中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题10圆的有关计算与证明(江苏真题25道模拟30道)(原卷版+解析)

这是一份中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题10圆的有关计算与证明(江苏真题25道模拟30道)(原卷版+解析)，共109页。

【方法揭秘】揭示思想方法，提升解题效率
一. 圆中容易混淆的“两组基本概念”
1．弦与直径：（1）弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的弦.
（2）直径是弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
2．弧与半圆：
（1）圆上任意两点分圆成两段弧，圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条孤，每一条弧叫作半圆.
（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆.
二、垂径定理应用中常作的辅助线：
（1）若已知圆心和弦，则连接圆心和弦的一个端点，即“连半径”，并作垂直于弦的直径，构造直角三角形；
（2）若已知圆心和弦（弧）的中点，则连接圆心和弦（弧）的中点，并延长使其与圆相交，得圆的直径，再“连半径”，构造直角三角形.
三、计算圆心角和圆周角时的注意事项：
1.在进行有关圆心角与圆周角的计算时，应适当添加辅助线，以方便角度之间的转化.一条弧所对的圆心角只有一个，而所对的圆周角有无数个，它们都相等；
2.一条弦所对的圆心角只有一个，但它所对的圆周角却有无数个，在同一条弦的同侧的圆周角相等，在同一条弦的异侧的两个圆周角互补.
三、利用点和圆的位置关系求半径的取值范围
（1）若点在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径；若点在圆上，则点到圆心的距离等于圆的半径；若点在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径.（2）解这类题时，常运用转化思想，将点与圆的位置关系转化成点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系，从而列出方程或不等式来解答.
四、切线的判定方法：
切线的判定方法一——连半径，证垂直，某直线是圆的切线时，如果已知直线与圆有公共点，那么可作出经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“有交点，连半径，证垂直”.
切线的判定方法二——作垂直，证半径
证明某直线是圆的切线时，如果未明确说明直线和圆有公共点，那么常过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”.
五、有关三角形内心的常用辅助线作法
解答该类问题时一般有两种作辅助线的方法：一是连接内心与三角形的顶点，即构建出三角形的角平分线；二是连接内心与切点得到线段垂直的位置关系，再连接内心与三角形的顶点进而运用直角三角形的相关知识来解答.
六、正多边形的相关计算技巧：
（1）正n边形的半径、边心距、边的一半构成一个直角三角形.有关正n边形的计算问题都转化为直角三角形的问题，常作半径、边心距构造直角三角形；
（2）正六边形的边长等于它的半径，正三角形的边长等于它的半径的3倍，正方形的边长等于它的半径的2 倍.
【真题再现】直面中考真题，实战培优提升
1．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC=60°，直线AD∥BC，AB=AD，点O在BD上．
(1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
2．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=60°，AD经过圆心O交⊙O于点E，连接BD，∠ADB=30°．
(1)判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AB=43，求图中阴影部分的面积．
3．（2022·江苏南通·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，AC平分∠BAD,CD=22，点E在BC的延长线上，连接DE．
(1)求直径BD的长；
(2)若BE=52，计算图中阴影部分的面积．
4．（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．
(1)求证△CED∽△BAD；
(2)当DC=2AD时，求CE的长．
5．（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AB的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF=EF．
(1)求证：CF为⊙O的切线；
(2)连接BD，取BD的中点G，连接AG．若CF=4，BF=2，求AG的长．
6．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在△ ABC中，∠ABC =45°，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D．
(1)判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AB=4，求图中阴影部分的面积．
7．（2022·江苏扬州·统考中考真题）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点P，交过点B的直线于点C，且CB=CP．
(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若sinA=55,OA=8，求CB的长．
8．（2021·江苏淮安·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD＝3，DE＝52，求⊙O的直径．
9．（2021·江苏南通·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD=35°，连接BC．
（1）求∠B的度数；
（2）若AB=2，求EC的长．
10．（2021·江苏镇江·统考中考真题）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，⊙O经过A，B，P三点．
（1）若BP＝3，判断边CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，E是CD的中点，⊙O交射线AE于点Q，当AP平分∠EAB时，求tan∠EAP的值．
11．（2021·江苏盐城·统考中考真题）如图，O为线段PB上一点，以O为圆心OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2=PA⋅PB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AB=3PA，求ACBC的值．
12．（2021·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，以点O为圆心，OA为半径的圆交AB于点C，点D在边OB上，且CD= BD．
（1）判断直线CD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）已知tan∠DOC=247，AB=40，求⊙O的半径．
13．（2021·江苏苏州·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1=∠2，延长BC到点E，使得CE=AB，连接ED．
（1）求证：BD=ED；
（2）若AB=4，BC=6，∠ABC=60°，求tan∠DCB的值．
14．（2021·江苏扬州·统考中考真题）如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，CB=CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．
（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=23，∠BCD=60°，求图中阴影部分的面积．
15．（2021·江苏连云港·统考中考真题）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以点C为圆心，CB为半径作⊙C，D为⊙C上一点，连接AD、CD，AB=AD，AC平分∠BAD．
（1）求证：AD是⊙C的切线；
（2）延长AD、BC相交于点E，若S△EDC=2S△ABC，求tan∠BAC的值．
16．（2020·江苏镇江·统考中考真题）如图，▱ABCD中，∠ABC的平分线BO交边AD于点O，OD＝4，以点O为圆心，OD长为半径作⊙O，分别交边DA、DC于点M、N．点E在边BC上，OE交⊙O于点G，G为MN的中点．
