人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课后复习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课后复习题，文件包含人教A版高中数学选择性必修第二册知识点梳理+同步讲义53导数与函数的单调性原卷版doc、人教A版高中数学选择性必修第二册知识点梳理+同步讲义53导数与函数的单调性解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
1 函数单调性与导数
在某个区间内，若 ，则函数在这个区间内单调递增；
若，则函数在这个区间内单调递减．
2 若函数在某个区间内单调递增，则(含等号)恒成立，但不存在一区间内使得；
解释 假如存在一区间内使得，那原函数在区间内恒等于一个常数，即是个常数，则原函数不可能在内单调递增.
函数在某个区间内单调递减有类似结论！
【题型一】 不含参函数的单调性
【典题1】函数的定义域为，且图象如图所示，则不等式的解集为 .
【解析】由图可知，在和上单调递增，在上单调递减，
当时，；当时，．
不等式可等价于或，
当时，有，即；
当时，有，即，
综上所述，不等式的解集为．
【点拨】由原函数图像判断出原函数的单调性，继而得到导函数的正负性(导函数的穿线图)，再看图易得不等式解集.注意原函数的趋势图与导函数的穿线图之间的转化.
【典题2】若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 .
【解析】，则，
若在区间上单调递增，则在恒成立 ，
方法一 分离参数法
要成立等价于在恒成立，
令，，
则，在递增，
故，
故，
方法二 数形结合法
令，它是开口向下，过定点，
结合图像可知若要成立，只需要.
【点拨】
① 若函数在某个区间内单调递增，则(含等号)恒成立，但不存在一区间内使得；
② 处理恒成立问题，方法多样，比如直接转化为最值问题，利用分离参数法转化为最值问题，数形结合等.
【典题3】 已知函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且对任意实数都有，则不等式的解集为 .
【解析】设，
则．
故在上单调递增，
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以，
而不等式，即，
又在上单调递增，．
【点拨】
本题属于构造函数题型，如何构造呢？角度有二
① 从已知条件入手，
思考 ，
这需要熟悉求导法则的逆运用，下表举例供参考(其中是常数)：
(1) 形式，构造函数；
(2)；
(3) ；
(4)
(5) ；
(6) ；
形式多样，不需要死记，要灵活运用，本题可利用第(5)个例子.
② 从求证入手，要求不等式，变形得，想到构造函数也不难.
【典题4】求函数的单调区间.
【解析】函数的定义域是， (注意定义域)
由，得，
令，则，
令，解得，令，解得，
故在递减，在递增，
故，
故在递增，无递减区间.
【点拨】
① 本题其实是对原函数进行了“二次求导”，思路可以如下
求原函数的单调区间
分析导函数的正负性(即的零点问题)
若能画出的图像一切就清楚，那就再分析的单调性和最值，故二次求导了.
② 原函数的单调性与导函数的正负性相关，分析导函数的正负性利用注重导函数的零点问题；
③ 是个重要的不等式.
巩固练习
1(★) 已知定义在区间上的函数的图象如图所示，若函数是的导函数，则不等式的解集为 .

【答案】(－2，－1)∪(－1，1)
【解析】结合导数与单调性关系可知，
－2