高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用精练

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专题2.2 函数基本性质的灵活应用
专题2.2.1 函数单调性的灵活应用


【319】．（2020·山东·高考真题·★★）
已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（       ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
【答案】C
【解析】
【分析】
利用函数单调性定义即可得到答案.
【详解】
对于任意两个不相等的实数，，总有成立，
等价于对于任意两个不相等的实数，总有.
所以函数一定是增函数.
故选：C
【320】．（2021·全国·高考真题·★★）
下列函数中是增函数的为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，
故选：D.
【321】．（2014·陕西·高考真题·★★）
下列函数中，满足“”的单调递增函数是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
试题分析：由于，所以指数函数满足，且当时单调递增，时单调递减，所以满足题意，故选D．
考点：幂函数、指数函数的单调性．
【322】．（2017·全国·高考真题·★★★）
函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
是奇函数，故 ；又 是增函数，，即 则有 ，解得 ，故选D.
【点睛】
解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为
，再利用单调性继续转化为，从而求得正解.
【323】．（2017·全国·高考真题·★★★）
已知函数，则
A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减
C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称
【答案】C
【解析】
【详解】
由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．
【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心．
【324】．（2017·全国·高考真题·★★★）
函数的单调递增区间是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
由>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，
令t=，则y=lnt，
∵x∈(−∞,−2)时,t=为减函数；
x∈(4,+∞)时,t=为增函数；
y=lnt为增函数，
故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞)，
故选D.
点睛：形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数.
当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增；
当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减；
当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减；
当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增.
简称为“同增异减”.
【325】．（2010·江苏·高考真题·★★）
若函数，则不等式的解集合是______________
【答案】
【解析】
【分析】
分析给定的分段函数性质，再分段列出不等式组求解即可作答.
【详解】
函数在上单调递增，且，
则化为：或，解得或，
所以不等式的解集合是.
故答案为：
【326】．（2012·安徽·高考真题·★★）
若函数的单调递增区间是，则=________.
【答案】
【解析】
【详解】
由题可知要使函数的单调递增区间是，则，解得．

【327】．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测·★★★★）
定义在R上的函数满足，当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由解析式得到函数的单调性和对称轴，结合条件可得，两边平方转为恒成立求解即可.
【详解】
当时，单调递减，；当时，单调递减，故在上单调递减：由，得的对称轴方程为．若对任意的，不等式恒成立，所以，即，即对任意的恒成立，所以解得．
故选：D．
【328】．（2022·河北·石家庄二中模拟预测·★★★★）
设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
当时，结合不等式求得其最小值为，当时，，根据函数的最小值为，列出不等式组，即可求解.
【详解】
当时，，
当且仅当时，等号成立；
即当时，函数的最小值为，
当时，，
要使得函数的最小值为，则满足，解得，
即实数的取值范围是.
故选：A.
【329】．（2022·全国·模拟预测·★★★）
已知函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题可知函数为偶函数，且当时，函数单调递增，进而可得，然后利用基本不等式即得.
【详解】
因为函数满足，且定义域为R，
所以函数为偶函数，且当时，函数单调递增，
故可以变为，即，
当时，；
当时，可得．
又，当且仅当时取等号，
所以，解得.
故选：B．
【330】．（2022·陕西宝鸡·三模·★★★★）
定义在R上的函数f（x）满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（       ）
A．[，＋∞） B．[，＋∞）
C．[，＋∞） D．[，＋∞）
【答案】A
【解析】
【分析】
由，根据，即，依此类推，作出函数的图象求解.
【详解】
解：因为当时，，
所以，
因为,
当时，即时，
所以，即，
当，即时，，
当，即时，，
所以，
当，即时，，
当，即时，，
所以，
当，即时，，
当，即时，，
所以，
当，即时，，
当，即时，，