（1）求证：四边形ABEO为菱形；
（2）已知cs∠ABC＝13，连接AE，当AE与⊙O相切时，求AB的长．
17．（2020·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以BD为直径的⊙O经过点A，且∠CAD=∠ABC．
（1）请判断直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由；
（2）若CD=2，CA=4，求弦AB的长．
18．（2020·江苏南通·统考中考真题）（1）如图①，点D在AB上，点E在AC上，AD＝AE，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．
（2）如图②，A为⊙O上一点，按以下步骤作图：
①连接OA；
②以点A为圆心，AO长为半径作弧，交⊙O于点B；
③在射线OB上截取BC＝OA；
④连接AC．
若AC＝3，求⊙O的半径．
19．（2020·江苏盐城·统考中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠DCA=∠B．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE⊥AB，垂足为E,DE交AC于点F；求证：△DCF是等腰三角形．
20．（2020·江苏淮安·统考中考真题）如图，AB是圆O的弦，C是圆O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交圆O于点D，且CP=CB．
（1）判断直线BC与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A=30∘，OP=1，求图中阴影部分的面积．
21．（2020·江苏扬州·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，点E在直径CD的延长线上，且AE=AC．
（1）试判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，求阴影部分的面积．
22．（2020·江苏南京·统考中考真题）如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF//BC，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）AF=EF
23．（2020·江苏泰州·统考中考真题）如图，在⊙O中，点P为AB的中点，弦AD、PC互相垂直，垂足为M，BC分别与AD、PD相交于点E、N，连接BD、MN．
（1）求证：N为BE的中点．
（2）若⊙O的半径为8，AB的度数为90°，求线段MN的长．
24．（2020·江苏无锡·统考中考真题）如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于点A、B，DC是⊙O的切线，点C是切点，已知∠D=30°，DC=3．
（1）求证：ΔBOC∼ΔBCD；
（2）求ΔBCD的周长．
25．（2020·江苏苏州·统考中考真题）如图，已知∠MON=90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA=8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上作匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连接PC、QC．设运动时间为ts，其中0（1）求OP+OQ的值；
（2）是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）求四边形OPCQ的面积．
【专项突破】深挖考点考向，揭示内涵实质
1．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点D，点C均在⊙O上，连接DC交AB于点E，∠A=45°，tan∠ODE=34．
(1)若OA=4，求CE的长；
(2)若记△ODE的面积为S1，△ACE的面积为S2，求S1S2的值．
2．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．
(1)求证：∠PBA=∠OBC；
(2)若∠PBA=20°，∠ACD=40°，求证：△OAB∽△CDE．
3．（2022·江苏南京·南京大学附属中学校考模拟预测）如图，BC为⊙O的直径，点D在⊙O上，连接BD、CD，过点D的切线AE与CB的延长线交于点A，∠BCD=∠AEO，OE与CD交于点F．
(1)求证：OF∥BD；
(2)当⊙O的半径为10，sin∠ADB=25时，求EF的长．
4．（2022·江苏盐城·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预测）如图，以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，点D、E在⊙O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长交AC于点C，AE与BC交于点F．
(1)求证：∠DAC=∠DEA；
(2)若点E是弧BD的中点，⊙O的半径为3，BF=2，求AC的长．
5．（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD和CD的长．
6．（2022·江苏苏州·校考模拟预测）如图在△ABO中，以O为圆心，以OA为半径作⊙O，交OB于D，连接AD，∠O=2∠BAD．
(1)求证：AB与⊙O相切．
(2)取OA上一点E，连接DE，若∠ADE=45°，求证：AB=BD+AE．
(3)在（2）的条件下，若E是OA的中点，BD=2，延长DE交⊙O于F，求DF的长．
7．（2022·江苏泰州·校考三模）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，点E是AB的中点，且AB=10，BC=6．
(1)PC与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
(2)求CE的长．
8．（2022·江苏盐城·校考一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AC为直径的⊙O切AB于点A，与BC交于点E．
(1)求证：直线CD是⊙O的切线；
(2)若BE=9cm，弦CE的长为16cm，求⊙O的半径长．
9．（2022·江苏苏州·校考一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，以AB为直径的⊙O与CD边相切于点E，BC与⊙O相交于点F，连接AE,AF．
(1)求证：∠BAE=45°；
(2)若∠BAF+∠ADC=90°，求证：四边形ABCD是平行四边形；
(3)若AF平分∠BAE，且ΔACF的面积为8，求BF的长．
10．（2022·江苏宿迁·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AC，AB分别相交于点E，F，连接AD与EF相交于点G．
(1)求证：AD平分∠CAB；
(2)若OH⊥AD于点H，FH平分∠AFE，DG=3．
①求tan∠DFH的值；
②求OH的长度．
11．（2022·江苏镇江·统考一模）已知：如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的一点，AE⊥CD，交CD的延长线于点E，交半圆O于点F，且D为弧BF的中点．
(1)求证：CE是半圆O的切线；
(2)若BC=12，CD=122，求AE的长．
12．（2022·江苏无锡·统考一模）如图，已知点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O外，∠BCD=∠BAC，BE∥CD交⊙O于E点．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，∠BAC=30°，求线段BE的长．
13．（2022·江苏扬州·校考三模）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以OA为半径作圆与AB相交于点F，点E是⊙O与线段BC的公共点，连接OE、OF、EF，并且∠EOF=2∠BEF．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)求图中阴影部分的面积．
14．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是BC的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若OF=4，求AC的长度．
15．（2022·江苏淮安·淮阴中学新城校区校联考二模）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若BC=3，CD=33，求ED的长．
