还剩19页未读，
继续阅读
所属成套资源：人教版高中数学选择性必修第二册同步讲 (含解析)
成套系列资料，整套一键下载
高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用学案
展开
这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用学案，共22页。
5.3 导数在研究函数中的应用
知识梳理
1、函数的单调性与导数的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：
（1）若>0，则f(x)在这个区间内单调递增；
（2）若<0，则f(x)在这个区间内单调递减；
（3）若＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.
注意：函数f(x)在区间(a，b)上递增，则≥0，“>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.
2、求函数单调区间的步骤：
（1）确定函数f(x)的定义域；
（2）求；
（3）在定义域内解不等式>0，得单调递增区间；
（4）在定义域内解不等式<0，得单调递减区间.
（5）若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.
3、运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的一般步骤：
（1）先求函数y＝f(x)的定义域，再求其导数；
（2）求方程＝0的根；
（3）检查导数在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.
（4）特别注意：导数为零的点不一定是极值点.
4、利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤：
（1）求函数在(a，b)内的极值；
（2）求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；
（3）将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
（4）求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值
知识典例
题型一 单调性
例1 函数的单调减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
依题意，可求得，由即可求得函数的单调减区间．
【详解】
解：，
，
令由图得：，
函数的单调减区间是，
故选：．
巩固练习
已知函数，求函数的单调区间.
【答案】单调递增区间为，单调递减区间为.
【分析】
对函数求导，求得、的解集即可得解.
【详解】
函数的定义域为R，，单调递增，
令可得，
当时，；当时，；
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
题型二 极值
例 2 函数有（ ）
A．极大值，极小值 B．极大值，极小值
C．极大值，无极小值 D．极小值，无极大值
【答案】C
【分析】
利用导函数的正负可确定原函数的单调性，由单调性可知当时，函数取极大值，无极小值；代入可求得极大值，进而得到结果.
【详解】
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减
当时，函数取极大值，极大值为；无极小值
故选：
巩固练习
已知且，则函数（ ）
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值
D．既无极大值，又无极小值
【答案】C
【分析】
先求导数，再求导函数零点，根据零点分析导数符号，进而确定极值.
【详解】
,又在上单调递增，，所以在上有且仅有一个零点，设为，因为则，所以导函数有两个不同零点，因此函数既有极大值，又有极小值，选C.
题型三 最值
例 3 函数在区间[－1，1]上的最大值是（ ）
A．4 B．2 C．0 D．－2
【答案】B
【分析】
先求得函数在区间上的极值，然后比较极值点和区间端点的函数值，由此求得函数在区间上的最大值.
【详解】
令，解得或.，故函数的最大值为，所以本小题选B.
巩固练习
已知函数在与处都取得极值．
(1)求函数的解析式及单调区间；
(2)求函数在区间的最大值与最小值．
【答案】（1），单调增区间是，减区间是（2），
【分析】
（1）对求导，根据在与处都取得极值，得和，建立方程组求得a,b的值，得到的解析式，再分析取得正负时x的范围，从而得出相应的单调区间，得解；
（2）根据（1）可得出的极值点，再求出边界点和的值，与极值点的函数值比较大小可得解.
【详解】
（1）因为，所以,
因为在与处都取得极值，
所以，即，解得
即，所以，
令或，令，
所以的单调增区间是，减区间是.
（2）由（1）可知，
1
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
的极小值，的极大值，而，，
可得时，，.
故得解.
题型四 函数图象与导函数图象
例 4 如图是函数y＝f（x）的导数y＝f'（x）的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在（﹣3，1）内f（x）是增函数
B．在x＝1时，f（x）取得极大值
C．在（4，5）内f（x）是增函数
D．在x＝2时，f（x）取得极小值
【答案】C
【分析】
根据图形，利用单调性和极值的几何特征逐一判断即可.
【详解】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，在（﹣3，）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，A错误；
对于B，在（，2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x＝1不是f（x）的极大值点，B错误；
对于C，在（4，5）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，C正确；
对于D，在（，2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，在（2，4）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，则在x＝2时f（x）取得极大值，D错误；
故选：C．
巩固练习
设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据的图象可得的单调性，从而得到在相应范围上的符号和极值点，据此可判断的图象.
【详解】
由的图象可知，在上为增函数，
且在上存在正数，使得在上为增函数，
在为减函数，
故在有两个不同的零点，且在这两个零点的附近，有变化，
故排除A，B.
