初中数学2.1 圆测试题

这是一份初中数学2.1 圆测试题，共186页。
（1）已知点P是⊙O外的一点，在⊙O上找一点A，使P、A两点间距离最短．
如图①，连接OP，OP与⊙O的交点A即为所求，此时线段PA最短．为了证明点A即为所求，不妨在⊙O上另外任取一点B，连接PB，OB，证明PB＞PA．请完成这个证明．
【变式探究】
（2）已知直线l与⊙O相离，在⊙O上找一点M，使点M到直线l的距离最短．
小明给出下列解答，请你补全小明的解答．
小明的解答
如图②，过点O作ON⊥l，垂足为N，ON与⊙O的交点M即为所求，此时线段MN最短．为了证明点M即为所求，不妨在⊙O上另外任取一点P，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，连接OP，OQ，即证明PQ＞MN．
∵ ，OQ＞ON，∴OP+PQ＞ON．
又 ，∴OP+PQ＞OM+MN．
又OP＝OM，∴PQ＞MN．
【拓展研究】
（3）如图③，已知直线l和直线外一点A，线段MN的长度为1．请用直尺和圆规作出一个⊙O，使⊙O经过点A，且⊙O上的点到直线l的距离的最小值为1．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）如图④，在△ABC中，AC＝8，BC＝12，∠C＝30°，⊙O经过点A，且⊙O上的点到直线BC的距离的最小值为2，距离最小值为2时所对应的⊙O上的点记为点P，若点P在△ABC的内部（不包括边界），则⊙O的半径r的取值范围是 ．
2．（2021·江苏南京·九年级期中）【概念提出】
圆心到弦的距离叫作该弦的弦心距．
【数学理解】
如图①，在⊙O中，AB是弦，OP⊥AB，垂足为P，则OP的长是弦AB的弦心距．
（1）若⊙O的半径为5，OP的长为3，则AB的长为 ．
（2）若⊙O的半径确定，下列关于AB的长随着OP的长的变化而变化的结论：
①AB的长随着OP的长的增大而增大；
②AB的长随着OP的长的增大而减小；
③AB的长随着OP的长的确定而确定；
④AB的长与OP的长无关．
其中所有正确结论的序号是 ．
【问题解决】
如图②，已知线段EF，MN，点Q是⊙O内一定点．
（3）用直尺和圆规过点Q作弦AB，满足AB＝EF；（保留作图痕迹，不写作法）
（4）若弦AB，CD都过点Q，AB＋CD＝MN，且AB⊥CD．设⊙O的半径为r，OQ的长为d，MN的长为l．
①求AB，CD的长（用含r，d，l的代数式表示）；
②写出作AB，CD的思路．
3．（2021·江苏南京·九年级期中）AB、CD是⊙O中的两条等弦．
（1）如图①，点A与点C重合，求证：圆心O在∠BAD的平分线上；
（2）如图②，用直尺和圆规作弦CD⊥AB（保留作图痕迹，不写作法）；
（3）若⊙O的半径为2，AB=m，记弦AB、CD所在的直线交点为P，且两直线夹角为60°．直接写出点P与⊙O的位置关系及相应的m的取值范围．
4．（2022·江苏盐城·中考真题）【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．
【提出问题】
小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图像上．
(1)【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为___________．
(2)【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．
(3)【深度思考】
小明继续思考：设点P(0,m)，m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
5．（2021·江苏南京·九年级期中）在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单：已知线段BC＝2，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为 ；②△ABC面积的最大值为 ；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C＞30°．
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B，坐标为（2，m），过点B作AB⊥y轴，BC⊥x轴，垂足分别为A、C，若点P在线段AB上滑动（点P可以与点A、B重合），发现使得∠OPC＝45°的位置有两个，则m的取值范围为 ．
6．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M均为格点．
【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整：
解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．
在Rt△ABC中，tan∠BAC=12
在Rt△CDE中， ，
所以tan∠BAC=tan∠DCE．
所以∠BAC=∠DCE．
因为∠ACP+ ∠DCE =∠ACB =90°，
所以∠ACP +∠BAC =90°，
所以∠APC =90°，
即AB⊥CD．
(1)【拓展应用】如图②是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在BM上找出一点P，使PM=AM，写出作法，并给出证明：
(2)【拓展应用】如图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P．使AM2=AP·AB，写出作法，不用证明．
7．（2022·江苏常州·中考真题）（现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径AB的长是12cm，C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接AC、BC．
(1)沿AC、BC剪下△ABC，则△ABC是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
(2)分别取半圆弧上的点E、F和直径AB上的点G、H．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(3)经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C，一定存在线段AC上的点M、线段BC上的点N和直径AB上的点P、Q，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4cm的菱形．小明的猜想是否正确？请说明理由．
8．（2022·江苏泰州·中考真题）已知：△ABC中，D 为BC边上的一点.
