九年级上册2.1 圆单元测试课后复习题

这是一份九年级上册2.1 圆单元测试课后复习题，共28页。试卷主要包含了7第2章对称图形—圆单元测试等内容，欢迎下载使用。

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．选择6道、填空10道、解答8道.选择答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
专题2.7第2章对称图形—圆单元测试（培优强化卷）
一、单选题
1．（2021·江苏南京·九年级期中）平面内，若⊙O的半径为2，OP＝3，则点P在⊙O（ ）
A．内B．上C．外D．内或外
2．（2021·江苏·南京郑和外国语学校九年级期中）如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点，AC=AE，∠B=128°，则∠D的度数为（ ）
A．108°B．106°C．104°D．102°
3．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝62°，E是BC的中点，连接OE并延长交⊙O于点D，连接BD，则∠D的度数为（ ）
A．58°B．59°C．60°D．61°
4．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，将半径为2cm的圆形纸片翻折，使得AB、BC恰好都经过圆心O，折痕为AB、BC，则阴影部分的面积为（ ）
A．23πcm2B．πcm2C．43πcm2D．53πcm2
5．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，⊙O的半径为4，将劣弧沿弦AB翻折，恰好经过圆心O，点C为优弧AB上的一个动点，则△ABC面积的最大值是（ ）
A．123B．122C．43D．8+82
6．（2020·江苏·南师附中新城初中九年级阶段练习）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，已知AD＝2，BC＝5，则AB＋CD的值是
A．14B．12C．9D．7
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请把答案直接填写在横线上
7．（2019·江苏·南京市江宁区谷里初级中学九年级阶段练习）如图，在⊙O中，AB=AC，∠A=40°，则∠B的度数为_________．
8．（2021·江苏·麒麟中学九年级阶段练习）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，AB=6，则⊙O半径为_______．
9．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在⊙O中， 点B是AC的中点，点D在BAC上， 连接OA、OB、BD、CD．若∠AOB=50°，则∠BDC的大小为___________．

10．（2022·江苏·南京市花园中学模拟预测）如图，已知AC、BC分别切⊙O于A、B，∠C＝76°，则∠D＝_____度．
11．（2022·江苏南京·二模）将半径为5 cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为______cm．
12．（2022·江苏南京·二模）如图，在矩形ABCD中，AD=1，AB=2，以点A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，则阴影部分的面积为______．
13．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，A、B、C、D、E都是⊙O上的点，AC＝AE，∠B＝118°，则∠D的度数为______°．
14．（2021·江苏·南京师范大学附属中学树人学校九年级阶段练习）如图，若等边三角形内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r:R=______．
15．（2022·江苏·九年级专题练习）当点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为 __．
16．（2021·江苏南京·九年级专题练习）如图，⊙O的半径OA＝1，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连结OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为_____．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，在以AB为直径的圆中，弦CD⊥AB，M是AB上一点，射线DM，CM分别交圆于点E，F，连接EF，求证EF⊥AB．
18．（2021·江苏南京·九年级期中）请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（1）如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，请画出这个圆的一条直径；
（2）如图2，BA，BD是⊙O中的两条弦，C是BD上一点，∠BAC＝50°，在图中画一个含有50°角的直角三角形．
19．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点E，AB=BC=CD．
(1)求证AC=BD；
(2)连接CD，若∠BDC=20°，则∠BEC的度数为__________°．
20．（2021·江苏·麒麟中学九年级阶段练习）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
(1)求证：CD为⊙O的切线；
(2)若CD＝2AD，⊙O的半径为10，求线段AB的长．
21．（2021·全国·九年级专题练习）如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．
(1)正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为______；
(2)连接BE，BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由．
22．（2022·全国·九年级课时练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，
（1）斜边AB上的高为________；
（2）以点C为圆心，r为半径作⊙C
①若直线AB与⊙C没有公共点，直接写出r的取值范围；
②若边AB与⊙C有两个公共点，直接写出r的取值范围；
③若边AB与⊙C只有一个公共点，直接写出r的取值范围．
23．（2021·全国·九年级）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r．用角尺的较短边紧靠⊙O，角尺的顶点B（∠B＝90°），并使较长边与⊙O相切于点C．
（1）如图，AB＜r，较短边AB＝8cm，读得BC长为12cm，则该圆的半径r为多少？
（2）如果AB＝8cm，假设角尺的边BC足够长，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为 ．