由在上为增函数可得在上恒成立，故排除C.
故选：D.
题型五 函数图象
例 5 函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用导数求得函数的单调性，进而排除；根据上的最大值可排除，从而得到结果.
【详解】
由得：，即定义域为
则
当时，；当和时，
即在上单调递增，在和上单调递减，可排除
又 在上的最大值小于零，可排除
故选：
巩固练习
已知函数f(x)＝ex－(x＋1)2(e为2.718 28…)，则f(x)的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用特殊值代入，可排除A、D,根据导数判断函数的单调性可排除B，即可得出结果.
【详解】
函数，当时，，故排除A、D，又，当时，，所以在为减函数，故排除B,
故选：C.
题型六 单调性中的参数问题
例 6 如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据开口向上的二次函数在对称轴左边单调递减，即可求出的取值范围．
【详解】
的对称轴为 ，
又开口向上，即在上单调递减
即
即
故选A
巩固练习
已知f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】
由f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，得到在[1，+∞）上，f′（x）≥0恒成立，从而解得a≤3，故a的最大值为3．
【详解】
解：∵f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数
∴f′（x）＝3x2﹣a≥0在[1，+∞）上恒成立．
即a≤3x2
∵x∈[1，+∞）时，3x2≥3恒成立
∴a≤3
∴a的最大值是3
故选D．
题型七 参数问题
例 7 已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋b.
(1)若f(x)与g(x)在x＝1处相切，求g(x)的表达式；
(2)若φ(x)＝－f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数m的取值范围．
【答案】（1）g(x)＝x－1；（2）(－∞，2].
【解析】
试题分析：（1）求出函数f（x）的导数，得到关于a的方程，求出a的值，计算g（1）=0，求出b的值，从而求出g（x）的解析式即可；（2）求出函数的导数，问题转化为2m﹣2≤x+，x∈[1，+∞），根据函数的单调性求出m的范围即可．
解析：
(1)由已知得f′(x)＝，所以f′(1)＝1＝，a＝2.
又因为g(1)＝0＝a＋b，所以b＝－1，所以g(x)＝x－1.
(2)因为φ(x)＝－f(x)＝－ln x在[1，＋∞)上是减函数．
所以 在[1，＋∞)上恒成立．
即x2－(2m－2)x＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，
则2m－2≤x＋，x∈[1，＋∞)，
因为x＋∈[2，＋∞)，所以2m－2≤2，m≤2.
故数m的取值范围是(－∞，2]．
巩固练习
已知函数y＝f（x）＝。
（1）求y＝f（x）的最大值；
（2）设实数a>0，求函数F（x）＝af（x）在[a，2a]上的最小值。
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
试题分析：（1）令＝0，求得极值点，因此可得到单调区间，从而得到最大值；
（2）根据（1）可知F（x）的单调性，得到F（x）在[a，2a]上的最小值为F（a）和F（2a）之中的较小者，作差讨论即可得到结果.
试题解析：（1）＝.
令＝0得x＝e.
因为当x∈（0，e）时，>0，f（x）在（0，e）上为增函数；
当x∈（e，＋∞）时，<0，f（x）在（e，＋∞）上为减函数，
所以f（x）max＝f（e）＝。
（2）因为a＞0，由（1）知，F（x） 在（0，e）上单调递增，
在（e，＋∞）上单调递减，
所以F（x） 在[a，2a]上的最小值F（x）min＝min{F（a），F（2a）}。
因为F（a）－F（2a）＝，
所以当0
题型八 函数构造
例 8 若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＞xf′（x），则（ ）
A．3f（1）＞f（3） B．3f（1）＜f（3） C．3f（1）=f（3） D．f（1）=f（3）
【答案】A
【解析】
试题分析：根据条件f（x）＞xf′（x）可构造函数g（x）=，然后得到函数的单调性，从而得到所求．
解：设g（x）=，g′（x）=
∵f（x）＞xf′（x），
∴g′（x）=＜0
即g（x）在（0，+∞）上单调递减函数
∴即3f（1）＞f（3）
故选A．
巩固练习
已知定义在实数集上的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设t=lnx，
则不等式f（lnx）＞3lnx+1等价为f（t）＞3t+1，
设g（x）=f（x）﹣3x﹣1，
则g′（x）=f′（x）﹣3，
∵f（x）的导函数f′（x）＜3，
∴g′（x）=f′（x）﹣3＜0，此时函数单调递减，
∵f（1）=4，
∴g（1）=f（1）﹣3﹣1=0，
则当x＜1时，g（x）＞g（1）=0，
即g（x）＜0，则此时g（x）=f（x）﹣3x﹣1＞0，
即不等式f（x）＞3x+1的解为x＜1，
即f（t）＞3t+1的解为t＜1，
由lnx＜1，解得0＜x＜e，
即不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集为（0，e），
故选A．
巩固提升
1、函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】
直接利用函数极小值点的定义求解.
