高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算学案，共10页。学案主要包含了利用导数公式求函数的导数，利用导数研究曲线的切线方程等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝eq \f(1,x)，y＝eq \r(x)的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
知识点一 几个常用函数的导数
知识点二 基本初等函数的导数公式
1．若y＝eq \r(2)，则y′＝eq \f(1,2)×2＝1.( × )
2．若f(x)＝eq \f(1,x3)，则f′(x)＝－eq \f(3,x4).( √ )
3．若f(x)＝5x，则f′(x)＝5xlg5e.( × )
4．若y＝sin 60°，则y′＝cs 60°.( × )
一、利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝x0；
(2)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x；
(3)y＝lg x；
(4)y＝eq \f(x2,\r(x))；
(5)y＝2cs2eq \f(x,2)－1.
解 (1)y′＝0.
(2)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))xln eq \f(1,3)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))xln 3.
(3)y′＝eq \f(1,xln 10).
(4)∵y＝eq \f(x2,\r(x))＝
∴
(5)∵y＝2cs2eq \f(x,2)－1＝cs x，
∴y′＝(cs x)′＝－sin x.
反思感悟 (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导．
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．
如y＝eq \f(1,x4)可以写成y＝x－4，y＝eq \r(5,x3)可以写成y＝等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，避免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．
(3)要特别注意“eq \f(1,x)与ln x”，“ax与lgax”，“sin x与cs x”的导数区别．
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝2 020；
(2)y＝eq \f(1,\r(3,x2))；
(3)y＝4x；
(4)y＝lg3x.
解 (1)因为y＝2 020，
所以y′＝(2 020)′＝0.
(2)因为y＝eq \f(1,\r(3,x2))＝
所以y′＝
(3)因为y＝4x，
所以y′＝4xln 4.
(4)因为y＝lg3x，
所以y′＝eq \f(1,xln 3).
二、利用导数研究曲线的切线方程
例2 已知曲线y＝ln x，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程．
解 ∵y′＝eq \f(1,x)，
∴k＝y′|x＝e＝eq \f(1,e)，
∴切线方程为y－1＝eq \f(1,e)(x－e)，
即x－ey＝0.
延伸探究
求曲线y＝ln x的过点O(0,0)的切线方程．
解 ∵O(0,0)不在曲线y＝ln x上．
∴设切点Q(x0，y0)，
则切线的斜率k＝eq \f(1,x0).
又切线的斜率k＝eq \f(y0－0,x0－0)＝eq \f(ln x0,x0)，
∴eq \f(ln x0,x0)＝eq \f(1,x0)，即x0＝e，
∴Q(e,1)，
∴k＝eq \f(1,e)，
∴切线方程为y－1＝eq \f(1,e)(x－e)，即x－ey＝0.
反思感悟 (1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤
跟踪训练2 (1)函数y＝x3在点(2,8)处的切线方程为( )
A．y＝12x－16 B．y＝12x＋16
C．y＝－12x－16 D．y＝－12x＋16
答案 A
解析 因为y′＝3x2，
当x＝2时，y′＝12，
故切线的斜率为12，
切线方程为y＝12x－16.
(2)已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，求c的值．
解 设切点为(x0，ln x0)，
由y＝ln x得y′＝eq \f(1,x).
因为曲线y＝ln x在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，其斜率为1.
所以＝eq \f(1,x0)＝1，
即x0＝1，
所以切点为(1,0)．
所以1－0＋c＝0，
所以c＝－1.
利用导数公式求切点坐标问题
典例 已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点P，使△ABP的面积最大．
解 由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，
∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要点P到AB的距离最大，
设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的切线斜率为k＝y′＝2x0，∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0 ＝1.
故可得P(1,1)，∴与直线l平行的抛物线的切线方程为2x－y－1＝0.
