初中2.1 圆精品课后复习题

这是一份初中2.1 圆精品课后复习题，共33页。试卷主要包含了下列说法正确的是，如图，点A的坐标是等内容，欢迎下载使用。

第2章 对称图形——圆（B卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
得分



一、单选题
1．下列说法正确的是（    ）
A．过圆心的线段是直径 B．面积相等的圆是等圆
C．两个半圆是等弧 D．相等的圆心角所对的弧相等
2．如图，已知AB为⊙O的弦，，垂足为C，若，，则弦心距OC的长为（    ）．

A．12 B．10 C．6 D．8
3．如图，△ABC为锐角三角形，BC=6，∠A=45°，点O为△ABC的重心，D为BC中点，若固定边BC，使顶点A在△ABC所在平面内进行运动，在运动过程中，保持∠A的大小不变，设BC的中点为D，则线段OD的长度的取值范围为（       ）

A． B．
C． D．
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，将△ABC绕点C顺时针旋转至△EDC，使点E在⊙O上，再将△EDC沿CD翻折，点E恰好与点A重合，已知∠BAC=36°，则∠DCE的度数是（     ）

A．24 B．27 C．30 D．33
5．如图，在RtΔABC中，∠ACB=90，AC=6、BC=4，点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M交AB于E， D是AB的中点，则DM长度的最小值是(   )

A． B． C．1 D．-2
6．在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长为2，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（    ）
A．30°，1 B．45°，2 C．60°， D．120°，4
7．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．
8．如图，⊙O的半径为1，点A、B、C、D在⊙O上，且四边形ABCD是矩形，点P是劣弧AD上一动点，PB、PC分别与AD相交于点E、点F．当PA＝AB且AE＝EF＝FD时，AE的长度为（　　）

A． B． C． D．
9．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（    ）

A． B． C． D．
10．如图，点A的坐标是（−2，0），点C是以OA为直径的⊙B上的一动点，点A关于点C的对称点为点P．当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx－3k（k＞0）有且只有一个公共点，则k的值为（    ）．

A． B． C． D．

评卷人
得分



二、填空题
11．若的半径为，圆心O为坐标系的原点，点P的坐标是，点P在 ．
12．圆锥的底面半径为40cm，母线长80cm，则它的侧面展开图的圆心角度数为 ．
13．如图，点P为⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，，若⊙O半径为3，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）

14．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是 ．

15．的直径，AB是的弦，，垂足为M，，则AC的长为 ．
16．如图，中，，，，则的内切圆半径为 ．
  
17．如图，四边形ABCD内接于以BD为直径的⊙O，CA平分∠BCD，若四边形ABCD的面积是30cm2，则AC= cm．

18．如图，在等腰三角形ABC中，已知，，若⊙C的半径为1，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 ．


评卷人
得分



三、解答题
19．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：AC＝BD；

20．如图，已知为的直径，，为上两点，，连接，过点作，垂足为点，求证：．

21．请用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．
求作：一个⊙O，使⊙O与AB、BC所在直线都相切，且圆心O在边AC上．

22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．

(1)求证：直线AB是⊙O的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
23．石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）．连接．

(1)直接判断与的数量关系；
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到）．
24．如图，中，，是的内切圆，D，E，F是切点．

(1)求证：四边形ODCE是正方形；
(2)如果，，求内切圆的半径．
25．如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．

(1)求证：；
(2)若⊙O的半径为，DE＝1，求AE的长度；
(3)在（2）的条件下，求的面积．
26．【模型构建】如图1，在四边形ABCD中，，AB＝AD，，．求四边形ABCD的面积．琪琪同学的做法是：延长CD至E点，使DE＝BC，连结AE．易证．进而把四边形ABCD的面积转化为的面积，则四边形ABCD的面积为________．
【应用】如图2，为的外接圆，AB是直径，AC＝BC，点D是直径AB左侧的圆上一点，连接DA，DB，DC．若CD＝4，求四边形ADBC的面积；
【灵活运用】如图3，在四边形ADBC中，连结AB、CD，，四边形ADBC的面积为，则线段CD＝________．