依此类推，作出函数的图象，如图所示：

由图象知：，
因为对任意，都有，则，
故选：A

【331】．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模·★★）
下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性和单调性的定义以及导数分别判断四个选项即可得出答案.
【详解】
对于A，函数的定义域为R，关于原点对称，
且，所以函数为偶函数，
当时，函数单调递增，故A不符合题意；
对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，
由幂函数的性质知函数在R上单调递增，
所以函数在R上单调递减，故B不符合题意；
对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，
且，所以函数为偶函数，
当时，又，
所以函数在上单调递减，故C符合题意；
对于D，函数的定义域为，关于原点对称，
且，
所以是奇函数，又，
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，故D不符合题意.
故选：C.
【332】．（2022·江西·临川一中模拟预测·★★）
下列函数，既是奇函数，又是其定义域内增函数的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据解析式分别判断每个选项的奇偶性和单调性即可.
【详解】
对A，令，则定义域为，且，所以为奇函数，因为和都是增函数，所以为增函数，故A正确；
对B，在每个单调区间内单调递增，但不在定义域内递增，故B错误；
对C，在定义域内单调递减，故C错误；
对D，不是奇函数，故D错误.
故选：A.
【333】．（2022·上海静安·二模·★★★）
已知函数，若对任意，当时，总有成立，则实数的最大值为__________.
【答案】1
【解析】
【分析】
分、、、依次讨论的范围，进而判断是否恒成立，即可求解.
【详解】
当时，，则不成立；
当，，取，，此时不成立；
当时，，则，对于任意，有，当时取等号，所以总有成立；
当时，，当取最大值1，当时取最小值0，则，
对于任意，有，当时取等号，所以总有成立；
综上可得，故实数的最大值为1.
故答案为：1.


专题2.2.2 函数奇偶性的灵活应用


【334】．（2015·山东·高考真题·★★）
已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（       ）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质即可求解.
【详解】
函数是奇函数，当时，，
.
故选：A.
【335】．（2021·全国·高考真题·★★）
已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】
因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
【336】．（2021·全国·高考真题·★★）
设函数，则下列函数中为奇函数的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】
由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】
本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
【337】．（2011·上海·高考真题·★★）
下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【详解】
试题分析：由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C. 在区间上单调递增函数，故选A．
考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质．
点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称．
【338】．（2012·陕西·高考真题·★★）
下列函数中，既是奇函数又是增函数的为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，因此选D.
点评：该题主要考察函数的奇偶性和单调性，理解和掌握基本函数的性质是关键.
【339】．（2021·全国·高考真题·★★）
已知函数是偶函数，则______.
【答案】1
【解析】
【分析】
利用偶函数的定义可求参数的值.
【详解】
因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
【340】．（2020·全国·高考真题·★★★★）
关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
【解析】
【分析】
利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，
命题④错误.
故答案为：②③.
【点睛】
本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
【341】．（2019·全国·高考真题·★★★）
已知是奇函数，且当时，.若，则__________.
【答案】-3
【解析】
【分析】
当时，代入条件即可得解.
【详解】
因为是奇函数，且当时，．
又因为，，
所以，两边取以为底的对数得，所以，即．
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
【342】．（2016·四川·高考真题·★★）
已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则=____________.
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
因为函数是定义在 上周期为2的奇函数，所以
，所以 ，即， ，所以.
【343】．（2012·全国·高考真题·★★★）
设函数的最大值为，最小值为，则=___________ .
【答案】2
【解析】
【详解】
，令，则为奇函数，
所以的最大值和最小值和为0，又.
有，即.
答案为：2.

【344】．（2022·河南省杞县高中模拟预测·★★）
已知函数，则（       ）
A．6 B．4 C．2 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数，由为奇函数， 即可得解.
【详解】
将的图像向左平移1个单位长度，
得到的图像，
则，
令，
显然为奇函数，
所以．
故选：B．
【345】．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测·★★★）
已知是上的奇函数，当时，，则满足的m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数在公共的定义域函数单调性的性质及奇函数的性质，再利用函数单调性的定义即可求解.
【详解】
因为函数在上均为减函数，
∴在上为减函数.又，且是上的奇函数，∴在上为减函数.
又，得或，解得或.
所以实数m的取值范围是.
故选：D.
【346】．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测·★★★）
已知函数，则a，b，c的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断出为偶函数，再求导确定单调性，借助指数、对数运算比较的大小，再由单调性即可求解.
【详解】
显然，定义域为R，由可知函数为偶函数，又当时，，有，
可知函数的减区间为，增区间为，又由，
，由，可得．
故选：D.
【347】．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模·★★）
若函数同时满足：（i）为偶函数；（ii）对任意且，总有；（iii）定义域为，值域为，则称函数具有性质，现有个函数：①，②，③，④，其中具有性质的是___________（填上所有满足条件的序号）.
【答案】① ③
【解析】
【分析】
由新定义结合函数的奇偶性，单调性及值域逐项判断即可.
【详解】
对于④，，，故函数为奇函数，不合题意；
由（ii）可知在上单调递增，
对于②，，在上是减函数，故不合题意；
对于①，是偶函数，
在上是增函数，定义域为，，
，具有性质；
对于③，该函数为偶函数，令，
可得函数在上是增函数，，
均满足题干中的三点要求，故具有性质；
故答案为：①③
【348】．（2021·四川成都·模拟预测·★★★★）
已知是定义在上的奇函数，当时，有下列结论：
①函数在上单调递增；
②函数的图象与直线有且仅有个不同的交点；
③若关于的方程恰有个不相等的实数根，则这个实数根之和为；
④记函数在上的最大值为，则数列的前项和为.
其中所有正确结论的编号是___________.
【答案】①④
【解析】
【分析】
作出函数的图像，利用数形结合思想依次判断选项①②③，利用等比数列求和判断选项④；
【详解】
当时，，此时不满足方程；
若，则，即
若，则，即
作出函数在时的图像，如图所示，