故P(1,1)点即为所求弧上的点，使△ABP的面积最大．
[素养提升] (1)利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．
(2)结合图象，利用公式计算求解，体现了直观想象与数学运算的数学核心素养．
1．给出下列命题：
①y＝ln 2，则y′＝eq \f(1,2)；
②y＝eq \f(1,x2)，则y′|x＝3＝－eq \f(2,27)；
③y＝2x，则y′＝2xln 2；
④y＝lg2x，则y′＝eq \f(1,xln 2).
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 对于①，y′＝0，故①错；
对于②，∵y′＝－eq \f(2,x3)，∴y′|x＝3＝－eq \f(2,27)，故②正确；
显然③，④正确．
2．已知f(x)＝eq \r(x)，则f′(8)等于( )
A．0 B．2eq \r(2) C.eq \f(\r(2),8) D．－1
答案 C
解析 f(x)＝eq \r(x)，得f′(x)＝
∴f′(8)
3．(多选)下列结论正确的是( )
A．若y＝3，则y′＝0
B．若y＝eq \f(1,\r(x))，则y′＝－eq \f(1,2)eq \r(x)
C．若y＝eq \r(x)，则y′＝eq \f(1,2\r(x))
D．若y＝x，则y′＝1
答案 ACD
解析 只有B是错误的．
因为y′
4．已知f(x)＝ln x且f′(x0)＝eq \f(1,x\\al(2,0))，则x0＝ .
答案 1
解析 因为f(x)＝ln x(x>0)，
所以f′(x)＝eq \f(1,x)，
所以f′(x0)＝eq \f(1,x0)＝eq \f(1,x\\al(2,0))，
所以x0＝1.
5．曲线y＝eq \f(9,x)在点M(3,3)处的切线方程是 ．
答案 x＋y－6＝0
解析 ∵y′＝－eq \f(9,x2)，
∴y′|x＝3＝－1，
∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，
即x＋y－6＝0.
1．知识清单：
(1)常用函数的导数．
(2)基本初等函数的导数公式．
(3)切线方程．
2．方法归纳：方程思想、待定系数法．
3．常见误区：不化简成基本初等函数.
1．下列求导运算正确的是( )
A．(cs x)′＝－sin x B．(x3)′＝x3ln x
C．(ex)′＝xex－1 D．(ln x)′＝eq \f(1,xln 10)
答案 A
2．下列各式中正确的个数是( )
①(x7)′＝7x6；②(x－1)′＝x－2；③(eq \r(5,x2))′ ④(cs 2)′＝－sin 2.
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 A
解析 ∵②(x－1)′＝－x－2；
④(cs 2)′＝0.
∴②④错误，故选A.
3．已知函数f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，若f′(－1)＝－4，则α的值等于( )
A．4 B．－4 C．5 D．－5
答案 A
解析 ∵f′(x)＝αxα－1，f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，
∴a＝4.
4．若函数f(x)＝cs x，则f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))的值为( )
A．0 B．－1 C．1 D．2
答案 A
解析 f′(x)＝－sin x，
所以f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－sin eq \f(π,4)＋cs eq \f(π,4)＝0.
5．(多选)已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为( )
A．(－1,1) B．(－1，－1)
C．(1,1) D．(1，－1)
答案 BC
解析 y′＝3x2，因为k＝3，所以3x2＝3，所以x＝±1，则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．
6．已知[cf(x)]′＝cf′(x)，其中c为常数．若f(x)＝ln 5lg5x，则曲线f(x)在点A(1,0)处的切线方程为 ．
答案 x－y－1＝0
解析 由已知得f′(x)＝ln 5 eq \f(1,xln 5)＝eq \f(1,x)，
所以f′(1)＝1，在A点处的切线方程为x－y－1＝0.
7．若曲线y＝eq \r(x)在点P(a，eq \r(a))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是 ．
答案 4
解析 因为y′＝eq \f(1,2\r(x))，
所以切线方程为y－eq \r(a)＝eq \f(1,2\r(a))(x－a)，
令x＝0，得y＝eq \f(\r(a),2)，令y＝0，得x＝－a，
由题意知eq \f(1,2)·eq \f(\r(a),2)·a＝2，所以a＝4.