参考答案：
1．B
【分析】根据圆的相关知识进行逐一判断即可．
【详解】解：A.过圆心且两个端点在圆上的线段是直径，故该选项说法错误；
B. 面积相等的圆，则半径相等，是等圆，故该选项说法正确；
C. 同圆或等圆中两个半圆是等弧，故该选项说法错误；
D. 同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故说法说法错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查圆的基本知识，熟知圆的相关知识是解题的关键．
2．C
【分析】根据圆的性质（垂径定理）得出半弦，再利用勾股定理即可求出结论．
【详解】解：∵AB为⊙O的弦，，，，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查圆内求半径的问题以及圆的性质定理的理解与掌握能力，涉及弦长、半径等的计算问题．合理利用半弦长、半径、弦心距之间的关系（构成直角三角形，满足半弦长的平方+弦心距的平方=半径的平方）是解本题的关键．
3．D
【分析】如图，作的外接圆，点为圆心，，由题意知且，，由勾股定理知，，当时，最长，可求此时最大值；由于，可得此时最小值，进而可得的取值范围．
【详解】解：如图，作的外接圆，点为圆心，

由题意知
∵
∴
∴
∴，由勾股定理知
∴
∵时，最长，
∴最大值为
∵
∴
∴
故选D．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆，三角形重心，圆周角与圆心角的关系，勾股定理等知识．解题的关键在于熟练掌握外接圆．
4．B
【分析】延长CD交⊙O于点F，连接AF，则由CD经过圆心O可得∠CAF＝90°，先由翻折得到∠BCA＝∠DCA，AB＝AD，∠CAD＝∠CAB＝36°，然后得到∠FAD＝54°，再由圆周角定理得到AB＝AF，进而得到AF＝AD，也就有∠ADF＝∠AFD＝63°，再由三角形的外角性质得到∠ACD的大小，最后由旋转的性质得到∠DCE的大小．
【详解】解：如图，延长CD交⊙O于点F，连接AF，

由题可知，,
垂直平分,
CD经过圆心O，
∴∠CAF＝90°，
由翻折得，∠DCA＝∠BCA，AB＝AD，∠CAD＝∠CAB＝36°，
∴∠FAD＝∠CAF﹣∠CAD＝90°﹣36°＝54°，AB＝AF，
∴AF＝AD，
∴∠ADF＝∠AFD＝（180°﹣∠DAF）＝（180°﹣54°）＝63°，
∵∠ADF是△ACD的外角，
∴∠ACD＝∠ADF﹣∠CAD＝63°﹣36°＝27°，
∴∠BCA＝27°，
由旋转的性质得，∠DCE＝∠BCA＝27°，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、旋转的性质、翻折的性质、三角形的外角性质，解题的关键是熟知“直径所对的圆周角为直角”求得∠DAF的大小．
5．C
【分析】取AC的中点T，连接DT，MT．利用三角形的中位线定理求出DT，利用直角三角形的中线的性质求出MT，再根据，可得结论．
【详解】解：如图，取AC的中点T，连接DT，MT．

∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴点M的运动轨迹是以T为圆心，TM为半径的圆，
∴，
∴DM的最小值为1，
故选：C．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线，直角三角形斜边中线解决问题．
6．C
【分析】根据中心角的定义可得这个正六边形的中心角，如图（见解析），过圆心作于点，先根据等边三角形的判定可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再利用勾股定理即可得．
【详解】解：这个正六边形的中心角为，
如图，过圆心作于点，

，
是等边三角形，
，
，
即这个正六边形的边心距为，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角和边心距、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正多边形的中心角和边心距的概念是解题关键．
7．D
【分析】根据S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC求解即可．
【详解】解：S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC
=
=
=
=2.25π（m2）
故选：D．
【点睛】本题考查扇形面积，不规则图形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
8．A
【分析】作辅助线，构建矩形的对角线，根据等边对等角得∠ABP＝∠APB，由同弧所对的圆周角相等可得∠ACB＝∠ACP，根据矩形的四个角都是直角得∠ABC＝90°，AE＝EF＝FD得FC＝2FD，∠DCF＝30°，得出∠ACB＝30°，求出BC的长，则可得AD的长，再三等分即可．
【详解】解：连接AC、BD，

