人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课后复习题

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1 极值的概念
若在点附近的左侧，右侧则称为函数的极小值点，称为函数的极小值；
若在点附近的左侧，右侧，则称为函数的极大值点，称为函数的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
PS：
① 把函数图象看成一座“山脉”，极大值就是“山峰”，极小值就是“山谷”， 如下图；
② 极值是“函数值”，极值点是“自变量值”，如下图有极大值和，极小值和，极大值点和，极小值点和.
③ 对于极值还有特别强调一下
Eg 设是函数的极值点，则下列说法准确的是( )
A. 必有 B.不存在
C. 或不存在 D.存在但可能不为
解析：函数，
，
但时，时，；
故根据极值的定义，不是函数的极值点，这个从函数图象也很容易知道.
又如函数，
当时，； 当时，；
所以在处取到极值，但在导数不存在；故选.
总结
① 若可导，且是的解；
② 若是的解，.
③ 定义很重要.
2 求函数的极值的方法
解方程，当时：
(1) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；
(2) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．
3 函数在上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数在内的极值；
(2)将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【题型一】极值的概念
【典题1】 【多选题】设函数的定义域为是的极大值点，以下结论错误的是( )
A． B．是的极小值点
C．是的极小值点 D．是的极小值点
【典题2】 如图，已知直线与曲线相切于两点，则有( )
A．个极大值点，个极小值点 B．个零点
C．个零点 D．个极小值点，无极大值点

【典题3】 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是 .
巩固练习
1(★) 已知函数的导函数为函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．在上为减函数 B．在上为增函数
C．的极小值为极大值为 D．的极大值为极小值为
2(★)已知函数的极值点为则所在的区间为( )
A．B．C．D．
3(★★)若函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是 .
4(★★) 若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是 .
5(★★★) 若函数存在两个极值点则的取值范围是 .
【题型二】求函数极值
【典题1】 已知函数是函数的极值点，以下几个结论中正确的是( )
A．B．
C．D．
【典题2】 讨论的极值点的个数.
【典题3】 讨论函数的极值点的个数；
【典题4】 若有两个极值点．
(1)求的取值范围； (2)证明的极小值小于．
巩固练习
1(★★) 函数(为自然对数的底数)，则下列说法正确的是( )
A．在上只有一个极值点B．在上没有极值点
C．在处取得极值点D．在处取得极值点
2 (★★) 若是函数的极值点，则的极大值为 ．
3(★★) 设函数则的各极大值之和为 ．
4 (★★★) 已知函数若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是 ．
5 (★★★) 讨论的极值点的个数.
6 (★★★★) 已知函数在定义域内有两个不同的极值点．
(Ⅰ)求实数的取值范围；
(Ⅱ)当时，设有两个不同的极值点且若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【题型三】求函数最值
【典题1】 下列不等式中恒成立的有( )
A．B．
C．D．

【典题2】 若函数在上有最大值，则的取值范围为 .
【典题3】 已知函数．
(1)当时，求函数在区间上的最小值．
(2)在条件(1)下，当最小值为时，求的取值范围．
巩固练习
1(★) 【多选题】已知函数在区间上存在最小值，则整数可以取( )
A．B．C．D．
2 (★★)【多选题】设的最大值为则( )
A．当时B．当时
C．当时D．当时
3(★★★) 已知函数若恒成立，则整数的最大值为( )
A．2B．3C．4D．5
4(★★★) 已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)是否存在使得在区间上的最小值为且最大值为？若存在，求出的所有值；若不存在，请说明理由．