8．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝eq \f(1,x)(x>0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为 ．
答案 (1,1)
解析 设f(x)＝ex，
则f′(x)＝ex，
所以f′(0)＝1.设g(x)＝eq \f(1,x)(x>0)，
则g′(x)＝－eq \f(1,x2).
由题意可得g′(xP)＝－1，解得xP＝1.
所以P(1,1)．
9．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
解 如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近．
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，
所以＝1，得x0＝0，
代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最小距离为eq \f(\r(2),2).
10．已知抛物线y＝x2，求过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－2))且与抛物线相切的直线方程．
解 设直线的斜率为k，直线与抛物线相切的切点坐标为(x0，y0)，则直线方程为y＋2＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))，
因为y′＝2x，所以k＝2x0，
又点(x0，xeq \\al(2,0))在切线上，
所以xeq \\al(2,0)＋2＝2x0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(1,2)))，
所以x0＝1或x0＝－2，则k＝2或k＝－4，
所以直线方程为y＋2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))或
y＋2＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))，
即2x－y－1＝0或4x＋y＋4＝0.
11．已知函数f(x)＝x3在某点处的切线的斜率等于1，则这样的切线有( )
A．1条 B．2条
C．多于2条 D．不能确定
答案 B
解析 y′＝f′(x)＝3x2，
设切点为(x0，xeq \\al(3,0))，
由3xeq \\al(2,0)＝1，得x0＝±eq \f(\r(3),3)，
即在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),9)))和点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),9)))处均有斜率为1的切线，故有2条．
12．若曲线y＝xα＋1(α∈Q且α≠0)在点(1,2)处的切线经过原点，则α＝ .
答案 2
解析 y′＝αxα－1，所以y′|x＝1＝α，所以切线方程为y－2＝α(x－1)，即y＝αx－α＋2，该直线过点(0,0)，所以α＝2.
13．已知f(x)＝cs x，g(x)＝x，则关于x的不等式f′(x)＋g′(x)≤0的解集为 ．
答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(π,2)＋2kπ，k∈Z))))
解析 ∵f′(x)＝－sin x，g′(x)＝1，
∴由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0，
即sin x≥1，则sin x＝1，
解得x＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
∴其解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(π,2)＋2kπ，k∈Z)))).
14．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 020(x)＝ .
答案 sin x
解析 由已知得，f1(x)＝cs x，f2(x)＝－sin x，
f3(x)＝－cs x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cs x，…，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f2 020(x)＝f4(x)＝sin x.
15．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，aeq \\al(2,k))处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是 ．
答案 21
解析 ∵y′＝2x，∴y＝x2(x>0)的图象在点(ak，aeq \\al(2,k))处的切线方程为y－aeq \\al(2,k)＝2ak(x－ak)．
又该切线与x轴的交点坐标为(ak＋1,0)，
∴ak＋1＝eq \f(1,2)ak，即数列{ak}是首项为a1＝16，公比为q＝eq \f(1,2)的等比数列，
∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.
16．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，求a1＋a2＋…＋a99的值．
解 导函数y′＝(n＋1)xn，切线斜率k＝y′|x＝1＝n＋1，所以切线方程为y＝(n＋1)x－n，可求得切线与x轴的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,n＋1)，0))，则an＝lg eq \f(n,n＋1)＝lg n－lg(n＋1)，所以a1＋a2＋…＋a99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 99－lg 100)＝lg 1－lg 100＝－2.原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝0
f(x)＝x
f′(x)＝1
f(x)＝x2
f′(x)＝2x
f(x)＝x3
f′(x)＝3x2
f(x)＝eq \f(1,x)
f′(x)＝－eq \f(1,x2)
f(x)＝eq \r(x)
f′(x)＝eq \f(1,2\r(x))
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)