对于①，由图可知，函数在上单调递增，由奇函数性质知，函数在上单调递增，故①正确；
对于②，可知函数在时的图像与与直线有1个交点，结合函数的奇偶性知，的图象与直线有3个不同的交点，故②错误；
对于③，设，则关于的方程等价于，解得：或

当时，即对应一个交点为；方程恰有4个不同的根，可分为两种情况：
（1），即对应3个交点，且，，此时4个实数根的和为8；
（2），即对应3个交点，且，，此时4个实数根的和为4，故③错误；
对于④，函数在上的最大值为，即，由函数的解析式及性质可知，数列是首项为1，公比为的等比数列，则数列的前项和为，故④正确.
故答案为：①④
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解

【349】．（2022·河南·模拟预测·★★）
已知函数，若，则（       ）
A． B．2 C．5 D．7
【答案】C
【解析】
【分析】
令，利用函数奇偶性计算作答.
【详解】
设，
则，即函数是奇函数，
，则，而
所以.
故选：C
【350】．（2022·河南开封·模拟预测·★★★）
已知函数，若，则（       ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知可得，再由，即可求值.
【详解】
由题设，即，
而，
所以.
故选：B
【351】．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测·★★）
已知函数，若是奇函数，则实数a=______．
【答案】1
【解析】
【分析】
利用奇函数的性质列方程求参数.
【详解】
由题意，，即，
所以，化简得，解得．
故答案为：1
【352】．（2022·安徽省舒城中学一模·★★）
已知定义在上的函数是奇函数，其中为常数，则的值等于_____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据奇函数的定义即可求解.
【详解】
因为是定义在奇函数，
则，，
所以
即，解得，
所以.
故答案为：
【353】．（2022·四川成都·模拟预测·★★★）
已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且当时，．若，则______．
【答案】0
【解析】
【分析】
根据题意可得关于对称，也关于(1,0)对称，进一步得到周期为4，再求出的值，最后可求出的值.
【详解】
解：因为为偶函数，
所以＝，即＝，
所以函数关于对称，所以＝，
又因为为奇函数，
所以＝－，
所以函数关于(1,0)对称，＝－＝－，
即＝－，
所以＝－，＝－＝，
即＝，
所以的周期为4，
在＝－中令       ，得，所以 ，即，
又因为，所以，即，所以，
所以当时，，
所以，
所以，
，
，
，
所以则0.
故答案为：0.
【354】．（2022·全国·模拟预测·★★★）
已知定义在R上的函数满足，，当时，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先判定为定义在上的奇函数，则解出，再由判定函数是周期为4的周期函数，从而，最后结合奇偶性即可求解
【详解】
由题意知为定义在上的奇函数，，即.
因为，所以，所以函数的周期为4，则.
因为，为奇函数，
所以.
故答案为：
【355】．（2022·全国·模拟预测·★★）
若为奇函数，则实数______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据奇偶函数的性质可推出是奇函数，再根据奇函数的定义求解.
【详解】
令．因为为奇函数，所以必为奇函数，则，即，整理得，则，解得或．
当时，无意义，舍去；
当时，的定义域为，符合题意.
故答案为：.