24．（2022·江苏南京·九年级专题练习）问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．
（1）探究证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不与点A，B重合），连接PC，OC．求证：PA＜PC．
（2）直接应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ．
（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1B，则A1B长度的最小值为 ．
（4）综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（4，5）为圆心，以1，2为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，直接写出PM+PN的最小值为 ．
2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】
专题2.7第2章对称图形—圆单元测试（培优强化卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．选择6道、填空10道、解答8道.选择答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·江苏南京·九年级期中）平面内，若⊙O的半径为2，OP＝3，则点P在⊙O（ ）
A．内B．上C．外D．内或外
【答案】A
【分析】根据半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内，可得答案．
【详解】解：由题意得，d＝3，r＝2．
∵d＜r，
∴点P在⊙O内，
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，理解点与圆的位置关系是解题的关键．
2．（2021·江苏·南京郑和外国语学校九年级期中）如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点，AC=AE，∠B=128°，则∠D的度数为（ ）
A．108°B．106°C．104°D．102°
【答案】C
【分析】连接AD，首先证明∠ADC=∠ADE，再利用圆内接四边形的性质求出∠ADC即可解决问题．
【详解】解：连接AD．
∵AC=AE，
∴∠ADC=∠ADE，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADC=180°﹣128°=52°，
∴∠CDE=2×52°=104°，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
3．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝62°，E是BC的中点，连接OE并延长交⊙O于点D，连接BD，则∠D的度数为（ ）
A．58°B．59°C．60°D．61°
【答案】B
【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠BDC＝180°﹣∠A＝118°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质得到∠ODB＝∠ODC＝12 ∠BDC，即可求出∠ODB的度数．
【详解】解：连接CD，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，∠A＝62°，
∴∠CDB+∠A＝180°，
∴∠BDC＝180°﹣∠A＝118°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC＝12∠BDC＝59°，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，正确理解题意是解题的关键．
4．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，将半径为2cm的圆形纸片翻折，使得AB、BC恰好都经过圆心O，折痕为AB、BC，则阴影部分的面积为（ ）
A．23πcm2B．πcm2C．43πcm2D．53πcm2
【答案】C
【分析】作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，求出∠OAD＝30°，得到∠AOB＝2∠AOD＝120°，进而求得∠AOC＝120°，再利用阴影部分的面积＝S扇形AOC，得出阴影部分的面积是⊙O面积的13，即可得出结果．
【详解】解：作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，如图所示：
由题意可得：OD=12OA，OD⊥AB
∴∠OAD＝30°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
同理∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝120°，
∴阴影部分的面积=S扇形BOC=13×S圆O=13×π×22=4π3（cm2）；
故选：C．
【点睛】此题考查了扇形面积的计算，涉及了圆的有关性质以及折叠的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
5．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，⊙O的半径为4，将劣弧沿弦AB翻折，恰好经过圆心O，点C为优弧AB上的一个动点，则△ABC面积的最大值是（ ）
A．123B．122C．43D．8+82
【答案】A
【分析】当点C运动到优弧AB中点时，以AB为底，高最大，△ABC面积最大，先求出AB，再求出CH，求面积即可．
【详解】解：如图：连接CO，并延长CO交AB于点H，连接AO．

当点C运动到优弧AB中点时，以AB为底，高最大，故 △ABC面积最大
∵点C运动到优弧AB中点
∴CH⊥AB,且AH=HB
∵将劣弧沿弦AB翻折，恰好经过圆心O，
∴OH=HM
∵⊙O的半径为4
∴OH=HM=12OM=2，CO=AO=4
∴在Rt△AOH中，利用勾股定理得：AH=AO2−OH2=42−22=23，CH=CO+OH=6
∴AB=2AH=43
∴S△ABC=12AB⋅CH=12×43×6=123
故选A．
【点睛】此题考查了垂径定理及其逆运用，勾股定理性质，解答此题的关键，利用垂径定理找到符合要求的点和线段的长度．
6．（2020·江苏·南师附中新城初中九年级阶段练习）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，已知AD＝2，BC＝5，则AB＋CD的值是
A．14B．12C．9D．7
【答案】D
【分析】根据切线长定理，可以证明圆的外切四边形的对边和相等，由此即可解决问题．
【详解】∵AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，
∴可以假设切点分别为E、H、G、F，
∴AF＝AE，BE＝BH，CH＝CG，DG＝DF，
∴AD＋BC＝AF＋DF＋BH＋CH＝AE＋BE＋DG＋CG＝AB＋CD，
∵AD＝2，BC＝5，
∴AB＋CD＝AD＋BC＝7，
故选D.
