的前题；
2、归纳、猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般的结论；
3、证明：对一般结论利用数学归纳法进行证明.
三、用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项
1、明确初始值并验证真假（必不可少）；
2、“假设时命题正确”并写出命题形式；
3、分析“时”命题是什么，并找出与“”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项；
4、明确等式左端变形目标，掌握恒等变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设。
题型一 对数学归纳法的理解
【例1】（2023·四川成都·高二校考阶段练习）用数学归纳法证明“对任意的，都有，第一步应该验证的等式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在等式中，
当时，，
故等式的左边为，右边为.
所以第一步应该验证的等式是.故选：D
【变式1-1】（2023·北京海淀·高二人大附中校考期中）用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（ ）
A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立
B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立
C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立
D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立
【答案】D
【解析】因为为正偶数，所以第二步的假设应写为：
假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立，
即当（为正整数）时，能被整除，
再证时，能被整除.故选：D.
【变式1-2】（2023·全国·高三对口高考）某个与自然数有关的命题，如果当时该命题成立，可推得时该命题也成立，那么，若已知时该命题不成立，则可推得（ ）
A．当时，该命题不成立 B．当时，该命题成立
C．当时，该命题不成立 D．当时，该命题成立
【答案】C
【解析】可得题干等价于其逆否命题：当时该命题不成立，
则可推得时该命题也不成立．
所以，当时该命题不成立，则当时，该命题也不成立，
当时，该命题不成立，则当时，该命题也不成立.故选：C.
【变式1-3】（2023·高二课时练习）（多选）已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时也成立，则下列判断中正确的是（ ）
A．p(k)对k＝528成立 B．p(k)对每一个自然数k都成立
C．p(k)对每一个正偶数k都成立 D．p(k)对某些偶数可能不成立
【答案】AD
【解析】由题意知p(k)对k＝2，4，6，…，2002成立，
当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD.故选：AD
题型二 数学归纳法的增项问题
【例2】（2023·上海·高二期末）用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，左端＝，
当时，左端＝，
故左边要增乘的代数式为.故选：B．
【变式2-1】（2023·北京丰台·高二统考期中）用数学归纳法证明“对任意的，”，由到时，等式左边应当增加的项为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，当时，等式左边等于，共项求和；
当时，等式左边等于，共项求和；
所以由的假设到证明时,等式左边应添加的式子是.
故选：B.
【变式2-2】（2023·四川成都·高二五中学校考阶段练习）用数学归纳法证明（，为正整数）的过程中，从递推到时，不等式左边需添加的项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意当时左边，
当时左边，
所以，
故从递推到时，不等式左边需添加的项为.故选：C
【变式2-3】（2023·辽宁大连·高二校联考期中）用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】时，可得：
时，可得：，
故增加了项.故选：A
题型三 用数学归纳法证明恒等式
【例3】（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明（为正整数）．
【答案】证明见解析
【解析】当时，左侧，右侧，显然成立，
假设时，
当时，，
即当时，等式也成立，
综上可得，．
【变式3-1】（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明（为正整数）．
【答案】证明见解析
【解析】设．
①当时，左边，右边，等式成立；
②设当时等式成立，即，
则当时，
．
由①②可知当时等式都成立．
【变式3-2】（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：．
【答案】证明见解析
【解析】当时，等式左边，等式中间，等式右边，
即等式左边=等式中间=等式右边，等式成立；
假设时等式成立，
即有成立，
我们分两步来证明当时，等式成立，
即分别证明此时等式左边=等式中间，等式中间=等式右边即可，
第一步：由假设可知，当时，
有
成立，
即当时，等式左边=等式中间成立；
第二步：由假设，
所以此时有成立，
从而可知，当时，有
成立，
即当时，等式中间=等式右边成立；
结合以上两步有：若当时等式成立，则当时等式成立；
综上所述：由数学归纳法可得.
【变式3-3】（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明以下恒等式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立；
②假设当时，等式成立，
即，
则当时，左边
右边，
即当时，等式也成立；
综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立.
（2）①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立；
②假设当时，等式成立，
即，
则当时，左边
右边，
即当时，等式也成立；
综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立.
题型四 用数学归纳法证明不等式
【例4】（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：．
【答案】证明见解析.
【解析】当，则成立，
若且时，成立，
令，则，
所以时不等式也成立，
综上，恒成立.
【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）证明∶不等式成立.
【答案】证明见解析
【解析】①当时，左边右边，∴不等式成立.
②假设当时不等式成立，即.
③当时，
左边
，
∴当时，不等式也成立.