16．（2020·江苏盐城·统考三模）如图，已知 AB、AC 分别为⊙O 的直径和弦，D 为弧 BC 的中点，DE⊥AC 于 E，DE=6，AC=16．
(1)求证：DE 是⊙O 的切线；
(2)求直径AB的长．
17．（2022·江苏淮安·统考模拟预测）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为直径．
(1)若⊙O的半径为2cm，且AB＝2BC，求阴影部分的面积；
(2)若∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，点E为CA延长线上的一点，且∠ADE＝∠BCD，判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
18．（2015·江苏扬州·统考一模）如图，CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B．
(1)连接AC，若∠APO=30°，试证明△ACP是等腰三角形；
(2)填空：
①当DP= cm时，四边形AOBD是菱形；
②当DP= cm时，四边形AOBP是正方形．
19．（2021·江苏淮安·统考一模）如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝10．C是直线l上一点，连接CP并延长交⊙O于另一点B，且AB=AC．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为6，求线段BP的长．
20．（2021·江苏南通·统考一模）
(1)如图1，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝EC．求证：∠A＝∠D．
(2)如图2，按以下步骤画图：
①以线段AB的中点O为圆心，以AO的长为半径画半圆；
②分别以点A，点B为圆心，以AO的长为半径画弧，分别交半圆于点C，点D；
③连接OC，OD，CD．若AB＝4，求△COD的面积．
21．（2021·江苏扬州·校考一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD交AC于点E，延长AD，BC交于点F，且CF=AC．
(1)求证∶CD=AD；
(2)若AD=3，AB=22，求FD的长．
22．（2022·江苏泰州·统考二模）如图，已知AD是⊙O的直径，B、C为圆上的点，OE⊥AB、BC⊥AD，垂足分别为E、F．
(1)求证：2OE=CD；
(2)若∠BAD+∠EOF=150°，AD=4，求阴影部分的面积．
23．（2022·江苏南京·统考二模）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AF交⊙O于点G，过G作DE//BC分别交AB，AC的延长线于点D，E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)已知AG=8，BFDG=34，点I为△ABC的内心，求GI的长．
24．（2022·江苏苏州·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．
(1)求证：MN是⊙O的切线；
(2)若⊙O的直径为5，sinB=35，求ED的长．
25．（2022·江苏镇江·统考模拟预测）如图，AB为半⊙O的直径，P点从B点开始沿着半圆逆时针运动到A点，在运动中，作∠CAP＝∠PAB，且PC⊥AC，已知AB＝10．
(1)当P点不与A，B点重合时，求证：CP为⊙O切线；
(2)当PB＝6时，AC与⊙O交于D点，求AD的长：
(3)P点在运动过程中，当PA与AC的差最大时，直接写出此时PB的弧长．
26．（2022·江苏南通·统考二模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=75°，∠ABC=45°，连接AO，并延长交⊙O于点D，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点E．
(1)求证：AD∥EC；
(2)若AD=4，求线段AE的长．
27．（2022·江苏南京·统考二模）如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆．D为BC的延长线上一点，AD交⊙O于点E，连接BE．
(1)求证：∠D=∠ABE；
(2)若AB=5，BC=6，
①求⊙O的半径r；
②DEDC的最大值为______．
28．（2022·江苏镇江·统考二模）如图，△ABC内接于⊙O．
(1)在BAC上作点D（不与B重合），连接CD，使得∠ACD=∠ACB（尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)延长CB到点E，使得BE=CD，连接AD、AE．
①求证：AE=AC；
②若CD=8，BC=12，∠ACB=30°，求tan∠ABC的值．
29．（2022·江苏南京·统考二模）如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝CF，连接AE．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)连接AC交⊙O于点P，若AP=3，BF＝1，求⊙O的半径．
30．（2021·江苏宿迁·一模）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与AB边相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若AB＝10，tanB=43，求⊙O的半径；
(3)若F是AB的中点，试探究BD＋CE与AF的数量关系并说明理由．
2023年中考数学大题高分秘籍（江苏专用）
专题10圆的有关计算与证明（江苏真题25道模拟30道）
【方法揭秘】揭示思想方法，提升解题效率
一. 圆中容易混淆的“两组基本概念”
1．弦与直径：（1）弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的弦.
（2）直径是弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
2．弧与半圆：
（1）圆上任意两点分圆成两段弧，圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条孤，每一条弧叫作半圆.
（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆.
二、垂径定理应用中常作的辅助线：
（1）若已知圆心和弦，则连接圆心和弦的一个端点，即“连半径”，并作垂直于弦的直径，构造直角三角形；
（2）若已知圆心和弦（弧）的中点，则连接圆心和弦（弧）的中点，并延长使其与圆相交，得圆的直径，再“连半径”，构造直角三角形.
三、计算圆心角和圆周角时的注意事项：
1.在进行有关圆心角与圆周角的计算时，应适当添加辅助线，以方便角度之间的转化.一条弧所对的圆心角只有一个，而所对的圆周角有无数个，它们都相等；
2.一条弦所对的圆心角只有一个，但它所对的圆周角却有无数个，在同一条弦的同侧的圆周角相等，在同一条弦的异侧的两个圆周角互补.
三、利用点和圆的位置关系求半径的取值范围
（1）若点在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径；若点在圆上，则点到圆心的距离等于圆的半径；若点在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径.（2）解这类题时，常运用转化思想，将点与圆的位置关系转化成点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系，从而列出方程或不等式来解答.
四、切线的判定方法：
切线的判定方法一——连半径，证垂直，某直线是圆的切线时，如果已知直线与圆有公共点，那么可作出经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“有交点，连半径，证垂直”.
切线的判定方法二——作垂直，证半径
证明某直线是圆的切线时，如果未明确说明直线和圆有公共点，那么常过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”.
五、有关三角形内心的常用辅助线作法
解答该类问题时一般有两种作辅助线的方法：一是连接内心与三角形的顶点，即构建出三角形的角平分线；二是连接内心与切点得到线段垂直的位置关系，再连接内心与三角形的顶点进而运用直角三角形的相关知识来解答.
六、正多边形的相关计算技巧：
（1）正n边形的半径、边心距、边的一半构成一个直角三角形.有关正n边形的计算问题都转化为直角三角形的问题，常作半径、边心距构造直角三角形；
（2）正六边形的边长等于它的半径，正三角形的边长等于它的半径的3倍，正方形的边长等于它的半径的2 倍.
【真题再现】直面中考真题，实战培优提升
1．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC=60°，直线AD∥BC，AB=AD，点O在BD上．