专题2.2.3 函数单调性与奇偶性的灵活应用


【356】．（2022·全国·高考真题·★★★）
已知函数的定义域为R，且，则（       ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．
因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．
故选：A．
【357．（2020·海南·高考真题·★★★）
若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】
因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
【358】．（2011·全国·高考真题·★★）
下列函数中，既是偶函数又区间上单调递增的是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【详解】
试题分析：因为A项是奇函数，故错，C，D两项项是偶函数，但在上是减函数，故错，只有B项既满足是偶函数，又满足在区间上是增函数，故选B．
考点：函数的奇偶性，单调性．
【359】．（2013·天津·高考真题·★★★）
已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数a满足, 则a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】
试题分析：函数是定义在上的偶函数，∴，等价为），即．∵函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增，∴）等价为．即，∴，解得,故选项为C．
考点：（1）函数的奇偶性与单调性；（2）对数不等式.
【思路点晴】本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应
用根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，综合性较强.由偶函数结合对数的运算法则得：，即，结合单调性得：将不等式进行等价转化即可得到结论.
【360】．（2011·上海·高考真题·★★）
下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【详解】
试题分析：由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C. 在区间上单调递增函数，故选A．
考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质．
点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称．
【361】．（2017·全国·高考真题·★★★）
函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
是奇函数，故 ；又 是增函数，，即 则有 ，解得 ，故选D.
【点睛】
解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为
，再利用单调性继续转化为，从而求得正解.
【362】．（2017·天津·高考真题·★★★）
已知奇函数，且在上是增函数.若，，，则a，b，c的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】
因为是奇函数，从而是上的偶函数，且在上是增函数，
，
，又，则，所以即，
，
所以，故选C．
【考点】
指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】
比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.
【363】．（2016·天津·高考真题·★★★）
已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】
试题分析：由题意得，故选C
【考点】利用函数性质解不等式
【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：
（1）借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．
（2）借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．
【364】．（2015·全国·高考真题·★★★）
设函数,则使成立的的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【详解】
试题分析：，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得成立，∴，∴，∴的范围为故答案为A.
考点：抽象函数的不等式.
【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．根据函数的表达式可知函数为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把可转化为，解绝对值不等式即可．
【365】．（2014·辽宁·高考真题·★★★★）
已知为偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【详解】
先画出当时，函数的图象，又为偶函数，
故将轴右侧的函数图象关于轴对称，得轴左侧的图象，如下图所示，
直线与函数的四个交点横坐标从左到右依次为，
由图象可知，或，
解得.
故选：A．

【366】．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测·★★★）
已知函数是偶函数，且函数的图象关于点（1，0）对称，当时，则（       ）
A． B． C．0 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
由条件确定函数的周期，根据条件及周期的性质求.
【详解】
根据题意，函数是偶函数，
则函数的对称轴为，
则有，
又由函数的图象关于点成中心对称，
则，
则有，即，
变形可得，
则函数是周期为8的周期函数，
，
故选：B.

【367】．（2022·海南海口·二模·★★★）
已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象关于直线对称，若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分析可知是偶函数，利用偶函数的定义推导出，利用已知条件求出的值，即可求得的值.
【详解】
因为的图象关于对称，则是偶函数，
，且，
所以，对任意的恒成立，所以，，
因为且为奇函数，所以，，
因此，.
故选：B.
【368】．（2022·河南省兰考县第一高级中学模拟预测（理）·★★★）
已知定义在上的函数在上单调递增，若，且函数为偶函数，则不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分析可知函数的图象关于直线对称，可得出函数的单调性，分析的符号变化，由可得或，解之即可.
【详解】
因为函数为偶函数，则，故函数的图象关于直线对称，
因为函数在上单调递增，故函数在上单调递减，
因为，则，
所以，由可得，由可得或，
解不等式，可得或，解得或，
故不等式的解集为.
故选：D.
【369】．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测·★★★★）
已知是奇函数，当时，，则的解集为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出函数的解析式，令，把原不等式转化为，利用单调性法解不等式即可得到答案.
【详解】
因为是奇函数，当时，；
所以当时，；
当时，则，所以.
因为是奇函数，所以，所以.即当时，.
综上所述：.
令，则，所以不等式可化为：.
当时，不合题意舍去.
当时，对于.
因为在上递增，在上递增，所以在上递增.
又，
所以由可解得：，即，解得：.
故选：C
【370】．（2022·天津南开·三模·★★★）
已知函数是定义在上的偶函数，且在单调递增，记，，，则a，b，c的大小关系为（       ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据函数是定义在上的偶函数，得到，再利用在单调递增求解.
【详解】
因为函数是定义在上的偶函数，
所以，
又因为，，，
且在单调递增，
所以，即，
故选：A
【371】．（2022·山东潍坊·三模·★★）
设函数，若，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由分析知，为偶函数且为其一条对称轴，易得，，，，即可得出答案.
【详解】
函数为偶函数且为其一条对称轴，故，显然，故.
因为，，，所以，所以.
故选：D.
【372】．（2022·湖北·黄冈中学三模·★★★★）
若函数为偶函数，对任意的，且，都有，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可得函数在上递减，且关于对称，则，利用作差法比较三者之间的大小关系，再根据函数的单调性即可得解.
【详解】
解：由对，且，都有，
所以函数在上递减，
又函数为偶函数，
所以函数关于对称，
所以，
又，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
即.
故选：A.