【详解】
由导函数在内的图象知：
函数在开区间内有极小值点1个，
故选：A
2、已知函数，则函数的单调递增区间是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．
【答案】C
【分析】
先求出函数的定义域，再求导，根据导数大于0解得x的范围，继而得到函数的单调递增区间．
【详解】
函数f(x)＝x2－5x＋2ln x的定义域是(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－5＋＝＝＞0，解得0＜x＜或x＞2，故函数f(x)的单调递增区间是，(2，＋∞)．
故选C
3、函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．是最小值点 B．是极小值点
C．是极小值点 D．函数在上单调递增
【答案】C
【解析】
由图象得： 在 递增，在递减，在 递增， 是极小值点，故选C.
4、已知函数在上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
求得函数的导数，根据函数在上是单调函数，利用，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，函数，则，
因为函数在上是单调函数，
所以，即，解得，
即实数的取值范围是，故选C．
5、（多选）已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的增区间是
B．函数的增区间是
C．是函数的极小值点
D．是函数的极小值点
【答案】BD
【分析】
先由题中图像，确定的正负，得到函数的单调性；从而可得出函数极大值点与极小值点，进而可得出结果.
【详解】
由题意，当时，；当，；当时，；
当时，；
即函数在和上单调递增，在上单调递减，
因此函数在时取得极小值，在时取得极大值；
故A错，B正确；C错，D正确.
故选：BD.
6、设、在上可导，且，则当时有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
构造函数，利用导数推导函数在区间上的单调性，进而可得出结果.
【详解】
设，当时，，则，
所以，函数在区间上是增函数，
当时，，
所以，，即；
，即.
故选：D.
7、（多选）对于函数，下列说法正确的有（ ）．
A．在处取得极大值
B．有两不同零点
C．
D．若在上恒成立，则
【答案】ACD
【分析】
对于A，先对函数求导，令导函数等于零，然后再判其极值即可；
对于B，令，则可得函数的零点；
对于C，由选项A的解答过程可知，当时，函数为减函数，所以，而，从而可得结果；
对于D，由在上恒成立，得，令，再利用导数求此函数的最大值即可
【详解】
函数的导数，，
令得，则当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，
则当时，函数取得极大值，极大值为，故正确，
由，得，得，即函数只有一个零点，故错误，
， 由时，函数为减函数知，
故成立，故正确，
若在上恒成立，
则，
设，，
则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，
即当时，函数取得极大值同时也是最大值，
成立，故正确.
故选：ACD．
8、函数在区间内最小值是__________，最大值是__________.
【答案】 0
【分析】
对函数求导，由导数确定单调区间，由单调性确定极值，再比较极值与函数端点值，即可确定函数最值.
【详解】
∵，
令，或2，
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
而，，，
∴函数的最小值是，最大值为0.
故答案为：；0.
9、若函数f (x)＝ex(－x2＋2x＋a)在区间[a，a＋1]上单调递增，则实数a的最大值为________.
【答案】
【解析】
由f (x)在区间[a，a＋1]上单调递增，得f ′(x)＝ex(－x2＋a＋2)≥0，x∈[a，a＋1]恒成立，即(－x2＋a＋2)min≥0，x∈[a，a＋1].
当a≤时，－a2＋a＋2≥0，则－1≤a≤；
当a>时，－(a＋1)2＋a＋2≥0，则
10、对于函数有下列命题：
①在该函数图象上一点（﹣2，f（﹣2））处的切线的斜率为；
②函数f(x)的最小值为；
③该函数图象与x轴有4个交点；
④函数f(x)在（﹣∞，﹣1]上为减函数，在（0，1]上也为减函数.
其中正确命题的序号是_____.
【答案】①②④
【分析】
求出导数代入-2可得判断①；利用函数的单调性求出极值可判断②④；分别求函数等于零的根可判断③.