综上可得，原不等式恒成立.
【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）用数学归纳法证明：
【答案】证明见解析
【解析】（1）当时，，命题成立.
（2）假设当时，成立，
当时，
，
⸪，
⸫，
当时命题成立.
所以对于任意都成立.
【变式4-3】（2022·全国·高二专题练习）求证：.
【答案】证明见解析.
【解析】（1）当n=2时，左边=，右边=，显然左边>右边，即原不等式成立，
（2）假设当n=k(k≥2，k∈N*)时，原不等式成立，
即，
则当n=k+1时，
左边=
=右边，
因此，当n=k+1时，原不等式成立，
综合（1）和（2）知，对一切n≥2，n∈N*，原不等式都成立.
题型五 用数学归纳法证明整除问题
【例5】（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：能被整除（）
【答案】答案见解析
【解析】当时，，故能被整除，
假设当时，结论成立，即能被整除，
则当时，，
由于和均能被整除，
故能被整除，
综上：能被整除（）.
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）求证：对任何正整数n，数都能被8整除
【答案】证明见解析
【解析】1°当n=1时，，命题成立．
2°假设n=k时，能被8整除，
则当n=k+1时，,
因为是8的倍数，而也是8的倍数，
所以Ak+1也是8的倍数，即n=k+1时，命题也成立
由以上1°、2°可知，对一切正整数n，能被8整除．
【变式5-2】（2022·高二课时练习）先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：能被哪些自然数整除？
【答案】能被自然数6，1，2，3整除;证明见解析
【解析】时，原式，时，原式，时，原式，时，原式，
这些数都可以被6整除，所以猜想：可以被6整除，那么也可被1，2,3整除；
证明：（1）当时，，命题显然成立；
（2）假设当时，能被6整除．
当时，，
其中两个连续自然数之积是偶数，它的3倍能被6整除，
由假设知能被6整除，故，，6分别能被6整除，
所以当时，命题也成立．
据（1）（2），可知可以被6整除．
故能被自然数6,，1，2，3整除.
【变式5-3】（2023·全国·高三对口高考）是否存在正整数使得对任意正整数都能被整除，若存在，求出最大的的值，并证明你的结论．若不存在说明理由．
【答案】存在，且的最大值为
【解析】，，
所以，、的最大公约数为，
猜想：对任意的，能被整除，
当时，猜想显然成立；
假设当，猜想成立，即能别整除，
即存在，使得，
则当时，
，
因为为奇数，则为偶数，则能被整除，
所以，能被整除，
这说明当时，猜想也成立，
故对任意的，对任意正整数都能被整除，且.
故的最大值为.
题型六 用数学归纳法证明数列问题
【例6】（2023·浙江杭州·高二杭州第二中学校考期末）已知数列满足，.
（1）求，，；
（2）试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
【答案】（1）；（2），证明见解析
【解析】（1）由可知，
当时，代入，解得；
当时，代入，解得；
当时，代入，解得；
（2）猜想数列的通项公式为.
当时，左边，右边，成立.
（2）假设当时，成立.
则当时，有，
即当时，也成立.
所以对任何都成立.
【变式6-1】（2023·陕西西安·高二校考期中）设数列满足，.
（1）计算，，猜想的通项公式并用数学归纳法加以证明；
（2）若数列的前项和为，证明：.
【答案】（1），证明详见解析；（2）证明详见解析
【解析】（1）依题意，，，则，
所以，
猜想.
当时，成立，
假设当时，猜想成立，即，
则当时，，
猜想成立，所以.
（2），
所以.
【变式6-2】（2023·四川宜宾·统考模拟预测）已知正项数列满足，.
（1）计算,，猜想的通项公式并加以证明；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）,,,证明见解析；（2）.
【解析】（1）当时，；
当时，；
猜想.
证明如下：当时，成立；
假设时，成立；
那么时，,
即时，，
则对任意的，都有成立.
（2）由题意得，
.
【变式6-3】（2023·高二课时练习）设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有．
（1）求，，，，；
（2）猜想的通项公式，并加以证明．
【答案】（1），，，，；（2），证明见解析
【解析】（1）因为数列的各项均为正整数，
所以数列是递增数列，
因为，，
所以舍去，
同理可得：舍去，舍去，舍去，
所以，，，，；
（2）猜想：，证明过程如下：
当时，显然成立，
假设当时成立，即，
当时，
解得：，或，
因为数列的各项均为正整数，所以数列是递增数列，
显然，
所以，舍去，
所以当时，成立，
综上所述：