高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册导数在研究函数中的应用当堂检测题

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1、（2023·河南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）设，则的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．和
【答案】D
【解析】由，得，
令，得或，
，的变化情况如下表所示.
所以，的单调递减区间是和.故选：D.
2、（2023·江苏常州·高二统考期末）函数的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为，
，
由得，所以的单调减区间为.故选：D.
3、（2023·吉林·高二校联考期末）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为，，
令，解得，
则的单调递减区间为. 故选：B.
4、（2023·高二课时练习）函数的单调递减区间是（ ）
A．, B．, C．, D．,
【答案】A
【解析】函数的导数 ，
由得，即，
所以函数的单调递减区间为；故选：A.
5、（2023·湖北武汉·高二武汉外国语学校校考期末）函数的单调减区间为 .
【答案】
【解析】的定义域为，
，
令，可得，可得，
又，则或，
所以的单调递减区间是.
【题型2 求含参函数的单调区间】
1、（2023·全国·高二专题练习）已知函数，讨论函数的单调性．
【答案】答案见解析
【解析】由题意知：定义域为，，
令，解得：，；
①当，即时，若，；若，；
在上单调递增，在上单调递减；
②当，即时，且不恒等于，
在上单调递增；
③当，即时，若，；若，；
在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
2、（2023·全国·高二专题练习）已知函数.讨论的单调性．
【答案】答案见解析
【解析】由题意知，定义域为，；
令，则.
①当，即时，（当且仅当，时取等号），
在上单调递减；
②当，即时，令，解得，，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，
在上单调递增.
3、（2023·全国·高二专题练习）已知函数．求函数的单调区间；
【答案】答案见解析
【解析】依题意，的定义域为R，
求导得，令，得或，
若，，，递增；
，，递减；，，递增，
若，则，在R上单调递增，
若，，，递增；
，，递减；，，递增，
综上，当时，函数的递增区间是，递减区间是；
当时，函数在R上单调递增；
当时，函数的递增区间是，递减区间是.
4、（2023·全国·高二专题练习）讨论函数 的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】由已知得，
则①当时，，所以在单调递增；
②当时，，所以在单调递减；
③当时，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上：当时，在单调递增；
当时，在单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
5、（2023·全国·高二专题练习）已知函数.讨论函数的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】方法一：由题意得：定义域为，，
由得：，即；
①当时，恒成立，在上单调递增；
②当时，，
令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
方法二：由题意得：定义域为，；
①当时，恒成立，在上单调递增；
②当时，由得：；由得：，
在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【题型3 已知函数的单调性求参数】
1、（2023·福建·高二南平第一中学校考阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
因为在区间上单调递减，
所以，即，则在上恒成立，
因为在上单调递减，所以，故.故选：A.
2、（2023·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题可知，在上恒成立，
显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．故选：D．
3、（2023·福建三明·高三校联考期中）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
令，因为在上不单调，
在上有变号零点，即在上有变号零点，
当 时， ，不成立；
当 时，只需 ，即 ，解得 或 ，
所以 在上不单调的充要条件是或 ，
所以在上不单调的一个充分不必要条件是，故选：B
4、（2023·湖南湘潭·高二湘潭县一中校联考期末）已知函数在上不单调，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
当时，在区间上单调递减，不符合题意.
当，时，，
在区间上单调递减，不符合题意.
当时，令，解得，
要使在区间上不单调，则，即，解得,
此时在区间上递减；
在区间上递增.故选：B
5、（2023·江苏淮安·高三清浦中学校联考阶段练习）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由得，
由于函数的定义域为，故令,解得，
故的单调递增区间为，
若在区间上单调递增，则，解得.
【题型4 原函数与导函数的关系】
1、（2023·陕西西安·高二校考期末）函数的图象如图，则导函数的图象可能是下图中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由函数图象知为偶函数，则，
因为的导数存在，两边取导数可得，
由复合函数的求导公式可得，故，
即为奇函数，排除CD，
由原函数图象可知当时，先递增再递减，
故在时，函数值先正后负，故排除B，故选：A
2、（2023·上海普陀·高二上海市宜川中学校考期末）已知函数，其导函数的图像如图所示．以下四个选项中，可能表示函数图像的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】从的图象可以看出，在区间,内，导函数大于0，且在区间,内，
导函数单调递增，在区间,内，导函数单调递减，
所以函数在区间,内单调递增，且的图象在区间内,越来越陡峭，
在区间,内越来越平缓，故选项符合题意．故选：B．
3、（2023·陕西西安·高二统考期末）是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由导函数的图象可知：当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，只有选项C符合，故选：C
4、（2023·新疆·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考阶段练习）已知是函数的导函数，函数. 的图象如图所示，则的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，由图象可得，则，
故在上单调递减，可知A、D错误；
当时，由图象可得，则，
故在上单调递减，可知B错误；故选：C.
5、（2023·山西运城·高二校联考阶段练习）（多选）设是函数的导函数，将和的图象画在同一直角坐标系中，可能正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】对选项A，若图中的直线为的图象，曲线为的图象，
因为的图象先负后正，的图象先减后增，故A可能正确.
对选项B，若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，
因为的图象在处先负后正，的图象在处先减后增，故B可能正确.
对选项C，若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，
因为恒成立，的图象为增函数，故C可能正确.
对选项D，若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，
因为的图象先负后正，的图象为增函数，不符合，
若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，
因为恒成立，的图象为增函数，不符合，故D错误.故选：ABC
【题型5 利用单调性解不等式】
1、（2023·天津·高二校联考期中）已知是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，，
因为，，所以恒成立，
所以在单调递增，
又因为是定义在R上的偶函数，所以在单调递减，
所以，
所以由，可得，解得.故选：A
2、（2023·福建泉州·高二校考期中）已知函数满足，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】由函数，可得函数的定义域为，
且，
所以函数在区间上为单调递增函数，
又由不等式，
可得，即，解得或，
即实数的取值范围是.
3、（2023·湖北恩施·高二校联考期中）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由函数的定义域为，
且，
所以函数为奇函数，
所以不等式，可化为，
又由，
因为，所以，为单调递增函数，
由，可得，即，解得，
所以实数的取值范为.故选：B.
4、（2023·广东东莞·高二校联考阶段练习）已知定义在上的函数的导函数为，且对任意都有，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则，所以在R上递增，
又，
则不等式等价于，所以，故选：A
5、（2023·云南保山·高二校联考阶段练习）定义在上的函数满足：有成立且，则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】设.
又有成立，
函数，即是上的增函数.
则，即.
【题型6 利用单调性比较大小】
1、（2023·广东佛山·高二校联考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
因为，
所以，即.故选：D.
2、（2023·陕西榆林·高二校考阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】构造函数，，
当时，，单调递增，
所以，即．故选：B．
3、（2023·陕西咸阳·高二统考期中）已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，，则，
∵当时，，即，在单调递减，
∴，∴，即，
∴.故选：D.
4、（2023·江苏徐州·高二校考阶段练习）已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得构造函数，则对任意的恒成立，
所以在上是减函数，
对A：因为，所以，即，得，故A错误；
对B、C、D：因为，所以，即，故C错误；
因为，所以，所以，
即，故D错误，故B正确.故选：B.
5、（2023·云南保山·高二统考期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】构造函数，则由题意可知当时，
所以函数在区间上单调递减，
又因为是定义在上的奇函数，所以是定义在上的偶函数，
所以在区间上单调递增，
又，，，
因为，，所以，
所以，即，正确.故选：.单调递减
单调递增
单调递减