【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理等知识，解题的关键是证明圆的外切四边形的对边和相等，属于中考常考题型．
二、填空题
7．（2019·江苏·南京市江宁区谷里初级中学九年级阶段练习）如图，在⊙O中，AB=AC，∠A=40°，则∠B的度数为_________．
【答案】70°
【分析】由题意易得AB=AC，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和可求解．
【详解】解：∵ AB=AC，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵ ∠A=40°，
∴ ∠B=180°−40°2=70°；
故答案为70°．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．
8．（2021·江苏·麒麟中学九年级阶段练习）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，AB=6，则⊙O半径为_______．
【答案】134
【分析】由⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，AB=6可得BE=3，设OB=x，则由CE=2可得OE=x-2，由此在Rt△OBE中由勾股定理建立方程解得x的值，即可得到OB的长．
【详解】解：∵⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，AB=6，
∴BE=3，∠OEB=90°，
设OB=x，则OC=x，
∵CE=2，
∴OE=x-2，
∵在Rt△OBE中，OB2=OE2+BE2，
∴x2=(x−2)2+32，解得：x=134，
∴OB=134，即圆O的半径为134，
故答案为：134．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，由“垂径定理”得到BE=3，并由勾股定理在Rt△OBE中建立其“以OB长度为未知数的方程”是正确解答本题的关键．
9．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在⊙O中， 点B是AC的中点，点D在BAC上， 连接OA、OB、BD、CD．若∠AOB=50°，则∠BDC的大小为___________．

【答案】25°
【分析】连接OC，利用AB=BC得到∠AOB＝∠BOC＝50°，然后根据圆周角定理得到∠BDC的度数．
【详解】解：如图，连接OC．
∵点B是AC的中点，
∴AB=BC．
∴∠AOB＝∠BOC＝50°，
∵∠BDC＝12∠BOC＝25°．
故答案为：25°．
【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角、圆心角的性质是解答此题的关键．
10．（2022·江苏·南京市花园中学模拟预测）如图，已知AC、BC分别切⊙O于A、B，∠C＝76°，则∠D＝_____度．
【答案】52
【分析】连接OA，OB，根据切线的性质可得∠OAC=∠OBC=90°，从而得到∠AOB＝104°，再由圆周角定理，即可求解．
【详解】解：连接OA，OB，
∵AC、BC分别切⊙O于A、B，
∴∠OAC=∠OBC=90°，
∵∠C＝76°，
∴∠AOB＝104°，
∴∠D=12∠AOB＝52°．
故答案为52．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．
11．（2022·江苏南京·二模）将半径为5 cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为______cm．
【答案】53
【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算即可．
【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r，
则2πr=120π·5180，
解得：r=53，
故圆锥的底面半径为53cm．
故答案为：53．
【点睛】本题考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识，解题的关键是牢固掌握弧长公式．
12．（2022·江苏南京·二模）如图，在矩形ABCD中，AD=1，AB=2，以点A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，则阴影部分的面积为______．
【答案】π4##14π
【分析】根据矩形的性质得出∠D=∠DAB=90°，AE=AB=2，求出∠DAE，∠BAE，再求出扇形ABE的面积，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=1，
∴∠D=∠DAB=90°，AE=AB=2，
∵cs∠DAE=ADAE=12=22，
∴∠DAE=45°，∠EAB=45°，
∴阴影部分的面积S=45π×(2)2360=π4．
故答案为：π4．
【点睛】本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和直角三角形的性质等知识点，能求出∠DAE的度数是解此题的关键．
