苏科版九年级上册2.1 圆随堂练习题

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选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．（2022秋•无锡期末）若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解答】解：∵⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，
∴这个多边形的中心角＝60°，
∴＝60°，
∴n＝6，
故选：C．
2．（2022秋•无锡期末）已知四边形ABCD是圆内接四边形，∠A＝70°，则∠C的度数为（ ）
A．70°B．80°C．100°D．110°
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°．
故选：D．
3．（2022秋•路北区校级期末）如图，PA，PB，DE分别切⊙O于点A，B，C．若⊙O的半径为8cm，PO的长为17cm，则△PDE的周长为（ ）
A．15cmB．16cmC．30cmD．34cm
【答案】C
【解答】解：连接OA，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，PA＝PB；
由勾股定理得：PA2＝PO2﹣OA2＝289﹣64＝225，
∴PA＝PB＝15cm；
∵EA、EC、DC、DB均为⊙O的切线，
∴EA＝EC，DB＝DC，
∴DE＝EA+DB，
∴PE+PD+DE＝PA+PB＝30（cm），
即△PDE的周长为30cm．
故选：C．
4．（2022秋•兴隆台区校级期末）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝80°，则∠ACB的度数为（ ）
A．80°B．40°C．50°D．70°
【答案】C
【解答】解：连接OA，OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝80°，
∴∠AOB＝100°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°，
故选：C．
5．（2023•锦州二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．π
【答案】A
【解答】解：连接OE，OD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
即点E是BC的中点，
∵点O是AC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AB，
∴S△AOD＝S△AED，
∴S阴影＝S扇形OAD，
∵∠AEC＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∵∠BED＝45°，
∴∠AED＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∴，
∴，
故选：A．
6．（2023•花都区一模）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠CDA＝22.5°，则∠AOB的度数为（ ）
A．22.5°B．30°C．45°D．60°
【答案】C
【解答】解：∵OA⊥BC，∠CDA＝22.5°，
∴，
∴∠AOB＝2∠ADC＝45°，
故选：C．
7．（2023•仁怀市模拟）如图，点A、B、C三点在⊙O上，点D为弦AB的中点，AB＝8cm，CD＝6cm，则OD＝（ ）
A．cmB．cmC．cmD．cm
【答案】B
【解答】解：连接OA，
设OA＝r（cm），
则OC＝OA＝r（cm），
∵点D为弦AB的中点，O为圆心，
∴OD⊥AB，
∵AB＝8（cm），
∴AD＝BD＝4（cm），
∵CD＝6（cm），
∴OD＝CD﹣OC＝（6﹣r）（cm），
在Rt△AOD中，由勾股定理得OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（6﹣r）2+42，
解得，
∴（cm），
故选：B．
8．（2023•定西模拟）如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（ ）
A．π m2B．π m2C．π m2D．π m2
【答案】D
【解答】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，
所以面积＝＝πm2；
小扇形的圆心角是180°﹣120°＝60°，半径是1m，
则面积＝＝（m2），
则小羊A在草地上的最大活动区域面积＝π+＝π（m2）．
故选：D．
9．（2023•单县二模）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝50°，过点A作AD平行于BC，交CO的延长线于点D，则∠D的度数（ ）
A．50°B．45°C．40°D．25°
【答案】C
【解答】解：如图，连接OB，
∵∠BAC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，
∴∠OCB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠OCB＝40°．
故选：C．
10．（2023•武威模拟）生活中处处有数学，多边形在生活中的应用更是不胜枚举．如图是一个正六边形的螺帽，它的边长是4cm，则这个正六边形的半径R和扳手的开口a的值分别是（ ）
A．2cm，B．4cm，C．4cm，D．4cm，
【答案】B
【解答】解：依题意一个正六边形的螺帽，它的边长是4cm，则R＝4cm，
连接AC，过B作BD⊥AC于D；
∵AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AD＝CD；
∵此多边形为正六边形，
∴∠ABC＝＝120°，
∴∠ABD＝＝60°，
∴∠BAD＝30°，AD＝AB•cs30°＝4×＝2，
∴a＝2AD＝4cm．
故选：B．
填空题(本题共6题,每小题3分，共18分）。
11．（2023•雁塔区校级模拟）正多边形的一个内角与一个外角的度数之比为3：1，则这个正多边形的边数是 8 ．
【答案】8．
【解答】解：设这个正多边形的边数为n，
由题意得：（n﹣2）×180＝360，
解得：n＝8，
故答案为：8．
12．（2023•天元区模拟）如图，正方形ABCD内接于圆O，E是弧AD上一点，若∠EAF＝15°，则∠AFB的大小为 60° ．
【答案】60°．
【解答】解：连接AO，BO，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AEB＝45°，
∵∠EAF＝15°，
∴∠AFB＝∠AEB+∠EAF＝45°+15°＝60°．
故答案为：60°．
13．（2023•碑林区校级模拟）如图，在正六边形ABCDEF中，以点A为原点建立直角坐标系，边AB落在x轴上，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标是 （3，） ．