【373】．（2022·安徽·合肥一中模拟预测·★★）
下列函数中，既是偶函数，又在区间内是增函数的为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
A.根据奇偶性的定义判断，利用导数法判断其单调性；B. 根据奇偶性的定义判断，利用正弦函数的性质判断其单调性；C. 根据奇偶性的定义判断，利用余弦函数的性质判断其单调性；D. 根据奇偶性的定义判断.
【详解】
A.因为，所以是偶函数，，在上单调递增，当时，，当时，，在上单调递增，故正确；
B. ，所以是偶函数，易知在 上递增，在上递减，故错误；
C. ，所以是偶函数，易知在上递减，故错误；
D. 因为，所以，则不是偶函数，故错误；
故选：A
【374】．（2022·河北唐山·三模·★★★）
已知函数则使不等式成立的实数x的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数定义得函数为奇函数，由导数确定函数在的单调性，从而得其在R上的单调性，然后由单调性解函数不等式后由对数函数性质得结论．
【详解】
因为，时，，因此时也有，即函数是奇函数，
时，，，
所以是减函数，所以奇函数在R上是减函数，
又，所以，
不等式为，所以，，
故选：C．
【375】．（2022·湖南·长沙市明德中学二模·★★）
定义在上的偶函数在上单调递减，且，若不等式的解集为，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由为偶函数，得，不等式可转化为，即可得出，解不等式即可得出答案.
【详解】
因为为偶函数，，在单调递减，若，则，不等式可转化为，所以，解得：，所以且，即.
故选:B.
【376】．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测·★★）
已知为定义在R上的周期为4的奇函数，当时，，若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的周期和奇偶性推得，继而化简可求得，化简等于，即可求得答案.
【详解】
由题意可得，为定义在R上的周期为4的奇函数，
故 ，
故 ，
又，故即，
即，而当时，，
故，则当时，，
故，
故选：B
专题2.2.4 函数综合性质（单调、奇偶、周期、对称）的灵活应用


【377】．（2013·湖北·高考真题·★★）
为实数，表示不超过的最大整数，则函数在R上为（　　）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数
【答案】D
【解析】
【详解】
表示不超过的最大整数,则,
所以,
即是周期为1的周期函数.
故选：D．
【378】．（2015·湖北·高考真题·★★★★）
设，表示不超过的最大整数．若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
【详解】
因为表示不超过的最大整数．由得，
由得，
由得，所以，
所以，
由得，
所以，
由得，与矛盾，
故正整数的最大值是4．
考点：函数的值域，不等式的性质．
【379】．（2014·辽宁·高考真题·★★★★）
已知定义在上的函数满足：
①；
②对所有，且，有.
若对所有，，则k的最小值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【详解】
试题分析：不妨令，则
法一：

，
即得，
另一方面，当时，，符合题意，
当时，，
故
法二：当时，，
当时，

，
故
考点：1.抽象函数问题；2.绝对值不等式.
【380】．（2013·安徽·高考真题·★★★★）
若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根个数是
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】A
【解析】
【详解】
， 是方程的两根，由 ，则有两个使得等式成立， ，当，其函数图象如下：

如图则有3个交点，当，其函数图象如下：

以上两种情况都有三个交点，故选A.
【考点定位】考查函数零点的概念，分类讨论的思想，以及对嵌套型函数的理解.
【381】．（2012·福建·高考真题·★★★）
函数f（x）在[a,b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a,b]，有则称f（x）在[a,b]上具有性质P.设f（x）在[1,3]上具有性质P，现给出如下命题：
①f（x）在[1,3]上的图像是连续不断的；
②在[1,]上具有性质P；
③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1,3]；
④对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有
其中真命题的序号是
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】D
【解析】
【详解】
正确理解和推断可知①②错误，③④正确.
【考点定位】此题主要考察函数的概念、图象、性质，考查分析能力、推理论断能力，数形结合思想、转化化归思想
【382】．（2008·陕西·高考真题·★★★）
定义在上的函数满足（），，则等于
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】A
【解析】
【详解】
本题考查抽象函数
定义在上的函数满足
令得，解得
由得
又，则
即
故正确答案为
【383】．（2020·北京·高考真题）
为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.