∵PA＝AB，
∴∠ABP＝∠APB，
∵∠ABP＝∠ACP，∠APB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠ACP，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠ACP＝∠DAC，
∴AF＝CF，
∵AE＝EF＝FD，
∴AF=DE=CF，则FC＝2FD，
设FD＝x，则FC＝AF＝2x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，∠ABC＝∠ADC=∠BCD＝90°，
∴AC为⊙O的直径，
在Rt△DFC中，FC＝2FD，
∴∠DCF＝30°，
∴∠ACB＝∠ACP＝30°，
∵⊙O的半径为1，
∴AC＝2，
∴AB＝1，BC，
∴AD＝BC，
∵AE＝EF＝FD，
∴AE．
故选：A.
【点睛】本题是有关圆的计算题，考查了矩形，含30°的直角三角形的性质、等腰三角形的性质及圆周角、圆心角、弦、弧之间的关系，熟练掌握矩形的四个角都是直角，对角线相等且平分；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
9．D
【分析】连接、、，交于，作交BC于点G，利用 ，求出，进一步可得，求出，设⊙的半径为，利用，求出，求出，进一求出，再证明OB垂直平分，利用面积法可得，求得HE长即可求得答案．
【详解】解：连接、、，交于，作交BC于点G，如图，

∵AB＝6，AC＝5，BC＝7，
∴，即，解得：，
∴，
∴，
设内切圆的半径为r，
则，解得：，
的内切圆⊙与，，分别相切于点，，，
∴∠ODB=∠OEB=90°，
又∵OD=OE， OB=OB，
∴，
∴BD=BE，
同理， CE=CF，AD=AF，
∵BE+CE=BC=7，
∴BD+BE+CE+CF=14，
∴2AD=(6+5+7)-14=4，即AD=2，
∴，
∴，
，，
垂直平分，
，，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，面积法等，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键．
10．C
【分析】由点C的运动轨迹，可以推出点P的运动轨迹.然后根据当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx－3k（k＞0）有且只有一个公共点，推出OP⊥PD，然后根据勾股定理和等积法分别求出PE和OE，进而确定点P的坐标，然后代入直线y=kx－3k（k＞0）即可求出k的值．
【详解】解：如图，连接OP，作过点P作PE⊥x轴于点E，

∵点P和点A关于点C对称，点C的运动轨迹是以点B为圆心，半径为1的圆，
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，以AO为半径的圆．
∵当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx－3k（k＞0）有且只有一个公共点，直线y=kx－3k（k＞0）过定点D(3,0)，
∴OP⊥PD，
∴∠OPD=90°，
在Rt△OPD中，OP=OA=2，OD=3，
由勾股定理得：PD==
由等积法，可得：OD•PE=OP•PD，
即：3×PE=2×，
解得：PE=
在Rt△OPE中，OE==
∴点P的坐标为(，)
把点P的坐标代入y=kx－3k，得:，
解得:k=．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了双动点模型：主动点运动轨迹是圆，从动点运动轨迹也是圆，圆与直线的位置关系，勾股定理，等积法．熟记相关模型，利用数形结合思想是解决此类问题的关键．
11．外
【分析】设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，求出点P到圆心O的距离d的值，比较点P到圆心O的距离d与⊙O的半径为r的大小，即得
【详解】设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，
∵，，
∴d>r，
∴点p在⊙O外．
故答案为：外．
【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系，解决问题的关键是熟练掌握两点之间的距离公式，运用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系．
12．/180度
【分析】根据圆锥的底面半径求得圆锥的侧面展开扇形的弧长，再利用已知的母线长求得圆锥的侧面展开扇形的面积，再利用扇形的另一种面积的计算方法求得圆锥的侧面展开图的圆心角即可．
【详解】解：∵圆锥的底面半径是40cm，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：2πr=80π，
∵母线长80cm，
∴圆锥的侧面展开扇形的面积为：

解得：n=180．
故答案为：180°．
【点睛】本题考查了圆锥的有关计算，解决此类题目的关键是明确圆锥的侧面展开图与圆锥的关系．
13．
【分析】连接，先根据圆的切线的性质可得，再根据正方形的判定可得四边形是正方形，根据正方形的性质可得，然后利用正方形的面积减去扇形的面积即可得．
【详解】解：如图，连接，

分别与相切于点，
，
又，
四边形是正方形，
，
则图中阴影部分的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、扇形的面积、正方形的判定与性质，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．
14．36
【分析】根据正五边形的性质可求出每个内角的度数为108°，根据等腰三角形的性质可求出∠EAC＝∠DCA＝72°，进而可得四边形AEDF是平行四边形，求出∠DFC的度数，再根据三角形的内角和定理求出答案即可．
【详解】解：∵正五边形ABCDE，
∴∠ABC＝∠EAB==108°，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，
∴∠ACB＝∠BAC==36°，
∴∠EAC＝∠DCA＝108°﹣36°＝72°，
∴∠DEA+∠EAC＝108°+72°＝180°，
∴DE∥AC，
又∵DE＝AE＝AF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AE∥DF，
∴∠DFC＝∠EAC＝72°＝∠DCA，
∴∠FDC＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
故答案为：36°．
【点睛】本题考查正多边形与圆，掌握正五边形的性质以及三角形的内角和定理是正确解答的前提．
15．或
【分析】分①点在线段上，②点在线段上两种情况，连接，先利用勾股定理求出的长，再在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
①如图，当点在线段上时，连接，