【详解】
x≤0时，f(x)＝2xex，f′(x)＝2（1+x）ex，故f′（﹣2）＝，①正确；
且f(x)在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，故x≤0时，f(x)有最小值f（﹣1）＝，
x＞0时，f(x)＝在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故x＞0时，f(x)有最小值f（1）＝
故f(x)有最小值，②④正确；
令得，令得，故该函数图象与x轴有3个交点，③错误；
故答案为：①②④
11、若函数在处取极值，则
【答案】3
【解析】
试题分析：=．因为f（x）在1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，将x=1代入得a=3．故答案为3 .
12、已知函数f(x)＝(x2－ax)ex(x∈R)，a为实数．
(1)当a＝0时，求函数f(x)的单调增区间；
(2)若f(x)在闭区间[－1,1]上为减函数，求a的取值范围．
【答案】（1）(0，＋∞)和(－∞，－2)； （2） .
【分析】
(1)利用导数求函数f(x)的单调增区间.(2)先求导得f′(x)＝(2x－a)ex＋(x2－ax)ex＝[x2＋(2－a)x－a]ex，记g(x)＝x2＋(2－a)x－a.依题意知，x∈[－1,1]时，g(x)≤0恒成立．
数形结合分析得到，解不等式即得a的取值范围.
【详解】
(1)当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝2xex＋x2ex＝(x2＋2x)ex.
由f′(x)>0⇒x>0或x<－2.
故f(x)的单调增区间为(0，＋∞)和(－∞，－2)．
(2)由f(x)＝(x2－ax)ex，x∈R⇒f′(x)＝(2x－a)ex＋(x2－ax)ex＝[x2＋(2－a)x－a]ex.
记g(x)＝x2＋(2－a)x－a.
依题意知，x∈[－1,1]时，g(x)≤0恒成立．
结合g(x)的图像特征得，
即a≥，所以a的取值范围是 .
13、已知函数.
（1）求函数的单调区间
（2）当时，有，求的范围.
【答案】(1)单调减区间是.
(2) .
【解析】
分析：（1）求，判断的符号，从而找出该函数的单调区间；（2）先根据的范围，求出 和 的范围，并确定出 和 属于单调区间，根据单调性列不等式求解即可.
详解：(1) ，
函数在上单调减，
所以函数的单调减区间是.
(2) 时，，，
即和都在的单调减区间上，
所以由得，
解得或，又，所以，
所以的取值范围是.
14、已知函数在处有极值．
（1）求a,b的值；
（2）求的单调区间．
【答案】(1),．(2) 单调减区间是,单调增区间是．
【分析】
（1）先对函数求导，得到，再由题意，列出方程组，求解，即可得出结果；
（2）由（1）的结果，得到，对其求导，解对应的不等式，即可得出单调区间.
【详解】
解：（1）又在处有极值,
即解得,．
（2）由（1）可知,其定义域是,
．
由,得；由,得．
函数的单调减区间是,单调增区间是．
15、已知函数在处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）当时，求函数的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求导，根据极值的定义可以求出实数的值；
（2）求导，求出时的极值，比较极值和之间的大小的关系，最后求出函数的最小值.
【详解】
（1），函数在处取得极值，所以有；
（2）由（1）可知：，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故函数在处取得极大值，因此，
，，故函数的最小值为.
16、已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）[，+∞）
【分析】
（1）求出a=2的函数f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；
（2）求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0在（﹣1，1）上恒成立，即为a﹣x2+（a﹣2）x≥0，即有x2﹣（a﹣2）x﹣a≤0，再由二次函数的图象和性质，得到不等式组，即可解得a的范围．
【详解】
（1）a=2时，f（x）=（﹣x2+2x）•ex的导数为
f′（x）=ex（2﹣x2），
由f′（x）＞0，解得﹣＜x＜，
由f′（x）＜0，解得x＜﹣或x＞．
即有函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣），（，+∞），
单调增区间为（﹣，）．
（2）函数f（x）=（﹣x2+ax）•ex的导数为
f′（x）=ex[a﹣x2+（a﹣2）x]，
由函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，
则有f′（x）≥0在（﹣1，1）上恒成立，
即为a﹣x2+（a﹣2）x≥0，即有x2﹣（a﹣2）x﹣a≤0，
则有1+（a﹣2）﹣a≤0且1﹣（a﹣2）﹣a≤0，
解得a≥．
则有a的取值范围为[，+∞）．
5.3 导数在研究函数中的应用
知识梳理
1、函数的单调性与导数的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：
（1）若>0，则f(x)在这个区间内单调递增；
（2）若<0，则f(x)在这个区间内单调递减；
（3）若＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.
