高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算随堂练习题

专题03　曲线的公切线方程

【方法总结】

解决此类问题通常有两种方法

(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；

(2)设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝．

注意：求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法．

【例题选讲】

[例1](1)(2020·全国Ⅲ)若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝都相切，则l的方程为(　　)

A．y＝2x＋1　　　　B．y＝2x＋　　　　C．y＝x＋1　　　　D．y＝x＋

(2)已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝lnx＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为                    ．

(3)曲线C1：y＝ln x＋x与曲线C2：y＝x2有________条公切线．

(4)已知曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝        ．

(5) (2016·课标全国Ⅱ)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ex的切线，则b＝________．

(6)已知曲线f(x)＝lnx＋1与g(x)＝x2－x＋a有公共切线，则实数a的取值范围为        ．

【对点训练】

1．若直线l与曲线y＝ex及y＝－x2都相切，则直线l的方程为________．

2．已知函数f(x)＝x2的图象在x＝1处的切线与函数g(x)＝的图象相切，则实数a等于(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．e

3．已知函数f(x)＝＋1，g(x)＝alnx，若在x＝处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行，则实数a的值为(　　)[

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．4

4．若f(x)＝lnx与g(x)＝x2＋ax两个函数的图象有一条与直线y＝x平行的公共切线，则a等于(　　)

A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．3或－1

5．若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________．

6．已知f(x)＝lnx，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为

(1，f(1))，则m＝________．

7．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3lnx－x，若以上两函数的图象有公共点，

且在公共点处切线相同，则m的值为(　　)

A．2　　　　　　　　B．5　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．0

8．若直线y＝kx＋b是曲线y＝的切线，也是曲线y＝ex－1的切线，则k＋b等于(　　)

A．－　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

9．设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)在点P处的切线垂直，则P的坐标为________．

10．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－lnx相切，则a的值为        ．

11．已知曲线y＝ex在点(x1，)处的切线与曲线y＝lnx在点(x2，lnx2)处的切线相同，则(x1＋1)(x2－1)＝(　　)

A．－1　　　　　　　　B．－2　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．2

12．曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝aex(a>0)存在公切线，则a的取值范围是________．

13．若存在过点O(0，0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值．

14．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0．

(1)求a的值；

(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．