13．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，A、B、C、D、E都是⊙O上的点，AC＝AE，∠B＝118°，则∠D的度数为______°．
【答案】124
【分析】连接 AD ，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到∠ADC = ∠ADE ，根据圆内接四边形的性质求出∠ADC ，进而得到答案．
【详解】解：连接 AD ，
∵AC=AE ，
∴∠ADC = ∠ADE ，
∵四边形 ABCD 为 O 内接四边形， ∠B =118°，
∴∠ADC =180°- ∠B =180°-118°=62°，
∴∠CDE =2×62°=124°，
故答案为：124
【点睛】本题考查了的是圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的对角互补．
14．（2021·江苏·南京师范大学附属中学树人学校九年级阶段练习）如图，若等边三角形内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r:R=______．
【答案】1:2##12
【分析】利用内心的性质，切线的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质计算即可．
【详解】∵等边三角形内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，如图所示，
∴OA=R，OD=r，OD⊥AB，垂足为D，OA平分∠CAB，且∠CAB=60°，
∴∠OAD=30°，
∴OD=12OA，
∴r:R=1：2，
故答案为：1：2．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，内心的性质，外心的性质，直角三角形的性质，熟练掌握内心，外心的性质是解题的关键．
15．（2022·江苏·九年级专题练习）当点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为 __．
【答案】n≠﹣8
【分析】能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线AB的解析式，然后点C不满足求得的直线即可．
【详解】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（1，2），B（3，﹣3），
∴k+b=23k+b=−3，
解得：k=−52,b=92，
∴直线AB的解析式为y=−52x+92，
∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆时，
∴点C不在直线AB上，
∴当点C在直线AB上时，n=−52×5+92=−8，
∴当点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为n≠﹣8，
故答案为：n≠﹣8．
【点睛】本题考查了确定圆的条件及坐标与图形的性质，能够了解确定一个圆时三点不共线是解答本题的关键．
16．（2021·江苏南京·九年级专题练习）如图，⊙O的半径OA＝1，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连结OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为_____．
【答案】3或2
【分析】根据切线的性质得到△OBC是等腰直角三角形，当△OAC是直角三角形时，分两种情况讨论即可；
【详解】解：∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC＝90°，
∵BC＝OA，
∴OB＝BC＝1，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠BCO＝45°，
∴∠ACO≤45°，
∵当△OAC是直角三角形时，①∠AOC＝90°，连接OB，
∴OC＝2OB＝2，
∴AC＝OA2+OC2=12+22=3；
②当△OAC是直角三角形时，∠OAC＝90°，连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠CBO＝∠OAC＝90°，
∵BC＝OA＝OB，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴OC＝2，
故答案为：3或2．
【点睛】本题主要考查了圆的切线性质和等腰三角形的性质，准确分析计算是解题的关键．
三、解答题
17．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，在以AB为直径的圆中，弦CD⊥AB，M是AB上一点，射线DM，CM分别交圆于点E，F，连接EF，求证EF⊥AB．
【答案】证明见解析．
【分析】利用垂径定理和线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质证得∠C＝∠D，再根据圆周角定理和平行线的判定证明EF∥CD，即可得结论．
【详解】证明：∵AB是直径，CD⊥AB，
∴AB垂直平分CD，
∴MC＝MD，
∴∠C＝∠D，
∵∠C＝∠E，
∴∠E＝∠D，
∴CD∥EF，
∵CD⊥AB，
∴EF⊥AB．