注意：函数f(x)在区间(a，b)上递增，则≥0，“>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.
2、求函数单调区间的步骤：
（1）确定函数f(x)的定义域；
（2）求；
（3）在定义域内解不等式>0，得单调递增区间；
（4）在定义域内解不等式<0，得单调递减区间.
（5）若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.
3、运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的一般步骤：
（1）先求函数y＝f(x)的定义域，再求其导数；
（2）求方程＝0的根；
（3）检查导数在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.
（4）特别注意：导数为零的点不一定是极值点.
4、利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤：
（1）求函数在(a，b)内的极值；
（2）求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；
（3）将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
（4）求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值
知识典例
题型一 单调性
例1 函数的单调减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
依题意，可求得，由即可求得函数的单调减区间．
【详解】
解：，
，
令由图得：，
函数的单调减区间是，
故选：．
巩固练习
已知函数，求函数的单调区间.
【答案】单调递增区间为，单调递减区间为.
【分析】
对函数求导，求得、的解集即可得解.
【详解】
函数的定义域为R，，单调递增，
令可得，
当时，；当时，；
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
题型二 极值
例 2 函数有（ ）
A．极大值，极小值 B．极大值，极小值
C．极大值，无极小值 D．极小值，无极大值
【答案】C
【分析】
利用导函数的正负可确定原函数的单调性，由单调性可知当时，函数取极大值，无极小值；代入可求得极大值，进而得到结果.
【详解】
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减
当时，函数取极大值，极大值为；无极小值
故选：
巩固练习
已知且，则函数（ ）
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值
D．既无极大值，又无极小值
【答案】C
【分析】
先求导数，再求导函数零点，根据零点分析导数符号，进而确定极值.
【详解】
,又在上单调递增，，所以在上有且仅有一个零点，设为，因为则，所以导函数有两个不同零点，因此函数既有极大值，又有极小值，选C.
题型三 最值
例 3 函数在区间[－1，1]上的最大值是（ ）
A．4 B．2 C．0 D．－2
【答案】B
【分析】
先求得函数在区间上的极值，然后比较极值点和区间端点的函数值，由此求得函数在区间上的最大值.
【详解】
令，解得或.，故函数的最大值为，所以本小题选B.
巩固练习
已知函数在与处都取得极值．
(1)求函数的解析式及单调区间；
(2)求函数在区间的最大值与最小值．
【答案】（1），单调增区间是，减区间是（2），
【分析】
（1）对求导，根据在与处都取得极值，得和，建立方程组求得a,b的值，得到的解析式，再分析取得正负时x的范围，从而得出相应的单调区间，得解；
（2）根据（1）可得出的极值点，再求出边界点和的值，与极值点的函数值比较大小可得解.
【详解】
（1）因为，所以,
因为在与处都取得极值，
所以，即，解得
即，所以，
令或，令，
所以的单调增区间是，减区间是.
（2）由（1）可知，
1
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
的极小值，的极大值，而，，
可得时，，.
故得解.
题型四 函数图象与导函数图象
例 4 如图是函数y＝f（x）的导数y＝f'（x）的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在（﹣3，1）内f（x）是增函数
B．在x＝1时，f（x）取得极大值
C．在（4，5）内f（x）是增函数
D．在x＝2时，f（x）取得极小值
【答案】C
【分析】
根据图形，利用单调性和极值的几何特征逐一判断即可.
【详解】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，在（﹣3，）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，A错误；
对于B，在（，2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x＝1不是f（x）的极大值点，B错误；
对于C，在（4，5）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，C正确；
对于D，在（，2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，在（2，4）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，则在x＝2时f（x）取得极大值，D错误；
故选：C．
巩固练习
设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据的图象可得的单调性，从而得到在相应范围上的符号和极值点，据此可判断的图象.
【详解】
由的图象可知，在上为增函数，
且在上存在正数，使得在上为增函数，
在为减函数，
故在有两个不同的零点，且在这两个零点的附近，有变化，
故排除A，B.
由在上为增函数可得在上恒成立，故排除C.
故选：D.
题型五 函数图象
例 5 函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用导数求得函数的单调性，进而排除；根据上的最大值可排除，从而得到结果.
【详解】
由得：，即定义域为
则
当时，；当和时，
即在上单调递增，在和上单调递减，可排除
又 在上的最大值小于零，可排除
故选：
巩固练习
已知函数f(x)＝ex－(x＋1)2(e为2.718 28…)，则f(x)的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用特殊值代入，可排除A、D,根据导数判断函数的单调性可排除B，即可得出结果.
