第五章 一元函数的导数及其应用（提分小卷）-【单元测试】2022-2023学年高二数学尖子生选拔卷（人教A版2019选择性必修第二册）

第五章 一元函数的导数及其应用提分小卷（考试时间：45分钟 试卷满分：59分）一、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021•沙坪坝区模拟）定义在上的函数的导函数为，满足：，（1），且当时，，则不等式的解集为　　A． B． C． D．【答案】A【解析】令，则，即函数是奇函数，时，由，得，故在递增，在递增，由（1），得（1），则即（1），故，解得：，故选A．2．（2021•亭湖区模拟）已知函数，，，曲线上总存在两点，，，，使曲线在，两点处的切线互相平行，则的取值范围为　　A． B． C． D．【答案】B【解析】函数的导数为，由曲线在，两点处的切线互相平行，可得，化为，即为，由，可得，由在，递增，可得，则，故选B．3．（2021•中卫三模）已知函数，，若，，则的最大值为　　A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，，，所以，所以，即，因为在上单调递增，所以，即，所以，则，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得最大值（e）．故选D．二、选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．4．（2021•辽阳县一模）已知函数，若关于的方程恰有两个不同解，，则的取值可能是　　A． B． C．0 D．2【答案】BC【解析】函数，因为的两根为，，所以，从而．令，则，，，因为，，所以，，，所以在，上恒成立，从而在，上单调递增．又，所以，即的取值范围是，故选BC．5．（2021•衡水模拟）已知函数，其中正确结论的是　　A．当时，有最大值 B．对于任意的，函数是上的增函数 C．对于任意的，函数一定存在最小值 D．对于任意的，都有【答案】BC【解析】当时，，易知函数在上单调递增，无最大值，故错误，对于任意的，函数是上的增函数，当时，，，故，故正确，错误，对于任意的，，易知在单调递增，当时，，当时，，存在，当时，，函数单调递减，，，函数单调递增，，故正确，故选BC．三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．6．（2021春•章贡区月考）已知三个函数，，．若，，，，都有成立，则实数的取值范围是　　．【答案】，【解析】由题意知，故，，，在递增，在，递减，易知在区间，上的最大值是，若，，，，都有成立，即即，解得：，故答案为：，．7．（2021•未央区二模）若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为　　．【答案】【解析】的导数为，的导数为，，设公共切线与的图象切于点，与切于点，，化简可得，，，可得，即有，设，，则，在上递增，在，上递减，，实数的取值范围为，，即的最大值为．故答案为：．四、解答题：本题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．8．（2021•涪城区模拟）已知函数．（1）当时，讨论函数在上的单调性；（2）当时，求证：函数为自然对数的底数）存在唯一极值点，且．【答案】（1），，，当时，，令得，当，时，，此时，在上单调递减，当时，，在上，，单调递减，在，上，，单调递增，综上，，时，在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增；证明：（2），，令，则，显然时，，单调递增，且（1），，所以存在，使得，当时，，单调递减，当，时，，单调递增，故存在极小值点，由得，所以，此时，因为，．9．（2021•抚顺一模）已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若函数存在两个极值点，，且曲线在处的切线方程为，求使不等式成立的的取值范围．【答案】（1），当时，恒成立，函数在上单调递减，当时，易得当时，，当时，，故在，上单调递增，在上单调递减，（2），所以，，因为存在两个极值点，，所以有两个不等正实数解，即有两个不等式正根，所以，解得，因为，，所以，，所以曲线在处的切线方程为，即，令，，故在上单调递增，且，故当时，，即，故的范围．