【点睛】本题考查垂径定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、平行线的判定与性质，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解答的关键．
18．（2021·江苏南京·九年级期中）请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（1）如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，请画出这个圆的一条直径；
（2）如图2，BA，BD是⊙O中的两条弦，C是BD上一点，∠BAC＝50°，在图中画一个含有50°角的直角三角形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）根据垂径定理可得，AB的垂直平分线过圆心，连接AB，利用网格找到相应的格点，作出弦AB的垂直平分线即可；
（2）根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，即可画出一个含有50°角的直角三角形．
【详解】解：（1）如图1，线段EF即为所求；
（2）如图2，Rt△BEF即为所求．
【点睛】本题考查作图，应用与设计，垂径定理、圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点E，AB=BC=CD．
(1)求证AC=BD；
(2)连接CD，若∠BDC=20°，则∠BEC的度数为__________°．
【答案】(1)见解析
(2)140°
【分析】（1）根据同圆中等弧对应的弦长相等即可得出；
（2）连接AO,BO,CO,OD,AB,BC，取BO与AC的交点为F，BD与OC的交点为G，证明△AOF≌△COF(SAS)，△BOG≌△DOG(SAS)，得∠AFO=∠CFO，然后求出∠AED=140°，根据对顶角即可求∠BEC=140°．
(1)
解：证明：∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，
∴AC=BD，
∴AC=BD；
(2)
解：连接AO,BO,CO,OD,AB,BC，
取BO与AC的交点为F，BD与OC的交点为G，
∵∠BDC=20°，
∴∠BOC=40°，
∵AB=BC=CD，
∴∠AOF=∠COF=∠COD=40°，
∵OA=OC,OF=OF，
∴△AOF≌△COF(SAS)，
∴∠AFO=∠CFO=90°，
同理△BOG≌△DOG(SAS)，
∴∠BGO=∠DGO=90°
∴∠AED=360°−180°−40°=140°，
∵∠BEC=∠AED，
∴∠BEC=140°，
故答案是：140°．
【点睛】本题考查了圆心角定理、三角形全等、四边形的内角和、对顶角，解题的关键是掌握圆心角的定理．
20．（2021·江苏·麒麟中学九年级阶段练习）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
(1)求证：CD为⊙O的切线；
(2)若CD＝2AD，⊙O的半径为10，求线段AB的长．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】（1）连接OC．由垂直的定义可得∠CAD＋∠DCA＝90°．由等腰三角形的性质得∠OCA＝∠OAC，由角平分线的定义得∠OCA＝∠DAC，最后根据垂直的定义及切线的判定方法可得结论；
（2）作OF⊥AB，垂足为F，根据矩形的判定与性质可得OC＝FD，OF＝CD，设AD＝x，则OF＝CD＝2x，然后由勾股定理可得答案．
（1）
解：连接OC．
∵CD⊥PA，
∴∠CDA＝90°，
∴∠CAD+∠DCA＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠OCA=∠DAC ，
∴∠DCO＝∠DCA+∠OCA＝∠DCA+∠DAC＝90°，
∴OC⊥CD
又∵OC为⊙O半径
∴CD是⊙O切线．
（2）
解：作OF⊥AB，垂足为F，
∴∠OCD＝∠CDF＝∠OFD＝90°，
∴四边形CDFO是矩形，
∴OC＝FD，OF＝CD，
∵CD＝2AD，
设AD＝x，则OF＝CD＝2x，
∵DF＝OC＝10，
∴AF＝10﹣x，
在Rt△AOF中，AF2+OF2=OA2，
∴(10−x)2+(2x)2=102，
解得x＝4或0（舍弃），
∴AD＝4，AF＝6，
∵OF⊥AB，
∴AB＝2AF＝12．
【点睛】题考查的是切线的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理、垂径定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
21．（2021·全国·九年级专题练习）如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．
(1)正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为______；
(2)连接BE，BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）2:1；（2）是，n=12.
【详解】试题分析：（1）连接OC、OD、OG，设半径为r，根据中心角的度数可知正六边形的相邻两半径与边构成等边三角形，从而可用含r的式子表示边长，同理也用含r的式子表示正方形的边长，即可得；
（2）求出∠BOE的度数，然后去除360°，根据所得的商即可得.