【详解】
函数，当时，，故排除A、D，又，当时，，所以在为减函数，故排除B,
故选：C.
题型六 单调性中的参数问题
例 6 如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据开口向上的二次函数在对称轴左边单调递减，即可求出的取值范围．
【详解】
的对称轴为 ，
又开口向上，即在上单调递减
即
即
故选A
巩固练习
已知f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】
由f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，得到在[1，+∞）上，f′（x）≥0恒成立，从而解得a≤3，故a的最大值为3．
【详解】
解：∵f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数
∴f′（x）＝3x2﹣a≥0在[1，+∞）上恒成立．
即a≤3x2
∵x∈[1，+∞）时，3x2≥3恒成立
∴a≤3
∴a的最大值是3
故选D．
题型七 参数问题
例 7 已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋b.
(1)若f(x)与g(x)在x＝1处相切，求g(x)的表达式；
(2)若φ(x)＝－f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数m的取值范围．
【答案】（1）g(x)＝x－1；（2）(－∞，2].
【解析】
试题分析：（1）求出函数f（x）的导数，得到关于a的方程，求出a的值，计算g（1）=0，求出b的值，从而求出g（x）的解析式即可；（2）求出函数的导数，问题转化为2m﹣2≤x+，x∈[1，+∞），根据函数的单调性求出m的范围即可．
解析：
(1)由已知得f′(x)＝，所以f′(1)＝1＝，a＝2.
又因为g(1)＝0＝a＋b，所以b＝－1，所以g(x)＝x－1.
(2)因为φ(x)＝－f(x)＝－ln x在[1，＋∞)上是减函数．
所以 在[1，＋∞)上恒成立．
即x2－(2m－2)x＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，
则2m－2≤x＋，x∈[1，＋∞)，
因为x＋∈[2，＋∞)，所以2m－2≤2，m≤2.
故数m的取值范围是(－∞，2]．
巩固练习
已知函数y＝f（x）＝。
（1）求y＝f（x）的最大值；
（2）设实数a>0，求函数F（x）＝af（x）在[a，2a]上的最小值。
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
试题分析：（1）令＝0，求得极值点，因此可得到单调区间，从而得到最大值；
（2）根据（1）可知F（x）的单调性，得到F（x）在[a，2a]上的最小值为F（a）和F（2a）之中的较小者，作差讨论即可得到结果.
试题解析：（1）＝.
令＝0得x＝e.
因为当x∈（0，e）时，>0，f（x）在（0，e）上为增函数；
当x∈（e，＋∞）时，<0，f（x）在（e，＋∞）上为减函数，
所以f（x）max＝f（e）＝。
（2）因为a＞0，由（1）知，F（x） 在（0，e）上单调递增，
在（e，＋∞）上单调递减，
所以F（x） 在[a，2a]上的最小值F（x）min＝min{F（a），F（2a）}。
因为F（a）－F（2a）＝，
所以当0
题型八 函数构造
例 8 若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＞xf′（x），则（ ）
A．3f（1）＞f（3） B．3f（1）＜f（3） C．3f（1）=f（3） D．f（1）=f（3）
【答案】A
【解析】
试题分析：根据条件f（x）＞xf′（x）可构造函数g（x）=，然后得到函数的单调性，从而得到所求．
解：设g（x）=，g′（x）=
∵f（x）＞xf′（x），
∴g′（x）=＜0
即g（x）在（0，+∞）上单调递减函数
∴即3f（1）＞f（3）
故选A．
巩固练习
已知定义在实数集上的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设t=lnx，
则不等式f（lnx）＞3lnx+1等价为f（t）＞3t+1，
设g（x）=f（x）﹣3x﹣1，
则g′（x）=f′（x）﹣3，
∵f（x）的导函数f′（x）＜3，
∴g′（x）=f′（x）﹣3＜0，此时函数单调递减，
∵f（1）=4，
∴g（1）=f（1）﹣3﹣1=0，
则当x＜1时，g（x）＞g（1）=0，
即g（x）＜0，则此时g（x）=f（x）﹣3x﹣1＞0，
即不等式f（x）＞3x+1的解为x＜1，
即f（t）＞3t+1的解为t＜1，
由lnx＜1，解得0＜x＜e，
即不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集为（0，e），
故选A．
巩固提升
1、函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】
直接利用函数极小值点的定义求解.