(1)如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；
(2)在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上做点F，使∠DFA=∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(3)如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于12CD•AB，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由.
9．（2022·江苏扬州·中考真题）【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？
【初步尝试】如图1，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；
【问题联想】如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；
【问题再解】如图3，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．
（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）
10．（2021·江苏南通·一模）在平面直角坐标系xOy中，对于M，N两点给出如下定义：若点M到x轴，y轴的距离中的最大值等于点N到x轴，y轴的距离中的最大值，则称M，N两点互为“等距点”．例如：点P（2，2）与点（﹣2，﹣1）到x轴，y轴的距离中的最大值都等于2，它们互为等距点．已知点A的坐标为（1，3）．
(1)在点B（0，﹣2），C（﹣3，2），D（4，3）中，点 与点A互为“等距点”；
(2)已知直线l：y＝kx+4k+1．
①若k＝1，点E在直线l上，且A，E两点互为“等距点”，求点E的坐标；
②若直线l上存在点F，使得A，F两点互为“等距点”，求k的取值范围；
(3)若⊙N的圆心为（n，2），半径为2，⊙N上恰有三个点是点A的“等距点”，直接写出n的值．
11．（2021·江苏·连云港外国语学校一模）（1）【探究发现】
如图1，∠EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠EOF＝90°，将∠EOF绕点O旋转，旋转过程中，∠EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．则CE，CF，BC之间满足的数量关系是______．
（2）【类比应用】
如图2，若将（1）中的“正方形ABCD”改为“∠BCD＝120°的菱形ABCD”，其他条件不变，当∠EOF＝60°时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由．
（3）【拓展延伸】
如图3，∠BOD＝120°，OD＝34，OB＝4，OA平分∠BOD，AB＝13，且OB＞2OA，点C是OB上一点，∠CAD＝60°，求OC的长．
12．（2021·江苏淮安·一模）如图1，在四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．
(1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中， 一定是等角线四边形（填写图形名称）；
②若M、N、P、Q分别是等角线四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点，当对角线AC、BD还要满足 时，四边形MNPQ是正方形．
(2)如图2，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，D为平面内一点．
①若四边形ABCD是等角线四边形，且AD=BD，求四边形ABCD的面积；
②设点E是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED是等角线四边形，则四边形ABED的面积的最大值为 ．
13．（2022·江苏·徐州市第十三中学三模）微探究：如图①，点P在⊙O上，利用直尺（没有刻度）和圆规过点P作⊙O的切线．小明所在的数学小组经过合作探究，发现了很多作法，精彩纷呈．
作法一：
①作直径PA的垂直平分线交⊙O于点B；
②分别以点B、P为圆心，OP为半径作弧，两弧交于点C；
③作直线PC．
作法二：
①作直径PA的四等分点B、C；
②以点C为圆心，CA为半径作弧，交射线PA于点D；
③分别以点A、P为圆心，PD、PC为半径作弧，两弧交于点E；
④作直线PE．
(1)以上作法是否正确？选一个你认为正确的作法予以证明；
(2)在图①、图②中用两种作法作出符合条件的图形（与以上作法不同）．不写作法，保留作图痕迹．
14．（2022·江苏扬州·三模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1＝y2，给出如下定义：若平面上存在一点P，使△APB是以线段AB为斜边的直角三角形，则称点P为点A、点B的“直角点”．
(1)已知点A的坐标为（1，0）．
①若点B的坐标为（5，0），在点P1（4，3）、P2（3，2）和P3（2，﹣3）中，是点A、点B的“直角点”的是 ；
②点B在x轴的正半轴上，且AB＝42，当直线y＝﹣x＋b上存在点A、点B的“直角点”时，求b的取值范围；
(2)⊙O的半径为r，点D（0，4）为点E（﹣1，2）、点F（m，2）的“直角点”，若使得△DEF的边与⊙O有交点，直接写出半径r的取值范围．
15．（2022·江苏南京·二模）△ABC是一地铁皮，如何按要求从中剪一个面积最大的圆？
(1)【初步认识】
请用直尺和圆规在图①中作出面积最大的圆（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)【继续探索】
若三角形铁皮上有一破损的孔点D（孔径大小忽略不计），要求剪一个面积最大的圆且圆面无破损，请用直尺和圆规在图②中作出满足要求的圆（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．
