高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义练习题

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难点：1、理解导数的几何意义，会求曲线上某点出的切线方程
一、物体的平均速度与瞬时速度
1、平均速度
设物体的运动规律是，则物体在到这段时间内的平均速度为
2、瞬时速度
（1）物体在某一时刻的速度称为瞬时速度；
（2）一般地，当无限趋近于0时，无限趋近于某一个常数，我们就说当趋近于0时，的极限就是，这时就是物体在时的瞬时速度，
即瞬时速度
二、导数的平均变化率
函数从到的平均变化率
1、定义式：
2、实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．
3、意义：刻画函数值在区间上变化的快慢．
4、平均变化率的几何意义：
设，是曲线上任意不同的两点，
函数的平均变化率为割线AB的斜率，如图．
【注意】Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．
5、求平均变化率的步骤：
第一步：先计算函数值的改变量；
第二步：再计算自变量的改变量；
第三步：求平均变化率；
三、函数在x＝x0处的瞬时变化率
1、瞬时变化率的定义
【注意】
（1）“无限趋近于0”的含义趋于0的距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数，且始终.
（2）“函数在的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系
“函数在处的导数”是一个数值，是针对而言的，与给定的函数及的位置有关，而与无关；“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与，无关．
2、瞬时变化率的变形形式
lim∆x→0fx0+∆x−f(x0)∆x=lim∆x→0fx0−∆x−fx0−∆x=lim∆x→0fx0+n∆x−f(x0)n∆x=lim∆x→0fx0+∆x−f(x0−∆x)2∆x=f'(x0)
四、导数的几何意义
1、切线的定义：当趋于零时，点B将沿着曲线趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l，直线l和曲线在点A处“相切”，称直线l为曲线在点A处的切线．
2、导数的几何意义
函数在处的导数，是曲线在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．
与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
五、求曲线“在”与“过”某点的切线
1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率
第二步（写方程）：用点斜式
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤
第一步：设切点为；
第二步：求出函数在点处的导数；
第三步：利用Q在曲线上和，解出及；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为．
题型一 物体的平均速度与瞬时速度
【例1】（2023·辽宁阜新·高二校考期末）若函数，则函数从到的平均变化率为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】因为，所以，，
故函数从到的平均变化率为，故选：B.
【变式1-1】（2023·北京海淀·高二统考期末）下列四个函数中，在区间上的平均变化率最大的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，在上的平均变化率为，
对于B，在上的平均变化率为，
对于C, 在上的平均变化率为，
对于D，在上的平均变化率为，
由于，故在上的平均变化率最大，故选：B
【变式1-2】（2023·高二课时练习）函数y＝x2在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]的平均变化率为k2，则（ ）
A．k1>k2 B．k10，故k1>k2.故选：A
【变式1-3】（2023·四川成都·高二校考阶段练习）在曲线 的图象上取一点及邻近一点， 则为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】由题可得.故选：C．
题型二 函数的平均变化率与瞬时变化率
【例2】（2023·重庆·高二校联考阶段练习）某物体沿直线运动，其位移（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则在这段时间内，该物体位移的平均速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，所以平均速度为.故选：B
【变式2-1】（2023·江西九江·高二校联考期中）某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程与时间的函数图象如图.记该车在时间段，，，上的平均速度的大小分别为，，，，则平均速度最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，汽车在时间，，，上的平均速度的大小
分别为，，，，
设路程与时间的函数关系为，
则，即为经过点的直线的斜率，
同理为经过点的直线的斜率，
为经过点的直线的斜率，
为经过点的直线的斜率，如图，
由图可知，最小，即最小.故选：C.
【变式2-2】（2023·高二课时练习）质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是（ ）
A．2 m/s B．6 m/s C．4 m/s D．11 m/s
【答案】D
【解析】质点M在t＝2 s时位移的平均变化率为＝＝11＋2Δt，
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于11 m/s.故选：D.
【变式2-3】（2023·宁夏银川·高二育才中学校考阶段练习）在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度单位：）是，则运动员在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】运动员在时的瞬时速度即为，令，
根据导数的定义，
所以，
故运动员在时的瞬时速度为.故选：A．
题型三 导数定义中极限的简单计算
【例3】（2022·高二课时练习）已知在处的导数为2，则（ ）
A．2 B．6 C． D．
【答案】A
【解析】，.故选：A
【变式3-1】（2023·山西晋中·高二校联考阶段练习）已知，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】.故选：D
【变式3-2】（2023·河北廊坊·高二校联考开学考试）函数在上可导，若，则（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
【答案】A
【解析】．故选：A
【变式3-3】（2023·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期中）若函数在处导数为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】,故选：D.
题型四 求函数在一点处的导数（切线斜率）
【例4】（2023·高二课时练习）函数在处的导数为 ．
【答案】6
【解析】.
【变式4-1】（2022·高二课时练习）曲线在点处的斜率为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【解析】因为，
所以.故选：A.
【变式4-2】（2022·高二课时练习）已知函数在处的导数为3，则函数的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于A：，故A正确；
对于B：，故B不正确；
对于C：，故C不正确；
对于D：，故D不正确，故选：A.
【变式4-3】（2022·高二课时练习）定义，已知函数在内的导函数为，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
，
所以
故选：B．
题型五 求曲线“在”或“过”某点的切线
【例5】（2023·全国·高二随堂练习）求函数在处的切线方程．
【答案】
【解析】因为，所以，
而，则，
所以在处的斜率为，
所以在处的切线方程为，即.
【变式5-1】（2023·高二课时练习）曲线在点处的切线方程为 .
【答案】
【解析】切线的斜率为
，
所以切线方程为.
【变式5-2】求函数的图象上过原点的切线方程．
【答案】或
【解析】设切点坐标为，则，
∵
,
所以切线方程为．
因为切线过原点，所以，
即，解得或，
所以切线方程为或.
【变式5-3】计算抛物线上任一点处的切线的斜率，并求过点的切线方程.
【答案】；.
【解析】因为点在抛物线上，所以，
由导数的定义，知
，
由导数几何意义，知所以抛物线在点处的切线的斜率为，
所以抛物线在的切线方程为，
又在切线上，则
即，
于是，解得，此时切点为.
斜率为，
所以过点的切线方程为即.
题型六 导数几何意义的理解及运用
【例6】（2023·陕西西安·高二西安建筑科技大学附属中学校考期中）已知函数的图像如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】割线AB的斜率为，
为函数图象在点处切线的斜率，
为函数图象在点处切线的斜率，
结合图象可得，故选：D．
【变式6-1】（2023·湖南·高二期中）已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由图象可知，函数在上的增长越来越快，
故函数图象在点（）的切线的斜率越来越大，
因为，所以.故选：B.
【变式6-2】（2023·上海·高二统考期末）在区间上，若，则下列四个图中，能表示函数的图像的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据导数值与切线斜率的关系可知，在区间上时，
函数图象在任意一点处的切线斜率恒大于1，则显然BCD不合题意，
对A选项，函数在处的切线斜率等于1，且在上，
切线斜率不断增大，则恒成立，故A正确.故选：A.
【变式6-3】（2023·广东梅州·高二统考期中）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依次作出函数在处的切线，如图所示
根据导数的几何意义及图形中切线的斜率可知，．故选：B.定义式
实质
瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值
作用
刻画函数在某一点处变化的快慢