给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】
根据定义逐一判断，即可得到结果
【详解】
表示区间端点连线斜率的负数，
在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；
甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；
在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；
在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；
故答案为：①②③
【点睛】
本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.
【384】．（2009·上海·高考真题·★★★★）
某地街道呈现东——西、南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）为报刊零售店，请确定一个格点______为发行站，使5个零售点沿街道发行站之间路程的和最短．
【答案】（2，3）
【解析】
【详解】
设发行站的位置为，零售点到发行站的距离为，这5个点的横纵坐标的平均值为，，记
A（，3），画出图形可知，发行站的位置应该在点A附近，代入附近的点的坐标进行比较可知，在（2,3）处z取得最小值．


【385】．（2021·河南·新安县第一高级中学模拟预测·★★★★）
偶函数满足，当时，，不等式在上有且只有200个整数解，则实数a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，得到的周期，利用导数可得的单调性，即可作出的图象，根据周期性、对称性可得在内有4个整数解，分别讨论、和三种情况下在一个周期内有整数解的个数，综合分析，即可得答案.
【详解】
因为为偶函数，所以，
所以
所以是周期函数，且周期为8，且关于对称，
又当时，，
则，
令，解得，
所以当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
作出一个周期内图象，如图所示：

因为为偶函数，且不等式在上有且只有200个整数解，
所以不等式在内有100个整数解，
因为周期为8，所以在内有25个周期，
所以在一个周期内有4个整数解，
（1）若，由，可得或，
由图象可得有7个整数解，无整数解，不符合题意；
（2）若，则，由图象可得，不满足题意；
（3）若，由，可得 或，
由图象可得在一个周期内无整数解，不符合题意，
所以在一个周期内有4个整数解，
因为在内关于对称，
所以在内有2个整数解，
因为，，，
所以在的整数解为和，
所以，解得.
故选：C
【点睛】
解题的关键是熟练掌握函数的周期性、对称性的求法，利用导数求函数的单调区间等知识，并灵活应用，关键点在于根据函数的性质，分类讨论，分析可得在内有2个整数解，再结合特殊值，即可进行求解.
【386】．（2021·四川宜宾·三模·★★★★）
已知是定义在上的奇函数，满足，下列说法：
①的图象关于对称；
②的图象关于对称；
③在内至少有个零点；
④若在上单调递增，则它在上也是单调递增．
其中正确的是（       ）
A．①④ B．②③ C．②③④ D．①③④
【答案】C
【解析】
【分析】
推导出，可判断①②的正误；分析得出，可判断③的正误；利用函数的单调性与奇偶性、周期性的关系可判断④的正误.
【详解】
因为且是定义在上的奇函数，则，
故函数是周期为的周期函数，且，
所以，，故函数的图象关于对称，①错误，②正确；
由题意可知，，
因为，令，可得，即，
所以，，从而，故函数在内至少有个零点，③正确；
因为，，且函数在上单调递增，
则函数在上也为增函数，故函数在上也是单调递增，④正确.
故选：C.
【387】．（2021·重庆一中模拟预测·★★）
已知函数在定义域上单调，且，则的值为（       ）
A．3 B．1 C．0 D．﹣1
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出函数的解析式，将代入计算即可.
【详解】
因为函数在定义域上单调，且，
所以为常数，不妨设，则
由得，解得：，
所以，
所以.
故选：A
【388】．（2021·四川自贡·三模·★★★★）
已知函数f(x)＝（其中e是自然对数的底数），若a＝f（21.5），b＝f（40.8），c＝f（log2），则a，b，c的大小关系为（       ）
A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜a＜c
【答案】D
【解析】
【分析】
由函数的奇偶性和单调性可知f(x)为偶函数且在[0，+∞）上单调递减，
结合指数函数和对数函数的性质可的，即可得出结果.
【详解】
解：根据题意，函数f(x)＝，其定义域为R，
有f（﹣x）＝＝f（﹣x），则函数f(x)为偶函数，
当x≥0时，，又，
所以，所以f(x)在[0，+∞）上单调递减，
由于0＜21.5＜40.8＝21.6，所以f（21.5）＞f（40.8），即a＞b，
因为，
，，
所以，即，
，即，
所以.
故选：D．
【点睛】
函数值的大小比较问题，先判断函数的奇偶性和单调性，再利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小，在比较自变量大小的时候应该熟练指数函数、对数函数的性质和运算.
【389】．（2021·河南·模拟预测·★★★★）
已知函数，现有下列四个结论：
①是奇函数；②当时，恰有两个零点；
③若为增函数则；④当时，恰有两个极值点.
所有正确结论的编号是（       ）
A．①③ B．①③④ C．②④ D．①②③
【答案】B
【解析】
【分析】
根据奇函数定义可判断①；求导函数，分析单调性及，即可判断②；由，得，令，求导分析单调性求取最小值即可判断③；根据的单调性及，，即可判断极值个数．
【详解】
因为的定义域为R，且，所以为奇函数，故①正确；
当时，，则，所以在R上为增函数.
因为，所以有且只有一个零点，故②错误；
，若为增函数，则对任意的恒成立，即；
令，则，令，则，
所以函数在R上为增函数因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.由，得，故③正确；
当时，，则，
由③可知，在上单调递减，在上单调递增，
因为，，
所以在和上分别存在一个零点，所以有两个极值点，故④正确．
故选：B
【点睛】
(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．
(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
【390】．（2020·陕西榆林·三模·★★★★）
定义在上的偶函数满足，当时，.有以下个结论：①是函数的一个周期；②；③函数为奇函数；④函数在上递增.则这个结论中正确的是______.
【答案】②③④
【解析】
【分析】
由可知，，因此4是函数的一个周期，结合函数是偶函数，又可得关于点对称，于是作出函数的大致图象，根据图象可逐一判断每个选项的正误．
【详解】
，，是函数的一个周期，
是偶函数，，∴函数关于点对称，
由于当时，，于是可作出函数的图象如下：