(1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)直线AD与圆O相切，理由见解析
(2)12π−93
【分析】（1）连接OA，根据AD∥BC和AB=AD，可得∠DBC=∠ABD=∠D=30°，从而得到∠BAD=120°，再由OA=OB，可得∠BAO=∠ABD=30°，从而得到∠OAD=90°，即可求解；
（2）连接OC，作OH⊥BC于H，根据垂径定理可得OH=12OB=3，进而得到BC=2BH=63，再根据阴影部分的面积为S扇形BOC−S△BOC，即可求解．
【详解】（1）解：直线AD与圆O相切，理由如下：
如图，连接OA，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠DBC，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
∵∠ABC=60°，
∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，
∴∠BAD=120°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABD=30°，
∴∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与园O相切，
（2）解：如图，连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB=OC=6，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠BOC=120°，
∴OH=12OB=3，
∴BH=BO2−OH2=33，
∴BC=2BH=63，
∴扇形BOC的面积为120×62×π360=12π，
∵SΔOBC=12BC⋅OH=12×63×3=93，
∴阴影部分的面积为S扇形BOC−S△BOC=12π−93．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，求扇形面积，垂径定理，熟练掌握切线的判定定理，并根据题意得到阴影部分的面积为S扇形BOC−S△BOC是解题的关键．
2．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=60°，AD经过圆心O交⊙O于点E，连接BD，∠ADB=30°．
(1)判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AB=43，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)直线BD与⊙O相切，理由见解析
(2)图中阴影部分的面积83−8π3
【分析】（1）连接BE，根据圆周角定理得到∠AEB=∠C=60°，连接OB，根据等边三角形的性质得到∠BOD=60°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ABE=90°，解直角三角形得到OB，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：直线BD与⊙O相切，
理由：如图，连接BE，
∵∠ACB=60°，
∴∠AEB=∠C=60°，
连接OB，
∵OB=OC，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∵∠ADB=30°，
∴∠OBD=180°−60°−30°=90°，
∴OB⊥BD，
∵OB是⊙O的半径，
∴直线BD与⊙O相切；
（2）解：如（1）中图，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∵AB=43，
∴sin∠AEB=sin60°=ABAE=43AE=32，
∴AE=8，
∴OB=4，
∵OB⊥BD，∠ADB=30°
∴tan∠ADB=tan30°=OBBD=33，
∴BD=433，
∴图中阴影部分的面积=S△OBD−S扇形BOE=12×4×43−60π×42360=83−8π3．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形 的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
3．（2022·江苏南通·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，AC平分∠BAD,CD=22，点E在BC的延长线上，连接DE．
(1)求直径BD的长；
(2)若BE=52，计算图中阴影部分的面积．
【答案】(1)4
(2)6
【分析】（1）设OC辅助线，利用直径、角平分线的性质得出∠DAC的度数，利用圆周角与圆心角的关系得出∠COD的度数，根据半径与直径的关系，结合勾股定理即可得出结论．
（2）由（1）已知∠COD=90°，OC=OD得出∠BDC的度数，根据圆周角的性质结合∠DAC= ∠BDC得出S1=S2，再根据直径、等腰直角三角形的性质得出BC的值，进而利用直角三角形面积公式求出S△ECD，由阴影部分面积=S1+S3=S2+S3可知S△ECD即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，连接OC，
∵ BD为⊙O的直径，AC平分∠BAD，
∴∠BAD=90°，∠BAC=∠DAC=12∠BAD=12×90°=45°，OB=OD．
∴∠COD=90°．
∵CD=22，OC=OD，
∴2OD2=CD2，即2OD2=8．
∴OD=2．
∴BD=OD+OB=2+2=4．
（2）解：如图所示，设其中小阴影面积为S1，大阴影面积为S3，弦CD与劣弧CD所形成的面积为S2，
∵由（1）已知∠COD=90°，∠DAC=45°，OC=OD，BD=4，
∴∠BDC=12(180°−∠COD)=12×90°=45°．
∵∠DAC=∠BDC，
∴弦BC=弦CD，劣弧BC=劣弧CD．
∴S1=S2．
∵BD为⊙O的直径，CD=22，
∴∠BCD=∠ECD=90°，BC=CD=22．
∵BE=52，
∴CE=BE−BC=52−22=32．
∴S△ECD=12CE⋅CD=12×22×32=6．
∴S阴影部分=S1+S3=S2+S3=S△ECD=6．
【点睛】本题考查圆的性质的理解与综合应用能力．涉及对半径与直径的关系，直径的性质，圆周角与圆心角的关系，圆周角的性质，勾股定理，直角三角形，角平分线等知识点．半径等于直径的一半；直径所对的圆周角是直角；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角等于圆心角的一半；在同圆或等圆中，圆周角相等=弧相等=弦相等．一个直角三角中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方．恰当借助辅助线，灵活运用圆周角的性质建立等式关系是解本题的关键．
4．（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．
(1)求证△CED∽△BAD；
(2)当DC=2AD时，求CE的长．
【答案】(1)见解析
(2)CE=1277
【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等可得∠A=∠E，再由对顶角相等得∠BDA=∠CDE，故可证明绪论；
（2）根据DC=2AD可得AD=2,CD=4，由△CED∽△BAD可得出BD·DE=8,连接AE，可证明△ABD∽△EBA，得出AB2=BD·BE=BD2+BD·BE, 代入相关数据可求出BD=27，从而可求出绪论．
【详解】（1）∵BC所对的圆周角是∠A,∠E，
∴∠A=∠E，
又∠BDA=∠CDE，
∴△CED∽△BAD；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=6
∵DC=2AD，
∴AC=3AD,
∴AD=2,DC=4,
∵ΔCED~ΔBAD,
∴ADDE=BDCD=ABCE，
∴2DE=BD4,
∴BD⋅DE=8;
连接AE,如图，
∵AB=BC,
∴AB=BC
∴∠BAC=∠BEA,
又∠ABD=∠EBA，
∴△ABD~ΔEBA,
∴ABBE=PDAB，
∴AB2=BD⋅BF=BD⋅(BD+DE) =BD2+BD⋅DE,
∴62=BD2+8，
∴BD=27（负值舍去）
∴6CF=274，
解得，CE=1277
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形和判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
5．（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AB的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF=EF．
(1)求证：CF为⊙O的切线；
(2)连接BD，取BD的中点G，连接AG．若CF=4，BF=2，求AG的长．
【答案】(1)见解析
(2)AG=3210