的直径，
，
，
，
，
，
；
②如图，当点在线段上时，连接，

同理可得：，
，
；
综上，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了勾股定理、圆，正确分两种情况讨论是解题关键．
16．
【分析】先由勾股定理求出AB的长，再根据切线性质和正方形的判定这证得四边形OECF是正方形，然后利用切线长定理求得半径r即可．
【详解】如图，
  
∵在，，，
∴由勾股定理得：，
∵圆O为的内切圆，
∴，；
四边形是正方形；
由切线长定理，得：，，；
，
即：，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了切线的性质、正方形的判定与性质、切线长定理、勾股定理，熟练掌握切线性质和切线长定理是解答的关键．
17．
【分析】过A点作AE⊥AC，交CD的延长线与点E，证明△ABC≌△ADE，从而得到四边形ABCD的面积等于△ACE的面积，然后证明出△ACE是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求出AC的长度．
【详解】
如图，过A点作AE⊥AC，交CD的延长线与点E．
∵BD为⊙O的直径
∴∠BAD＝∠BCD＝90°
∵CA平分∠BCD
∴∠BCA＝∠ACD＝45°
∴∠E＝∠ACD＝45°
∴AC＝AE
∵AE⊥AC
∴∠CAE＝90°
∴∠CAD+∠DAE＝90°
又∵∠BAC+∠CAD＝90°
∴∠BAC＝∠DAE
又∵∠BCA＝∠E＝45°
在△ABC≌△ADE中，

∴△ABC≌△ADE（ASA）
∴
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，关键在于运用转化思想，将四边形ABCD的面积转化为△ACE的面积．
18．/
【分析】过A点作AN⊥BC与N点，连接QC和PC，利用切线的性质得到CQ⊥PQ，即△PQC是直角三角形，则当CP最小时，PQ最小，此时CP⊥AB，再利用三角形的面积求出CP，利用勾股定理求出PQ即可．
【详解】解：过A点作AN⊥BC与N点，连接QC和PC，如图，

∵PQ与⊙C相切，
∴PQ⊥QC，
∴△PQC是直角三角形，
∵QC=1，
∴利用勾股定理有，
∴则有CP最小时，PQ最小，
根据垂线段最短可知，当CP⊥AB时，CP最小，
则有CP⊥AB，
∵AB=AC=3，AN⊥BC，
∴根据等腰三角形的性质可知BN=NC==4×=2，
∵△ABC的面积为：，
∴，
在Rt△ANB中，，
∴，
∴在Rt△PQC中，，
即PQ的最小值为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，三角形的面积以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PC⊥AB时，线段PQ最短是关键．
19．见解析
【分析】根据已知条件求得，根据弧与弦的关系即可得证．
【详解】证明：∵＝，
∴＝，
∴，
∴BD=AC．
【点睛】本题考查了弦与弧之间的关系，掌握同圆或等圆中，等弧对等弦是解题的关键．
20．见解析
【分析】连接DO并延长交⊙O于G，结论DC，DB，延长DE交⊙O于F，由垂径定理得到DE=DF，，DG⊥AC，∠C=∠B，，根据余角的性质得到∠1=∠2，由圆周角定理得到，等量代换得到结论．
【详解】解：连接DO并延长交⊙O于G，连接DC，DB，延长DE交⊙O于F，

∵AB为⊙O的直径，
∴DE=DF，，
∵，
∴DG⊥AC，∠C=∠B，，
∵∠1+∠C=90°，∠2+∠B=90°，
∴∠1=∠2，
∴，
∴，
∴AC=DF，
∴DE=AC．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
21．见解析
【分析】先作∠ABC的平分线交AC于O点，然后以O点为圆心，OC为半径作圆即可．
【详解】解：作∠ABC的平分线交AC于O点，以O点为圆心，OC为半径作圆，则为所求作的圆．