函数的图象如下：

函数的图象如下：

由图可知，①错误，②③④正确．
故答案为：②③④．
【点睛】
本题主要考查函数性质奇偶性、对称性、周期性的应用，函数的平移变换应用，熟练掌握函数性质的概念是解题的关键，意在考查学生的转化能力，数形结合能力和逻辑推理能力，属于中档题．
【391】．（2020·全国·模拟预测·★★★）
已知函数，若，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
画图分析可得函数是偶函数，且在上单调递减，利用偶函数性质和单调性可解.
【详解】
作出函数的图如下所示，

观察可知，函数为偶函数，且在上单调递增，
在上单调递减，故
，
故实数的取值范围为.
故答案为：
【点睛】
本题考查利用函数奇偶性及单调性解不等式. 函数奇偶性的常用结论：
(1)如果函数是偶函数，那么．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
【392】．（2019·湖南怀化·二模·★★★★）
已知函数，且方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是__________ .
【答案】
【解析】
【分析】
函数的定义域为，可得，函数是奇函数；可得在上单调递增，从而求出实数的取值范围.
【详解】
函数的定义域为，
又
，
是上的奇函数，.
由，得.
方程有两个不同的实数根，
即方程有两个不同的实数根，
即函数的图象与直线有两个交点.
又函数的图象关于轴对称，且时，
恒成立，
在上单调递增，且.
，即实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题.
【393】．（2021·全国·模拟预测·★★★★）
已知函数，则不等式的解集为____________.
【答案】
【解析】
推导出函数是上的偶函数，且在区间上为增函数，且有，进而可将所求不等式变形为，利用函数的单调性与对数函数的单调性可求得的取值范围.
【详解】
函数的定义域为，
，该函数为偶函数，
由于函数在时单调递增，而在时单调递增，
由复合函数的单调性可知，函数在时单调递增，
又函数在时单调递增，
故函数在上单调递增，
，，由得，
即，所以，得，解得.
因此，不等式的解集为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和单调性解函数不等式，推导出函数的单调性与奇偶性是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

【394】．（2022·福建福州·三模·★★★）
定义在上的函数满足.若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，利用对称性，得到，再利用，对进行赋值，然后可求解.
【详解】
函数的图象关于直线对称，则必有，所以，,
,又因为满足，取，所以，，，则，取，则，A对；
故选：A
【395】．（2022·湖南衡阳·三模·★★★★）
定义在上的奇函数满足为偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据奇函数满足为偶函数可知是一个周期函数，根据可判断单调性，利用周期性将自变量都转化到上，再利用单调性即可得大小关系.
【详解】
因为为偶函数,所以满足,又因为是奇函数,所以故
因此即是以4为周期的周期函数.
，

当时，，在单调递增，在单调递减，故在单调递增.所以
故选：A
【396】．（2022·海南·嘉积中学模拟预测·★★★★）
已知定义在上的函数满足如下条件：①函数的图象关于轴对称；②对于任意；③当时，；若过点的直线与函数的图象在上恰有4个交点，则直线的斜率的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件可知是周期为2的函数，作出函数图像，数形结合即可得解.
【详解】
因为函数的图象关于轴对称，所以为偶函数，即，又因为对于任意，所以，
从而，即是周期为2的函数，
结合当时，，可作出在的图像以及直线的图像，如下图所示：