【详解】
由导函数在内的图象知：
函数在开区间内有极小值点1个，
故选：A
2、已知函数，则函数的单调递增区间是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．
【答案】C
【分析】
先求出函数的定义域，再求导，根据导数大于0解得x的范围，继而得到函数的单调递增区间．
【详解】
函数f(x)＝x2－5x＋2ln x的定义域是(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－5＋＝＝＞0，解得0＜x＜或x＞2，故函数f(x)的单调递增区间是，(2，＋∞)．
故选C
3、函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．是最小值点 B．是极小值点
C．是极小值点 D．函数在上单调递增
【答案】C
【解析】
由图象得： 在 递增，在递减，在 递增， 是极小值点，故选C.
4、已知函数在上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
求得函数的导数，根据函数在上是单调函数，利用，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，函数，则，
因为函数在上是单调函数，
所以，即，解得，
即实数的取值范围是，故选C．
5、（多选）已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的增区间是
B．函数的增区间是
C．是函数的极小值点
D．是函数的极小值点
【答案】BD
【分析】
先由题中图像，确定的正负，得到函数的单调性；从而可得出函数极大值点与极小值点，进而可得出结果.
【详解】
由题意，当时，；当，；当时，；
当时，；
即函数在和上单调递增，在上单调递减，
因此函数在时取得极小值，在时取得极大值；
故A错，B正确；C错，D正确.
故选：BD.
6、设、在上可导，且，则当时有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
构造函数，利用导数推导函数在区间上的单调性，进而可得出结果.
【详解】
设，当时，，则，
所以，函数在区间上是增函数，
当时，，
所以，，即；
，即.
故选：D.
7、（多选）对于函数，下列说法正确的有（ ）．
A．在处取得极大值
B．有两不同零点
C．
D．若在上恒成立，则
【答案】ACD
【分析】
对于A，先对函数求导，令导函数等于零，然后再判其极值即可；
对于B，令，则可得函数的零点；
对于C，由选项A的解答过程可知，当时，函数为减函数，所以，而，从而可得结果；
对于D，由在上恒成立，得，令，再利用导数求此函数的最大值即可
【详解】
函数的导数，，
令得，则当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，
则当时，函数取得极大值，极大值为，故正确，
由，得，得，即函数只有一个零点，故错误，
， 由时，函数为减函数知，
故成立，故正确，
若在上恒成立，
则，
设，，
则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，
即当时，函数取得极大值同时也是最大值，
成立，故正确.
故选：ACD．
8、函数在区间内最小值是__________，最大值是__________.
【答案】 0
【分析】
对函数求导，由导数确定单调区间，由单调性确定极值，再比较极值与函数端点值，即可确定函数最值.
【详解】
∵，
令，或2，
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
而，，，
∴函数的最小值是，最大值为0.
故答案为：；0.
9、若函数f (x)＝ex(－x2＋2x＋a)在区间[a，a＋1]上单调递增，则实数a的最大值为________.
【答案】
【解析】
由f (x)在区间[a，a＋1]上单调递增，得f ′(x)＝ex(－x2＋a＋2)≥0，x∈[a，a＋1]恒成立，即(－x2＋a＋2)min≥0，x∈[a，a＋1].
当a≤时，－a2＋a＋2≥0，则－1≤a≤；
当a>时，－(a＋1)2＋a＋2≥0，则
10、对于函数有下列命题：
①在该函数图象上一点（﹣2，f（﹣2））处的切线的斜率为；
②函数f(x)的最小值为；
③该函数图象与x轴有4个交点；
④函数f(x)在（﹣∞，﹣1]上为减函数，在（0，1]上也为减函数.
其中正确命题的序号是_____.
【答案】①②④
【分析】
求出导数代入-2可得判断①；利用函数的单调性求出极值可判断②④；分别求函数等于零的根可判断③.
【详解】
x≤0时，f(x)＝2xex，f′(x)＝2（1+x）ex，故f′（﹣2）＝，①正确；
且f(x)在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，故x≤0时，f(x)有最小值f（﹣1）＝，
x＞0时，f(x)＝在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故x＞0时，f(x)有最小值f（1）＝
故f(x)有最小值，②④正确；
令得，令得，故该函数图象与x轴有3个交点，③错误；
故答案为：①②④
11、若函数在处取极值，则
【答案】3
【解析】
试题分析：=．因为f（x）在1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，将x=1代入得a=3．故答案为3 .