【点睛】本题主要考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
22．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接OD，CD，根据含30度角的直角三角形的性质得出AC=AB，求出∠A=90°-∠B=60°，根据直角三角形的性质得出BD=AD=AB，求出AD=AC，根据等边三角形的判定得出△ADC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠ADC=∠ACD=60°，求出∠ODC=∠DCO=30°，求出OD⊥AB，再根据切线的判定得出即可；
（2）求出BD=AC=，BO=2DO，根据勾股定理得出BO2=OD2+BD2，求出OD，再分别求出△BDO和扇形DOE的面积即可．
【详解】（1）证明：连接OD，CD，

∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AC=AB，∠A=90°-∠B=60°，
∵D为AB的中点，
∴BD=AD=AB，
∴AD=AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC=∠ACD=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCO=90°-60°=30°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠DCO=30°，
∴∠ADO=∠ADC+∠ODC=60°+30°=90°，
即OD⊥AB，
∵OD过圆心O，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知：AC=AD=BD=AB，
又∵AC=，
∴BD=AC=，
∵∠B=30°，∠BDO=∠ADO=90°，
∴∠BOD=60°，BO=2DO，
由勾股定理得：BO2=OD2+BD2，
即（2OD）2=OD2+（）2，
解得：OD=1（负数舍去），
所以阴影部分的面积S=S△BDO-S扇形DOE=．
【点睛】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积计算等知识点，能熟记直角三角形的性质、切线的判定和扇形的面积公式是解此题的关键．
23．(1)
(2)这座石拱桥主桥拱半径约为

【分析】（1）根据垂径定理即可得出结论；
（2）设主桥拱半径为，在中，根据勾股定理列出方程，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵半径，
∴．
故答案为：．
（2）设主桥拱半径为，由题意可知，，
∴，，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
∴，
因此，这座石拱桥主桥拱半径约为．
【点睛】此题考查垂径定理和勾股定理，是重要考点，根据题意利用勾股定理列出方程是解题关键．
24．(1)见解析
(2)1

【分析】（1）根据切线判定定理可得，先证四边形ODCE是矩形，再根据正方形的判定即可求证；
（2）设的半径为r，根据正方形的性质可得，从而得到，，再由切线长定理可得，，然后根据，即可求解．
【详解】（1）证明：∵BC，AC分别切于点D，E，
∴，，
又∵，
∴四边形ODCE是矩形，
又∵，
∴矩形ODCE是正方形．
（2）解：设的半径为r，
∵四边形ODCE是正方形，
∴，
在中，，
∴，，
∵与各边相切于点D，E，F，
∴，，
又∵，
∴，解得
∴内切圆的半径是1．
【点睛】本题主要考查了切线长定理，矩形的判定，正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线长定理，正方形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)3
(3)

【分析】（1）连接，利用垂径定理可得，由为⊙O的切线可得，由平行线的判定定理可得结论；
（2）连接，，设，则，由可得，，在中，利用勾股定理可得，即；
（3）连接，，设与交于点，利用可得，在中利用勾股定理可得，所以，又证明四边形为矩形，所以面积为矩形面积的一半，进而可得的面积．
【详解】（1）解：证明：如图，连接，
为劣弧的中点，
，
，
又为⊙O的切线，
，
；

（2）解：如图，连接，，
设，则，
为劣弧的中点，
，
，
又，
，
，
，
，
为⊙O的直径，
，
又⊙O的半径为，
，
由得，
解得或（舍），
；

（3）解：如图，设与交于点，
由（2）知，
，，
在中，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
为⊙O的直径，
，
由（1）可知，，
四边形为矩形，
，，
．

【点睛】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆的切线的判定与性质，矩形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握这些性质并能灵活运用是解题的关键．
26．（1）9；（2）8；（3）4
【分析】（1）根据可得，根据证明进而把四边形ABCD的面积转化为的面积，根据，，即可求解．
（2）由旋转得到，可得，根据，可得，根据（1）的模型即可求解．
（3）根据（1）的模型可得，根据等边的面积为，即可求解．
【详解】（1），，
，
又，
，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：9
（2）解：如图，旋转得到，使得与重合，
∵AB是直径，
∴，
∵旋转得到，
∴，
∴CD＝CE＝4，，
∴，
∵点A、C、B、D在上，
∴，
∵，
∴，
∴D、B、E三点共线
∴四边形ADBC的面积．

（3）如图，将绕点旋转使得与重合，
∵旋转得到，
∴，

，
是等边三角形，
，
四点共圆，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
四边形ADBC的面积为，
，
故答案为：4．

【点睛】本题考查了旋转的性质，直径所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补，等边三角形的性质，勾股定理，全等的性质，理解题意，转化四边形的面积为三角形的面积是解题的关键．