【分析】（1）方法一：如图1，连接OC，OD．由∠OCD=∠ODC，FC=FE，可得∠OED=∠FCE，由AB是⊙O的直径，D是AB的中点，∠DOE=90°，进而可得∠OCF=90°，即可证明CF为⊙O的切线；
方法二：如图2，连接OC，BC．设∠CAB=x°．同方法一证明∠OCF=90°，即可证明CF为⊙O的切线；
（2）方法一：如图3，过G作GH⊥AB，垂足为H．设⊙O的半径为r，则OF=r+2．在Rt△OCF中，勾股定理求得r=3，证明GH∥DO，得出△BHG∽BOD，根据BHBO=BGBD，求得BH,GH，进而求得AH，根据勾股定理即可求得AG；
方法二：如图4，连接AD．由方法一，得r=3．AB=6，D是AB的中点，可得AD=BD=32，根据勾股定理即可求得AG．
【详解】（1）（1）方法一：如图1，连接OC，OD．
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC．
∵FC=FE，
∴∠FCE=∠FEC．
∵∠OED=∠FEC，
∴∠OED=∠FCE．
∵AB是⊙O的直径，D是AB的中点，
∴∠DOE=90°．
∴∠OED+∠ODC=90°．
∴∠FCE+∠OCD=90°，即∠OCF=90°．
∴OC⊥CF．
∴CF为⊙O的切线．
方法二：如图2，连接OC，BC．设∠CAB=x°．
∵AB是⊙O的直径，D是AB的中点，
∴∠ACD=∠DCB=45°．
∴∠CEF=∠CAB+∠ACD=45+x°．
∵FC=FE，
∴∠FCE=∠FEC=45+x°．
∴∠BCF=x°．
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠OAC=x°．
∴∠BCF=∠ACO．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠OCB+∠ACO=90°．
∴∠OCB+∠BCF=90°，即∠OCF=90°．
∴OC⊥CF．
∴CF为⊙O的切线．
（2）解：方法一：如图3，过G作GH⊥AB，垂足为H．
设⊙O的半径为r，则OF=r+2．
在Rt△OCF中，42+r2=r+22，
解之得r=3．
∵GH⊥AB，
∴∠GHB=90°．
∵∠DOE=90°，
∴∠GHB=∠DOE．
∴GH∥DO．
∴△BHG∽BOD
∴BHBO=BGBD．
∵G为BD中点，
∴BG=12BD．
∴BH=12BO=32，GH=12OD=32．
∴AH=AB−BH=6−32=92．
∴AG=GH2+AH2=322+922=3210．
方法二：如图4，连接AD．由方法一，得r=3．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵AB=6，D是AB的中点，
∴AD=BD=32．
∵G为BD中点，
∴DG=12BD=322．
∴AG=AD2+DG2=322+3222=3210．
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
6．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在△ ABC中，∠ABC =45°，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D．
(1)判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AB=4，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)6−π
【分析】（1）利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理证明AB⊥AC, 从而可得结论；
（2）如图，连接OD，先证明∠AOD=2∠ABC=90°, ∠BOD=90°, 再利用阴影部分的面积等于三角形ABC的面积减去三角形BOD的面积，减去扇形AOD的面积即可．
【详解】（1）证明：∵ ∠ABC =45°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°,
∴∠BAC=90°, 即BA⊥AC,
∵A在⊙O上，
∴AC为⊙O的切线．
（2）如图，连接OD，
∵∠ABC=45° ，
∴∠AOD=2∠ABC=90°, ∠BOD=90°,
∵AB=4，
∴OA=2，
∴S△ABC=12AB·AC=12×4×4=8，S△BOD=12×2×2=2，
S扇形AOD=90π×22360=π，
∴S阴影=8−2−π=6−π．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，切线的判定，扇形面积的计算，掌握“切线的判定方法与割补法求解不规则图形面积的方法”是解本题的关键．
7．（2022·江苏扬州·统考中考真题）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点P，交过点B的直线于点C，且CB=CP．
(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若sinA=55,OA=8，求CB的长．
【答案】(1)相切，证明见详解
(2)6
【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得出∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，从而求出∠AOC=∠OBC=90°，再根据切线的判定得出结论；
（2）分别作OM⊥AB交AB于点M，CN⊥AB交AB于N，根据sinA=55,OA=8求出OP，AP的长，利用垂径定理求出AB的长，进而求出BP的长，然后在等腰三角形CPB中求解CB即可．
【详解】（1）证明：连接OB，如图所示：
∵CP=CB，OA=OB，
∴ ∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，
∵∠APO=∠CPB，
∴∠APO=∠CBP，
∵OC⊥OA，即∠AOP=90°，
∴∠A+∠APO=90°=∠OBA+∠CBP=∠OBC，
∴OB⊥BC，
∵OB为半径，经过点O，
∴直线BC与⊙O的位置关系是相切．
（2）分别作OM⊥AB交AB于点M，CN⊥AB交AB于N，如图所示：
∴AM=BM，
∵CP=CB，AO⊥CO，
∴∠A+∠APO=∠PCN+∠CPN，PN=BN，∠PCN=∠BCN
∴∠A=∠PCN=∠BCN
∵sinA=55，OA=8，
∴sinA=OMOA=OPAP=55，
∴OM=855，AM=1655，OP=4，AP=45，
∴AB=2AM=3255，
∴PN=BN=12PB=12(AB−AP)=12×(3255−45)=655
∴sinA=sin∠BCN=BNCB=55，
∴CB=5BN=5×655=6．
【点睛】本题考查了切线的证明，垂径定理的性质，等腰三角形，勾股定理，三角函数等知识点，熟练掌握相关知识并灵活应用是解决此题的关键，抓住直角三角形边的关系求解线段长度是解题的主线思路．
8．（2021·江苏淮安·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD＝3，DE＝52，求⊙O的直径．
【答案】（1）相切，理由见解析；（2）154
【分析】（1）连接DO，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由∠BDC＝90°，E为BC的中点得到DE＝CE＝BE，则利用等腰三角形的性质得∠EDC＝∠ECD，∠ODC＝∠OCD，由于∠OCD＋∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠EDC＋∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，于是根据切线的判定定理即可得到DE与⊙O相切；
（2）根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解:（1）证明：连接DO，如图，
∵∠BDC＝90°，E为BC的中点，
∴DE＝CE＝BE，
∴∠EDC＝∠ECD，
又∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
而∠OCD＋∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠EDC＋∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，
∴DE⊥OD，
∴DE与⊙O相切；
（2）由（1）得，∠CDB＝90°，
∵CE＝EB，
∴DE＝12BC，
∴BC＝5，
∴BD＝BC2−CD2＝52−32＝4，
∵∠BCA＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，
∴△BCA∽△BDC，
∴ACCD＝BCBD，
∴AC3＝54，
∴AC＝154，
∴⊙O直径的长为154．
【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和相似三角形的判定与性质．