(3)【问题解决】
如图③，若AB=AC=10，BC=12，E、F分别是AB、AC的中点，破损的孔点D位于EF上（孔径大小忽略不计）．设DE为x，剪出面积最大的圆（圆面无破损）的半径为r，直接写出x和r的关系式以及相应x的取值范围．
16．（2022·江苏盐城·三模）概念学习
在同一平面内，当线段与圆有且只有一个公共点时，称线段与圆相接；当它们有两个公共点时，称线段与圆相交．
理解运用
(1)如图1，AB为⊙O的切线，切点为B，点P为平面内的一点，连接A、P两点，线段AP与⊙O相接．
①命题“若点P在⊙O内，则线段AP与⊙O相接．”是 命题（填“真”或“假”）；
②利用直尺和圆规画出点P在⊙O上且符合条件的点P所在圆上部分．
拓展延伸
(2)如图2，在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以平面内任意一点O为圆心，r为半径画圆．
①若⊙O与ABC三边都相接，求r的最小值；
②若存在⊙O与边AB、BC相交，与AC相接，请直接写出r的取值范围．
17．（2022·江苏连云港·二模）（1）如图①，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以CD为腰作等腰Rt△CDE，连接BE，则AD与BE的数量关系是______，位置关系是______；
（2）如图②，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上两点，且AC=BC，若BD=3，AD=9，小航同学想探究CD的长，他想到了利用第（1）问中的解题方法：以CD为腰作等腰直角三角形．请你帮小航同学完成探究过程；
（3）如图③是某公园的一个面积为36πm2的圆形广场示意图，点O为圆心，公园开发部门计划在该广场内设计一个四边形运动区域ABDC，连接BC、AD，其中等边△ABC为球类运动区域，△BCD为散步区域，设AD的长为x，△BDC的面积为S．
①求S与x之间的函数关系式；
②按照设计要求，发现当点D为弧BC的中点时，布局设计最佳，直接写出此时四边形运动区域ABDC的面积．
18．（2022·江苏·东海县教育局教研室二模）【问题情境】
(1)爱探究的小明在做数学题时遇到这样一个问题：如图1，AB是⊙O的直径，P是⊙O上的一动点，若AB＝6，则△PAB面积的最大值为 ．请帮小明直接填空；
【模型归纳】
(2)小明在完成填空后，对上面问题中模型进行如下归纳：如图2，AB是⊙O的弦，P是⊙O优弧上的一动点，过P点作PC⊥AB于C点，当且仅当PC经过圆心O时，PC最大．请帮助小明完成这个结论的证明；
【模型应用1】
(3)在凸四边形ABCD中，AB=53，AD=103，∠A=60°，∠C=150°，试求四边形ABCD面积的最大值；
【模型应用2】
(4)如图4是四边形休闲区域设计示意图ABCD，已知∠BAD=∠BCD=90°，CB=CD，休闲区域内原有一条笔直小路AC的长为80米，现为了市民在该区域内散步方便，准备再修一条长为30米的小路MN，满足点M在边AB上，点N在小路AC上．按设计要求需要给图中阴影区域（即△ACD与四边形MBCN，小路宽度忽略不计）种植花卉，为了节约成本且满足设计需求，阴影部分的面积要尽可能的小．请问，是否存在符合设计要求的方案？若存在，请直接写出阴影部分面积的最小值；若不存在，请说明理由．
19．（2022·江苏泰州·二模）如图，在⊙O中，AB是直径，弦EF∥AB．
(1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧EF的中点P；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)如图2，在（1）的条件下连接OP、PF，若OP交弦EF于点Q，现有以下三个选项：①△PQF的面积为32；②EF=6；③PF=10，请你选择两个合适选项作为条件，求⊙O的半径，你选择的条件是 （填序号）
20．（2022·江苏南京·二模）【概念认识】与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆．
(1)【初步理解】如图①~③，四边形ABCD是矩形，⊙O1和⊙O2都与边AD相切，⊙O2与边AB相切，⊙O1和⊙O3都经过点B，⊙O3经过点D，3个圆都经过点C．在这3个圆中，是矩形ABCD的第Ⅰ类圆的是________是矩形ABCD的第Ⅱ类圆的是________．
(2)【计算求解】已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，直接写出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长．
(3)【深入研究】如图④，已知矩形ABCD，用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）
①作它的1个第Ⅰ类圆；
②作它的1个第Ⅱ类圆．
21．（2022·江苏·扬州市广陵区教师发展中心二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，A（0，6），C（8，0）．
(1)如图1，D是OC的中点，将△AOD沿AD翻折后得到△AED，AE的延长线交BC于F．
①试判断线段EF与CF的数量关系，并说明理由；
②求点F的坐标；
(2)如图2，点M、N分别是线段AB、OB上的动点，ON＝2MB，如果以M、N、B三点中的一点为圆心的圆恰好过另外两个点（M、N、B三点不在同一条直线上），求点M的坐标．
22．（2022·江苏扬州·二模）如图，已知∠MON=90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA=8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上作匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连接PC、QC．设运动时间为ts，其中0