初中2.1 圆精品课时练习

2.1圆

考点一、圆的定义

1. 圆的描述概念

如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

要点： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；

  　    ②圆是一条封闭曲线.

2.圆的集合概念

圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.

平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.

圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.

要点：①定点为圆心，定长为半径；

　　  ②圆指的是圆周，而不是圆面；

　　  ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.

考点二、点与圆的位置关系

点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.

若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：

点P在圆内 d ＜ r ；点P在圆上 d = r ；点P在圆外 d ＞r.

 “”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.

要点：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；

考点三、与圆有关的概念

1. 弦

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.

　　直径：经过圆心的弦叫做直径.

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.

要点：

　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.

　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.

　　证明：连结OC、OD

　　　　　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)

　　　　　∴直径AB是⊙O中最长的弦.

2. 弧

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.

　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；

　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧；

　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

要点：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；

　　  ②无特殊说明时，弧指的是劣弧.

3.等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.

要点：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；

      ②圆中两平行弦所夹的弧相等.

4.同心圆与等圆

　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.

　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.

要点：同圆或等圆的半径相等.

5.圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角.

要点：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.

考点四、确定圆的条件

（1）经过一个已知点能作无数个圆；

（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；

(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.

(4)(后面还会学习到)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.

如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.

外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.

要点：

（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.

（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.

题型1：圆的基本概念

1．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．下列说法正确的是（    ）

A．直径是弦 B．弦是直径 C．半圆包括直径 D．弧是半圆

3．圆有（　　）条对称轴．

A．0 B．1 C．2 D．无数

4．下列说法：①一个圆上的各点都在这个圆的圆周上；②以圆心为端点的线段是半径；③同一圆上的点到圆心的距离相等；④半径确定了，圆就确定了其中正确的是（    ）

A．①② B．①③④ C．①③ D．②④

题型2：圆内最长弦问题

5．已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（    ）

A．8 B．10 C．12 D．14

6．已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为(　　)cm．

A．2 B．4 C．8 D．16

7．过圆上一点可以作圆的最长弦（   ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

8．一个在圆内的点，它到圆上的最近距离为3cm，到最远距离为5cm，那么圆的半径为（   ）  

A．5cm B．3cm C．8cm D．4cm

题型3：圆中弦的条数问题

9．如图，图中⊙O的弦共有（    ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

10．如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(   )

A．2条 B．3条 C．4条 D．5条

题型4：圆的周长和面积

11．若一个圆的半径为，那么该圆的面积等于（　　　）

A． B． C． D．

12．车轮转动一周所行的路程是车轮的（    ）．

A．半径 B．直径 C．周长 D．面积

13．如图，圆环中内圆的半径为米，外圈半径比内圆半径长1米，那么外圆周长比内圆周长长（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米

题型5：点与圆的位置关系

14．已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P和的位置关系为（　　）

A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定

15．在直角坐标平面内，如果点在以为圆心，2为半径的圆内，那么a的取值范围是（　　）

A．  B．  C． D．．

16．如图，在矩形中，，，若以点为圆心，8为半径作，则下列各点在外的是（    ）

A．点 B．点 C．点 D．点

题型7：与圆的基本概念有关的综合题

17．下列说法正确的是（    ）

A．直径是圆中最长的弦，有4条

B．长度相等的弧是等弧

C．如果的周长是周长的4倍，那么的面积是面积的8倍

D．已知的半径为8，A为平面内的一点，且，那么点A在上

题型8：已知半径和圆上两点作圆

18．画图说明：端点分别在两条互相垂直的直线上，且长度为5 cm的所有线段的中点所组成的图形.

一、单选题

1．下列说法中，不正确的是（    ）

A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等

C．长度相等的弧是等弧 D．圆既是轴对称图形又是中心对称

2．下列说法中，正确的个数是（    ）

①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆；④圆上任意两点间的线段叫做圆弧．

A． B． C． D．

3．已知的半径是，则中最长的弦长是（    ）

A． B． C． D．

4．下列说法错误的是（　　）

A．直径是圆中最长的弦 B．半径相等的两个半圆是等弧

C．面积相等的两个圆是等圆 D．半圆是圆中最长的弧

5．下列说法，其中正确的有（    ）

①过圆心的线段是直径

②圆上的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形

③大于半圆的弧叫做劣弧

④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．在平面内与点的距离为1cm的点的个数为（    ）

A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个

7．已知的半径为，点P在内，则线段的长度可以是（　　）

A． B． C． D．

8．的半径为r，点P到圆心O的距离为2，若点P在外，则（    ）

A． B． C． D．

9．一个圆形茶几面的直径是，它的面积是（    ）（结果保留）．

A． B． C． D．

10．点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

二、填空题

11．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在圆上，则以点A为一个端点的劣弧有_________，以点A为一个端点的优弧有______．

12．以为半径可以画________个圆；以点为圆心可以画________个圆；以点为圆心，以为半径可以画________个圆．

13．在中，半径为5，、为上的点，为，则弦长________．

14．如图，在中，半径有________，直径有________，弦有________，劣弧有________，优弧有________．

15．判断：

（1）直径是弦，弦是直径(     )

（2）半圆是圆弧(     )

（3）长度相等的弧是等弧(     )

（4）能够重合的弧是等弧(     )

（5）圆弧分为优弧和劣弧(     )

（6）优弧一定大于劣弧  (     )

（7）半径相等的圆是等圆 (     )

16．已知的半径为，若点在内，写出一个长的可能值___________．

17． ，是半径为3的上两个不同的点，则弦的取值范围是________．

18．已知矩形中， ，，以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，则r的取值范围是__________．

三、解答题

19．如下图，在半径为5米的圆形花坛周 围修一条宽1米的小路，求小路的面积．

20．若☉O的半径是12cm，OP=8cm，求点P到圆上各点的距离中最短距离和最长距离．

21．求证：直径是圆中最长的弦．

22．已知A为上的一点，的半径为1，所在的平面上另有一点P．

（1）如果，那么点P与有怎样的位置关系？

（2）如果，那么点P与有怎样的位置关系？

23．已知，画半径为的圆，使它经过两点．这样的圆能画出多少个？如果半径为呢？

24．已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC＝BD．求证：．

25．如图，在平面直角坐标系中，方程表示圆心是，半径是的圆，其中，．

(1)请写出方程表示的圆的半径和圆心的坐标；

(2)判断原点和第（1）问中圆的位置关系．

26．如图，在中，，点为的中点．

（1）以点为圆心，4为半径作，则点分别与有怎样的位置关系？

（2）若以点为圆心作，使三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，求的半径的取值范围．

27．如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长l＝πa．

计算：(1)把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长；

(2)把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长l3＝　 　；

(3)把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长l4＝　 　；

(4)把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长ln＝　 　．

结论：把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的　 　．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系．