【答案】（3，）．
【解答】解：过C作CH⊥x轴于H，
在正六边形ABCDEF中，∵∠ABC＝120°，
∴∠CBH＝60°，
∵点B的坐标为（2，0），
∴AB＝BC＝2，
∴BH＝BC＝1，CH＝BC＝，
∴AH＝2+1＝3，
∴C（3，），
故答案为：（3，）．
14．（2023•宽城区模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O．若⊙O的周长为12π，则该正六边形的边长是 6 ．
【答案】6．
【解答】解：连接OA，OB，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的周长为12π，
∴⊙O的半径为6，
∵∠AOB＝＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝6，
∴正六边形ABCDEF的边长为6，
故答案为：6．
15．（2023•临川区校级一模）蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有 10 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，AB是直角边时，点C共有6个位置，即有6个直角三角形，
AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角形，
综上所述，△ABC是直角三角形的个数有6+4＝10个．
故答案为：10．
16．（2022•邳州市一模）如图，六个含30°角的直角三角板拼出两个正六边形，若大正六边形的面积为6，则中间小正六边形的面积为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：如图，∵△ABG≌△BCH，
∴AG＝BH，
∵∠ABG＝30°，
∴AB＝AG，BG＝2AG，
即BH+HG＝2AG，
∴HG＝AG，
∵正六边形ABCDEF∽正六边形HMNPQG，
∴正六边形ABCDEF的面积：正六边形HMNPQG的面积＝（）2＝3，
∵大正六边形的面积为6，
∴中间小正六边形的面积为2，
故答案为：2．
三、解答题（本题共5题，共52分）。
17．（10分）（2023•柘城县三模）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级非物质文化遗产之一．为弘扬传统文化，某校将抖空竹列入了体育课程．在学习了圆之后，数学兴趣小组的同学们对抖空竹进行了探究，示意图如图所示，已知绳AC，BD分别与空竹⊙O相切于点C，D，且AC＝BD，连接左右两个绳柄A，B，AB经过圆心O，交⊙O于点E，F．
​
（1）求证：AE＝BF．
（2）若AE＝4，AC＝8，求两个绳柄之间的距离AB．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）20．
【解答】（1）证明：连接OC，OD，如解图所示．
∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°．
在△ACO和△BDO中，
，
∴△ACO≌△BDO（SAS）．
∴AO＝BO．
又∵EO＝FO，
∴AE＝BF．
（2）解：设OE＝OC＝x，则AO＝x+4．
在Rt△ACO中，由勾股定理，得（x+4）2＝x2+82．
解得x＝6．
∴AO＝10．
∴AB＝20．
∴两个绳柄之间的距离AB为20
18．（10分）（2023春•农安县期末）李师傅要为某单位修建正多边形花台，已知正多边形花台的一个外角的度数比一个内角度数的多12°，请你帮李师傅求出这个正多边形的一个内角的度数和它的边数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设这个多边形的一个内角的度数是x°，则相邻的外角度数是x°+12°，
则x+x+12＝180，
解得：x＝140，
这个正多边形的一个内角度数是140°，
180°﹣140°＝40°，
所以这个正多边形的边数是＝9．
19．(10分)（2022秋•斗门区期末）如图，AB为⊙O的直径，P在BA的延长线上，C为圆上一点，且∠ACP＝∠OBC．
（1）求证：PC与⊙O相切；
（2）若PA＝4，PC＝BC，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；
（2）4．
【解答】（1）证明：连接OC，则OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACP＝∠OBC，
∴∠ACP＝∠OCB，
∴∠OCP＝∠OCA+∠ACP＝∠OCA+∠OCB＝∠ACB＝90°，
∵PC经过⊙O的半径OC的外端，且PC⊥OC，
∴PC与⊙O相切．
（2）解：∵PC＝BC，
∴∠P＝∠B，
∵∠ACP＝∠B，
∴∠ACP＝∠P，
∴CA＝PA＝4，
∵∠OCP＝90°，
∴∠ACO+∠ACP＝90°，∠AOC+∠P＝90°，
∴∠ACO＝∠AOC，
∴CA＝OA＝OC＝4．
20．（10分)（2023•大连二模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD．OD相交于点E，F．
（1）求证：点D为弧AC的中点；
（2）若DF＝4，AC＝16，求⊙O的直径．
​
【答案】（1）证明见解析；（2）20．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝∠C＝90°，
∴OF⊥AC，
∴＝，
∴点D为的中点；
（2）解：∵OF⊥AC，
∴AF＝AC＝8，
在Rt△AFO中，AO2＝AF2+OF2，
∴OA2＝64+（OD﹣DF）2，
∴OA2＝64+（OA﹣4）2，
∴OA＝10，
∴⊙O的直径为20．
21．（12分）（2023•河西区二模）在△ABC中，∠C＝90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．
（1）如图①，连接AD，若∠CAD＝26°，求∠B的大小；
（2）如图②，若点F为的中点，⊙O的半径为3，求AB的长．
【答案】（1）∠B＝38°；
（2）9．
【解答】解：（1）如图，连接OD，
∵OA为半径的圆与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB＝90°，
在△ABC中，∠C＝90°，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴∠CAD＝∠ADO＝26°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝26°，
∴∠BOD＝2∠OAD＝52°，
∴∠B＝90°﹣∠BOD＝38°；
（Ⅱ）连接OD，OF．
∵F为 的中点，
∴∠AOF＝∠FOD．
∵OD∥AC，
∴∠AFO＝∠FOD，
∴∠AFO＝∠AOF．
∵OA＝OF，
∴∠AFO＝∠OAF，
∴△AFO为等边三角形，
∠CAB＝60°
∴∠B＝30°
∵OD＝3，
∴OB＝2OD＝6，
∴AB＝OA+OB＝9．