9．（2021·江苏南通·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD=35°，连接BC．
（1）求∠B的度数；
（2）若AB=2，求EC的长．
【答案】（1）55°；（2）7π18．
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得到OC⊥CD，则判断OC∥AE，所以∠DAC=∠OCA，然后利用∠OCA=∠OAC得到∠OAB的度数，即可求解；
（2）利用（1）的结论先求得∠AEO=∠EAO=70°，再平行线的性质求得∠COE=70°，然后利用弧长公式求解即可．
【详解】解：（1）连接OC，如图，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AE⊥CD，
∴OC∥AE，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，∠CAD=35°，
∴∠OAC=∠OCA=∠CAD=35°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=90°-∠OAC=55°；
（2）连接OE，OC，如图，
由（1）得∠EAO=∠OAC+∠CAD=70°，
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠EAO=70°，
∵OC∥AE，
∴∠COE=∠AEO=70°，
∴AB=2，则OC=OE=1，
∴EC的长为nπr180=70π180=7π18．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
10．（2021·江苏镇江·统考中考真题）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，⊙O经过A，B，P三点．
（1）若BP＝3，判断边CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，E是CD的中点，⊙O交射线AE于点Q，当AP平分∠EAB时，求tan∠EAP的值．
【答案】（1）相切，见解析；（2）5−12
【分析】（1）如图1中，连接AP，过点O作OH⊥AB于H，交CD于E．求出OE的长，与半径半径，可得结论．
（2）如图2中，延长AE交BC的延长线于T，连接PQ．利用面积法求出BP，可得结论．
【详解】解：（1）如图1﹣1中，连接AP，过点O作OH⊥AB于H，交CD于E．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，∠ABP＝90°，
∴AP＝AB2+BP2＝42+32＝5，
∵OH⊥AB，
∴AH＝HB，
∵OA＝OP，AH＝HB，
∴OH＝12PB＝32，
∵∠D＝∠DAH＝∠AHE＝90°，
∴四边形AHED是矩形，
∴OE⊥CE，EH＝AD＝4，
∴OE＝EH＝OH＝4﹣32＝52，
∴OE＝OP，
∴直线CD与⊙O相切．
（2）如图2中，延长AE交BC的延长线于T，连接PQ．
∵∠D＝∠ECT＝90°，DE＝EC，∠AED＝∠TEC，
∴△ADE≌△TCE（ASA），
∴AD＝CT＝4，
∴BT＝BC+CT＝4+4＝8，
∵∠ABT＝90°，
∴AT＝AB2+BT2＝42+82＝45，
∵AP是直径，
∴∠AQP＝90°，
∵PA平分∠EAB，PQ⊥AQ，PB⊥AB，
∴PB＝PQ，
设PB＝PQ＝x，
∵S△ABT＝S△ABP+S△APT，
∴12×4×8＝12×45×x+12×4×x，
∴x＝25﹣2，
∴tan∠EAP＝tan∠PAB＝PBAB＝5−12．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正方形的性质，解直角三角形、相似三角形判定和性质等知识，解题的关键是掌握切线的证明方法：已知垂直证半径，已知半径证垂直，利用三角形面积不同的表示方法构建方程解决问题是难点．
11．（2021·江苏盐城·统考中考真题）如图，O为线段PB上一点，以O为圆心OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2=PA⋅PB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AB=3PA，求ACBC的值．
【答案】（1）见解析；（2）12
【分析】(1) 连接OC，把PC2=PA⋅PB转化为比例式，利用三角形相似证明∠PCO=90°即可；
(2)利用勾股定理和相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：连接OC
∵PC2=PA⋅PB
∴PCPA=PBPC，
又∵∠P=∠P，
∴△PAC∽△PCB
∴∠PAC=∠PCB，∠PCA=∠PBC
∵∠PCO=∠PCB−∠OCB
∴∠PCO=∠PAC−∠OCB
又∵OC=OB
∴∠OCB=∠OBC
∴∠PCO=∠PAC−∠ABC=∠ACB
已知C是⊙O上的点，AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠PCO=90°
∴AC⊥PO，
∴PC是圆的切线；
（2）设AP=a，则AB=3a，r=1.5a
∴OC=1.5a
在Rt△PCO中
∵OP=2.5a，OC=1.5a，
∴PC=2a
已知△PAC∽△PCB，
ACBC=PAPC
∴ACBC=12．
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定方法，灵活运用三角形相似的判定证明相似，运用勾股定理计算是解题的关键．
12．（2021·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，以点O为圆心，OA为半径的圆交AB于点C，点D在边OB上，且CD= BD．
（1）判断直线CD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）已知tan∠DOC=247，AB=40，求⊙O的半径．
【答案】（1）直线CD与圆O相切，理由见解析；（2）42.
【分析】（1）连接OC, 证明∠DCB+∠OCA=90°,可得∠OCD=90°, 从而可得答案；
（2）由OC⊥CD,tan∠DOC=CDOC=247, 设CD=24x, 则OC=7x, 再求解OD=25x,OA=7x, 再表示OB=OD+BD=49x, 再利用AO2+BO2=AB2, 列方程解方程，可得答案．
【详解】解：（1）直线CD与圆O相切，理由如下：
如图，连接OC,
∵∠AOB=90°,OA=OC,
∴∠B+∠OAC=90°,∠OAC=∠OCA,
∵CD=BD,
∴∠B=∠DCB,
∴∠DCB+∠OCA=90°,
∴∠OCD=180°−90°=90°,
∴OC⊥CD,
∵OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）∵OC⊥CD,tan∠DOC=CDOC=247,
设CD=24x, 则OC=7x,
∴OD=OC2+CD2=25x,OA=OC=7x,
∵CD=BD,
∴BD=24x,
∴OB=OD+BD=49x,
∵AB=40,∠AOB=90°,
∴AO2+BO2=AB2,
∴(7x)2+(49x)2=402,
∴x2=3249,
∴x1=427,x2=−427 （负根舍去）
∴⊙O的半径为：OC=7x=7×427=42.
【点睛】本题考查的是切线的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，熟练应用基础知识，把知识串联起来是解题的关键．
13．（2021·江苏苏州·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1=∠2，延长BC到点E，使得CE=AB，连接ED．
（1）求证：BD=ED；
（2）若AB=4，BC=6，∠ABC=60°，求tan∠DCB的值．
【答案】（1）见解析；（2）533
【分析】（1）由圆内接四边形的性质可知∠A+∠BCD=180°，再由∠DCE+∠BCD=180°，即可得出∠A=∠DCE．根据圆周角定理结合题意可知AD=CD，即得出AD=CD．由此易证△ABD≌△CED(SAS)，即得出BD=ED．
（2）过点D作DM⊥BE，垂足为M．根据题意可求出BE=10，结合（1）可知BM=EM=12BE=5，即可求出CM=1．根据题意又可求出∠2=30°，利用三角函数即可求出DM=533，最后再利用三角函数即可求出最后结果．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°．
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠A=∠DCE．
∵∠1=∠2，
∴AD=CD，
∴AD=CD．
在△ABD和△CED中，AB=CE∠A=∠DCEAD=CD
∴△ABD≌△CED(SAS)，
∴BD=ED．
（2）解：如图，过点D作DM⊥BE，垂足为M．
∵BC=6，AB=CE=4，
∴BE=BC+CE=10．
由（1）知BD=ED．
∴BM=EM=12BE=5．