12、已知函数f(x)＝(x2－ax)ex(x∈R)，a为实数．
(1)当a＝0时，求函数f(x)的单调增区间；
(2)若f(x)在闭区间[－1,1]上为减函数，求a的取值范围．
【答案】（1）(0，＋∞)和(－∞，－2)； （2） .
【分析】
(1)利用导数求函数f(x)的单调增区间.(2)先求导得f′(x)＝(2x－a)ex＋(x2－ax)ex＝[x2＋(2－a)x－a]ex，记g(x)＝x2＋(2－a)x－a.依题意知，x∈[－1,1]时，g(x)≤0恒成立．
数形结合分析得到，解不等式即得a的取值范围.
【详解】
(1)当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝2xex＋x2ex＝(x2＋2x)ex.
由f′(x)>0⇒x>0或x<－2.
故f(x)的单调增区间为(0，＋∞)和(－∞，－2)．
(2)由f(x)＝(x2－ax)ex，x∈R⇒f′(x)＝(2x－a)ex＋(x2－ax)ex＝[x2＋(2－a)x－a]ex.
记g(x)＝x2＋(2－a)x－a.
依题意知，x∈[－1,1]时，g(x)≤0恒成立．
结合g(x)的图像特征得，
即a≥，所以a的取值范围是 .
13、已知函数.
（1）求函数的单调区间
（2）当时，有，求的范围.
【答案】(1)单调减区间是.
(2) .
【解析】
分析：（1）求，判断的符号，从而找出该函数的单调区间；（2）先根据的范围，求出 和 的范围，并确定出 和 属于单调区间，根据单调性列不等式求解即可.
详解：(1) ，
函数在上单调减，
所以函数的单调减区间是.
(2) 时，，，
即和都在的单调减区间上，
所以由得，
解得或，又，所以，
所以的取值范围是.
14、已知函数在处有极值．
（1）求a,b的值；
（2）求的单调区间．
【答案】(1),．(2) 单调减区间是,单调增区间是．
【分析】
（1）先对函数求导，得到，再由题意，列出方程组，求解，即可得出结果；
（2）由（1）的结果，得到，对其求导，解对应的不等式，即可得出单调区间.
【详解】
解：（1）又在处有极值,
即解得,．
（2）由（1）可知,其定义域是,
．
由,得；由,得．
函数的单调减区间是,单调增区间是．
15、已知函数在处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）当时，求函数的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求导，根据极值的定义可以求出实数的值；
（2）求导，求出时的极值，比较极值和之间的大小的关系，最后求出函数的最小值.
【详解】
（1），函数在处取得极值，所以有；
（2）由（1）可知：，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故函数在处取得极大值，因此，
，，故函数的最小值为.
16、已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）[，+∞）
【分析】
（1）求出a=2的函数f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；
（2）求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0在（﹣1，1）上恒成立，即为a﹣x2+（a﹣2）x≥0，即有x2﹣（a﹣2）x﹣a≤0，再由二次函数的图象和性质，得到不等式组，即可解得a的范围．
【详解】
（1）a=2时，f（x）=（﹣x2+2x）•ex的导数为
f′（x）=ex（2﹣x2），
由f′（x）＞0，解得﹣＜x＜，
由f′（x）＜0，解得x＜﹣或x＞．
即有函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣），（，+∞），
单调增区间为（﹣，）．
（2）函数f（x）=（﹣x2+ax）•ex的导数为
f′（x）=ex[a﹣x2+（a﹣2）x]，
由函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，
则有f′（x）≥0在（﹣1，1）上恒成立，
即为a﹣x2+（a﹣2）x≥0，即有x2﹣（a﹣2）x﹣a≤0，
则有1+（a﹣2）﹣a≤0且1﹣（a﹣2）﹣a≤0，
解得a≥．
则有a的取值范围为[，+∞）．
相关学案
苏教版 (2019)5.3 导数在研究函数中的应用第二课时学案： 这是一份苏教版 (2019)5.3 导数在研究函数中的应用第二课时学案，共8页。
苏教版 (2019)选择性必修第一册第5章 导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用第一课时学案： 这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册第5章 导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用第一课时学案，共10页。
人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用第1课时学案设计： 这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用第1课时学案设计，共14页。学案主要包含了求函数的极值，由极值求参数的值或取值范围，利用函数极值解决函数零点问题等内容，欢迎下载使用。