当时，易知，则直线的斜率，
过点的直线与函数的图象在上恰有4个交点，则只需直线斜率的取值范围是.
故选：D.
【397】．（2021·四川省泸县第二中学模拟预测·★★★★）
已知函数是上的奇函数，且的图像关于直线对称，当时，，则（       ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
由对称中心和对称轴可得周期，然后结合已知可得.
【详解】
因为是上的奇函数，
所以的图象关于原点对称，且，
又的图象关于直线对称
所以的周期
所以
因为当时，
所以
即.
故选：C
【398】．（2022·安徽黄山·一模·★★★★）
连续函数是定义在上的偶函数，当时，.若，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用导数分析函数的单调性，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
当时，由可得；
当时，由可得.
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
因为可得，即，
所以，解得.
故选：D.
【399】．（2021·四川·凉山彝族自治州教育科学研究所一模·★★★★）
已知定义在上的函数满足下列三个条件：①当时，；②的图象关于轴对称；③，都有.则、、的大小关系是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
推导出函数为偶函数，结合已知条件可得出，，，利用导数可知函数在上为减函数，由此可得出、、的大小关系.
【详解】
因为函数的图象关于轴对称，则，
故，
，
又因为，都有，所以，，
所以，，
，，
因为当时，，，
当且仅当时，等号成立，且不恒为零，故函数在上为减函数，
因为，则，故.
故选：A.
【400】．（2022·四川·成都七中模拟预测·★★★）
已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则（        ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由可推出，可得周期，再利用函数的周期性与奇偶性化简，代入解析式计算.
【详解】
因为，所以，故周期为，又函数是定义在上的奇函数，当时，，所以
故选：C.
【401】．（2022·山西运城·模拟预测·★★）
函数满足，且在内单调递增，请写出一个符合条件的函数________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据题意可得关于对称，且在内单调递增，即可写出.
【详解】
因为，即，所以关于对称，
又在内单调递增，则可以取.
故答案为：（答案不唯一）.
【402】．（2021·江苏·模拟预测·★★★）
已知函数，若方程在上有两个不相等的实数根，，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求得当时，的解析表达式，研究其单调性，进而根据方程在上有两个不相等的实数根，，得到.求得，，得到，利用三角换元思想，求得取值范围.
【详解】
因为，所以，
而，
所以当时，，
在[3,4]上单调递减，当时,
∴在上,上,
所以在上单调减，上单调递增，
,
因为方程在上有两个不相等的实数根，，
可知.
由得，，
所以，
因为，
所以设，，，
则.
故答案为：
【点睛】
本题考查函数的解析式，函数的单调性，取值范围问题，关键是求得后，注意到，的平方和恒为1，想到利用三角换元思想求解，特别要注意，根据>≥0,缩小角的范围.
【403】．（2021·陕西西安·二模·★★★★）
定义在上的函数满足，当时，.若不等式对任意恒成立，则实数的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用满足得到函数解析式，由解析式探究出函数的性质，结合性质将不等式转化为，进而得到对任意恒成立，讨论得到范围.
【详解】
由已知得，
由函数式可得，
所以不等式可化为，
得到.
因为是上的增函数，所以，
即对任意恒成立，
当时显然不满足对任意恒成立，
所以，即.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：由解析式探究出函数的性质：，再将化为.
【404】．（2020·江西·模拟预测（文）·★★★★）
已知函数的定义域为，图象关于原点对称，将的图象往左平移1个单位后关于轴对称，且，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，求得函数的周期为4，结合题意，求得的值，再结合周期，即可求解的值.
【详解】
由题意，函数的图象关于原点对称，可得，
又由的图象往左平移1个单位后关于轴对称，可得，
所以，可得，所以，即函数的周期为4，
则，，，，
则.
故答案为：.
【405】．（2020·江苏南通·模拟预测·★★★）
设函数 ，则使得 成立的的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性与单调性，然后利用函数的性质解不等式，即可求解.
【详解】
因为，所以，所以函数的定义域为且，
又，∴为偶函数.
当时，令，
∵ ，∴在上是增函数，
易知函数在上是增函数，∴在上是增函数.
又为偶函数，∴，
∴由，得，
解得，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性与单调性及其应用，其中解答中根据根据的解析式得到函数的奇偶性和单调性是解答的关键，着重考查化归与转化能力和运算求解能力，属于中档试题．