∴CM=BC−BM=1．
∵∠ABC=60°，∠1=∠2，
∴∠2=30°．
∴DM=BM⋅tan30°=5×33=533．
∴tan∠DCB=DMCM=533．
【点睛】本题为圆的综合题．考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形．利用数形结合的思想并正确作出辅助线是解答本题的关键．
14．（2021·江苏扬州·统考中考真题）如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，CB=CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．
（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=23，∠BCD=60°，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）相切，理由见解析；（2）23−π
【分析】（1）过点B作BF⊥CD，证明△ABD≌△FBD，得到BF=BA，即可证明CD与圆B相切；
（2）先证明△BCD是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD=30°，求出AD，再利用S△ABD-S扇形ABE求出阴影部分面积．
【详解】解：（1）过点B作BF⊥CD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∴∠ADB=∠CDB，又BD=BD，∠BAD=∠BFD=90°，
∴△ABD≌△FBD（AAS），
∴BF=BA，则点F在圆B上，
∴CD与圆B相切；
（2）∵∠BCD=60°，CB=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD=60°
∵BF⊥CD，
∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，
∴∠ABF=60°，
∵AB=BF=23，
∴AD=DF=AB⋅tan30°=2，
∴阴影部分的面积=S△ABD-S扇形ABE
=12×23×2−30×π×232360
=23−π．
【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线．
15．（2021·江苏连云港·统考中考真题）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以点C为圆心，CB为半径作⊙C，D为⊙C上一点，连接AD、CD，AB=AD，AC平分∠BAD．
（1）求证：AD是⊙C的切线；
（2）延长AD、BC相交于点E，若S△EDC=2S△ABC，求tan∠BAC的值．
【答案】（1）见解析；（2）22
【分析】（1）利用SAS证明ΔBAC≌ΔDAC，可得∠ADC=∠ABC=90°，即可得证；
（2）由已知条件可得ΔEDC∽ΔEBA，可得出DC:BA=1:2，进而得出CB:BA=1:2即可求得tan∠BAC；
【详解】（1）∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC．
∵AB=AD，AC=AC，
∴ΔBAC≌ΔDAC．
∴∠ADC=∠ABC=90°．
∴CD⊥AD，
∴AD是⊙C的切线．
（2）由（1）可知，∠EDC=∠ABC=90°，
又∠E=∠E，
∴ΔEDC∽ΔEBA．
∵SΔEDC=2SΔABC，且ΔBAC≌ΔDAC，
∴SΔEDC:SΔEBA=1:2，
∴DC:BA=1:2．
∵DC=CB，
∴CB:BA=1:2．
∵∠ABC=90°
∴tan∠BAC=CBBA=22
【点睛】此题考查了切线的判定与性质，正切的性质，以及相似三角形的性质判定，熟练掌握基础知识是解本题的关键．
16．（2020·江苏镇江·统考中考真题）如图，▱ABCD中，∠ABC的平分线BO交边AD于点O，OD＝4，以点O为圆心，OD长为半径作⊙O，分别交边DA、DC于点M、N．点E在边BC上，OE交⊙O于点G，G为MN的中点．
（1）求证：四边形ABEO为菱形；
（2）已知cs∠ABC＝13，连接AE，当AE与⊙O相切时，求AB的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）26．
【分析】（1）先由G为MN的中点及同弧所对的圆周角和圆心角的关系得出∠MOG＝∠MDN，再由平行四边形的性质得出AO∥BE，∠MDN+∠A＝180°，进而判定四边形ABEO是平行四边形，然后证明AB＝AO，则可得结论；
（2）过点O作OP⊥BA，交BA的延长线于点P，过点O作OQ⊥BC于点Q，设AB＝AO＝OE＝x，则由cs∠ABC＝13，可用含x的式子分别表示出PA、OP及OQ，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值即可．
【详解】解：（1）证明：∵G为MN的中点，
∴∠MOG＝∠MDN．
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AO∥BE，∠MDN+∠A＝180°，
∴∠MOG+∠A＝180°，
∴AB∥OE，
∴四边形ABEO是平行四边形．
∵BO平分∠ABE，
∴∠ABO＝∠OBE，
又∵∠OBE＝∠AOB，
∴∠ABO＝∠AOB，
∴AB＝AO，
∴四边形ABEO为菱形；
（2）如图，过点O作OP⊥BA，交BA的延长线于点P，过点O作OQ⊥BC于点Q，设AE交OB于点F，
则∠PAO＝∠ABC，
设AB＝AO＝OE＝x，则
∵cs∠ABC＝13，
∴cs∠PAO＝13，
∴PAAO＝13，
∴PA＝13x，
∴OP＝OQ＝223x
当AE与⊙O相切时，由菱形的对角线互相垂直，可知F为切点，
∴由勾股定理得：(43x)2+(223x)2=82，
解得：x＝26．
∴AB的长为26．
【点睛】本题主要考查菱形的证明，切线的性质，三角函数以及勾股定理，巧妙的作出辅助线和列出勾股定理的方程是解决本题的关键．
17．（2020·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以BD为直径的⊙O经过点A，且∠CAD=∠ABC．
（1）请判断直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由；
（2）若CD=2，CA=4，求弦AB的长．
【答案】（1）见解析；（2）1255
【分析】（1）如图，连接OA，由圆周角定理可得∠BAD=90°=∠OAB+∠OAD，由等腰三角形的性质可得∠OAB=∠CAD=∠ABC，可得∠OAC=90°，可得结论；
（2）由勾股定理可求OA=OD=3，由面积法可求AE的长，由勾股定理可求AB的长．
【详解】（1）直线AC是⊙O的切线，
理由如下：如图，连接OA，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°=∠OAB+∠OAD，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠ABC，
又∵∠CAD=∠ABC，
∴∠OAB=∠CAD=∠ABC，
∴∠OAD+∠CAD=90°=∠OAC，
∴AC⊥OA，
又∵OA是半径，
∴直线AC是⊙O的切线；
（2）过点A作AE⊥BD于E，
∵OC2=AC2+AO2，
∴(OA+2)2=16+OA2，
∴OA=3，
∴OC=5，BC=8，
∵S△OAC=12OA⋅AC=12OC⋅AE，
∴AE=3×45=125，
∴OE=AO2−AE2=32−1252=95，
∴BE=BO+OE=245，
∴AB=BE2+AE2=2452+1252= 1255．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆的有关知识，勾股定理等知识，求圆的半径是本题的关键．
18．（2020·江苏南通·统考中考真题）（1）如图①，点D在AB上，点E在AC上，AD＝AE，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．
（2）如图②，A为⊙O上一点，按以下步骤作图：
①连接OA；
②以点A为圆心，AO长为半径作弧，交⊙O于点B；
③在射线OB上截取BC＝OA；
④连接AC．
若AC＝3，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径为3．
【分析】（1）根据“AAS“证明△ABE≌△ACD，然后根据全等三角形的性质得到结论；
（2）连接AB，如图②，由作法得OA=OB=AB=BC，先判断△OAB为等边三角形得到∠OAB=∠OBA=60°，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠C=∠BAC=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求OA的长．
【详解】（1）证明：在△ABE和△ACD中
∠B=∠C∠A=∠AAE=AD，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AB＝AC；