试题解析：（1）连接OC、OD、OG，
设半径为r，
∠COD=14×360°=90°，∠COG=16×360°=60°，
△COD是等腰直角三角形，CD=CD2+OD2=2r，
△COG是等边三角形，CG=OC=r，
∴CD:CG=2r:r=2:1．
（2）若是，则∠BOE=360°n，
又∵∠BOE=90°−60°，∴360°n=30°，n=12，
故BE是⊙O内接正十二边形．
22．（2022·全国·九年级课时练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，
（1）斜边AB上的高为________；
（2）以点C为圆心，r为半径作⊙C
①若直线AB与⊙C没有公共点，直接写出r的取值范围；
②若边AB与⊙C有两个公共点，直接写出r的取值范围；
③若边AB与⊙C只有一个公共点，直接写出r的取值范围．
【答案】（1）2.4；（2）①0【分析】（1）勾股定理求得斜边AB，进而根据等面积法求得斜边上的高；
（2）根据圆心到直线的距离与半径比较，根据直线与圆的位置关系以及点与圆的位置关系，即可求得r的取值范围．
【详解】（1）Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，
∴AB=AC2+BC2=5
设斜边AB上的高为ℎ,
∵ 12⋅AB⋅ℎ=12AC⋅BC,
∴ℎ=AC⋅BCAB=3×45=125,
故答案为：125
（2）①若直线AB与⊙C没有公共点，则AB⊙C相离，则r的取值范围是0②若边AB与⊙C有两个公共点，A点在圆外或者圆上，则r的取值范围是125③若边AB与⊙C只有一个公共点，则AB⊙C相切，或者A点在圆内，则r的取值范围是r=−125或3【点睛】本题考查了勾股定理，直线与圆的位置关系以及点与圆的位置关系，理解直线与圆的位置关系以及点与圆的位置关系是解题的关键．
23．（2021·全国·九年级）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r．用角尺的较短边紧靠⊙O，角尺的顶点B（∠B＝90°），并使较长边与⊙O相切于点C．
（1）如图，AB＜r，较短边AB＝8cm，读得BC长为12cm，则该圆的半径r为多少？
（2）如果AB＝8cm，假设角尺的边BC足够长，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为 ．
【答案】（1）13；（2）0＜r≤8时，r＝a；当r＞8时，r＝116a 2+4
【分析】（1）利用在Rt△AOD中，r2＝（r﹣8）2+122，求出r即可．
（2）根据切线的性质，连接OC，则OC⊥BC，连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，在Rt△OAD中用勾股定理计算求出圆的半径．
【详解】解：（1）如图1，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D．则OD＝r﹣8
在Rt△AOD中，r2＝（r﹣8）2+122
解得：r＝13；
答：该圆的半径r为13；
（2）①如图2，易知，0＜r≤8时，r＝a；
②当r＞8时，
如图1：连接OC，连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，
∵BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥BC，
则四边形ABCD是矩形，即AD＝BC，CD＝AB．
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
即：r2＝（r﹣8）2+a2，
整理得：r＝116a2+4．
故答案为：0＜r≤8时，r＝a；当r＞8时，r＝116a 2+4．
【点睛】本题考查切线的性质及勾股定理在实际中的运用，根据已知条件作出辅助线，熟知垂径定理的内容是解题的关键．
24．（2022·江苏南京·九年级专题练习）问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．
（1）探究证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不与点A，B重合），连接PC，OC．求证：PA＜PC．
（2）直接应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ．
（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1B，则A1B长度的最小值为 ．
（4）综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（4，5）为圆心，以1，2为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，直接写出PM+PN的最小值为 ．
【答案】（1）见解析；（2）352−32；（3）3﹣1；（4）7.
【分析】（1）根据题意可知在△POC中，根据“三角形两边之差小于第三边”可求证；
（2）由题意先连接OA交⊙O于点P，然后根据勾股定理求得OA，进而求得AP；
（3）由题意可知A′的轨迹是以M为圆心，半径是1的圆，故连接BM，求得BM，进而求得A′B的最小值；
（4）根据题意作点A关于x轴的对称点C，连接CB交x轴于点P，求出BC的长，进而求得PM+PN得最小值．
【详解】解：（1）证明：如图1，
∵PO﹣OC＜PC，
∴（AP+OA）﹣OC＜PC，
∵OA＝OC，
∴AP＜PC；
（2）如图2，
连接OA角半⊙O于P，则AP最小，
在Rt△AOC中，
OA＝OC2+AC2
＝32+(32)2
＝352，
∴AP＝OA﹣OP＝352−32，
故答案为：352−32；
（3）如图3，
连接BM，交⊙M（半径是1）于A1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠BAM＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵M是AD的中点，
∴∠AMB＝90°，
∴BM＝AB•sin60°＝3，
∴A1B＝3-1；
故答案为：3﹣1；
（4）如图4，
作点A关于x轴的对称点C，连接BC，交⊙B于点N，交x轴于点P，
连接PA交⊙A于M，
∴PA＝PC，
∴PA+PB＝PC+PB＝BC，
∵C（﹣2，﹣3），B（4，5），
∴BC＝(4+2)2+(5+3)2＝10，
∴PM+PN＝PA+PB﹣AM﹣BN＝10﹣1﹣2＝7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查轴对称性质和圆的定义以及勾股定理和三角形三边关系等知识，解决问题的关键是熟悉“将军饮马”模型．