（2）解：连接AB，如图②，
由作法得OA＝OB＝AB＝BC，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝60°，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠BAC，
∵∠OBA＝∠C+∠BAC，
∴∠C＝∠BAC＝30°
∴∠OAC＝90°，
在Rt△OAC中，OA＝33AC＝33×3＝3．
即⊙O的半径为3．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定与性质．
19．（2020·江苏盐城·统考中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠DCA=∠B．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE⊥AB，垂足为E,DE交AC于点F；求证：△DCF是等腰三角形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】(1)连接OC，由AB是圆O的直径得到∠BCA=90°，进一步得到∠A+∠B=90°，再根据已知条件∠DCA=∠B，且∠A=∠ACO即可证明∠OCD=90°进而求解；
(2)证明∠A+∠DCA=90°，再由DE⊥AB，得到∠A+∠AFE=90°，进而得到∠DCA=∠AFE=∠DFC，得到DC=DF，进而得到△DFC为等腰三角形．
【详解】解：(1)证明：连接OC，
∵OC=OA,
∴∠OCA=∠A,
∵AB为圆O的直径，
∴∠BCA=90°,
∴∠A+∠B=90∘,
又∵∠DCA=∠B,
∴∠OCA+∠DCA=∠OCD=90∘,
∴OC⊥CD,
又∵点C在圆O上，
∴CD是⊙O的切线．
(2)∵∠OCA+∠DCA=90∘,
∠OCA=∠A,
∴∠A+∠DCA=90°,
∵DE⊥AB,
∴∠A+∠EFA=90°,
∴∠DCA=∠EFA,
又∵∠EFA=∠DFC,
∴∠DCA=∠DFC,
∴△DCF是等腰三角形．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定等，熟练掌握性质或定理是解决此类题的关键．
20．（2020·江苏淮安·统考中考真题）如图，AB是圆O的弦，C是圆O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交圆O于点D，且CP=CB．
（1）判断直线BC与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A=30∘，OP=1，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）直线BC与圆O相切，理由见解析；（2）32−14π
【分析】（1）连接OB，由等腰三角形的性质分别证出∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，再利用直角三角形性质和对顶角可证得∠OBC=90º，即OB⊥BC,可判断直线BC与圆O相切；
（2）易证得△CPD为等边三角形，则有∠OCB=60º,∠BOC=30º,用含30º角的直角三角形求得OA、BC的长，然后用公式求得△OBC的面积和扇形OBD的面积，相加即可解得阴影面积．
【详解】（1）直线BC与圆O相切，理由为：
连接OB，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∵CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP，又∠APO=∠CPB
∴∠CBP=∠APO，
∵OA⊥OC，
∴∠A+∠APO=90º，
∴∠OBA+∠CBP=90º即∠OBC=90º，
∴OB⊥BC，
∴直线BC与圆O相切；
（2）∵OA⊥OC，∠A=30º，OP=1
∴OA=OPtan30∘=3，∠APO=60º即∠CPB=60º，
∵CP=CB，
∴△PCB为等边三角形，
∴∠PCB=60º，
∵∠OBC=90º，
∴∠BOD=30º，
∴BC=OB·tan30º=1，
∴S阴影=S△OBC−S扇形OBD=12×3×1−30π×(3)2360=32−14π，
答:图中阴影部分的面积为32−14π．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、切线的判定定理、等边三角形的判定与性质、扇形的面积等知识，解答的关键是认真审题，结合图形，找到各知识点之间的联系，进而推理、探究、发现和计算．
21．（2020·江苏扬州·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，点E在直径CD的延长线上，且AE=AC．
（1）试判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，求阴影部分的面积．
【答案】（1）AE与⊙O相切，理由见详解；（2）S阴影=63−2π．
【分析】（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，∠EAC=120°，进而得出∠EAO=90°，即可得出答案；
（2）连接AD，利用解直角三角形求出圆的半径，然后根据S阴影=SΔAOE−S扇AOD，即可求出阴影部分的面积．
【详解】（1）AE与⊙O相切，理由如下：
连接AO，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=120°，
∵AO=CO，AE=AC，
∴∠E=∠ACE，∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠EAC=120°，
∴∠EAO=90°，
∴AE是⊙O的切线；
（2）连接AD，则∠ADC=∠B=60°，
∴∠DAC=90°，
∴CD为⊙O的直径，
在Rt△ACD中，AC=6，∠OCA=30°，
∴cs30°=ACCD=32，
∴CD=43，
∴OA=OD=OC=23，∠AOD=60°，
∴S阴影=SΔAOE−S扇AOD=12×6×23−60°×π×(23)2360
∴S阴影=63−2π．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，从而进行解题．
22．（2020·江苏南京·统考中考真题）如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF//BC，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）AF=EF
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明∠BAC=∠B，利用平行线证明∠ADF=∠B，利用圆的性质证明∠BAC=∠CFD，再证明BD//CF,即可得到结论；
（2）如图，连接AE，利用平行线的性质及圆的基本性质∠AEF=∠B，再利用圆内接四边形的性质证明∠EAF=∠B，从而可得结论．
【详解】证明：（1）∵AC=BC，
∴∠BAC=∠B，
∵DF//BC，
∴∠ADF=∠B，
又∠BAC=∠CFD,
∴∠ADF=∠CFD,
∴BD//CF,
四边形DBCF是平行四边形．
（2）如图，连接AE
∵∠ADF=∠B，∠ADF=∠AEF
∴∠AEF=∠B
四边形AECF是⊙O的内接四边形
∴∠ECF+∠EAF=180°
∵BD//CF
∴∠ECF+∠B=180°
∴∠EAF=∠B
∴∠AEF=∠EAF
∴AF=EF
【点睛】本题考查平行四边形的判定，圆的基本性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
23．（2020·江苏泰州·统考中考真题）如图，在⊙O中，点P为AB的中点，弦AD、PC互相垂直，垂足为M，BC分别与AD、PD相交于点E、N，连接BD、MN．
（1）求证：N为BE的中点．
（2）若⊙O的半径为8，AB的度数为90°，求线段MN的长．
【答案】（1）证明见详解；（2）42．
【分析】（1）通过同弧或等弧所对的圆周角相等，结合AD、PC互相垂直，证明△DEN ≅ △DBN，可得结果；
（2）连接AC，OA，OB，AB，证明M为AE中点，得MN为△ABE的中位线，结合AB的度数为90°，半径为8，得到AB的长度，进而得到MN长度．
【详解】（1）∵点P为AB的中点
∴AP=PB
∴∠PCE=∠PDE=∠PDB
∵∠CEM=∠DEN
∴∠PCE+∠CEM=∠DEN+∠PDE
∴∠CME=∠DNE
∵PC⊥AD
∴∠EMC=∠DNE=90°
在△DEN和△DBN中
∠EDN=∠BDNDN=DN∠DNE=∠DNB
∴△DEN ≅ △DBN
∴EN=BN
∴点N为BE中点
（2）连接CA，AB，OA，OB，如图所示：
∵点P为AB的中点
∴AP=PB
∠ECM=∠ACM
在△EMC和△AMC中
∠EMC=∠AMC=90°CM=CM∠ECM=∠ACM
∴△EMC ≅ △AMC
∴EM=AM，即M为AE中点
∵N为BE中点
∴MN为△AEB的中位线
又∵⊙O的半径为8，AB的度数为90°
∴∠AOB=90°，OA=OB=8
∴AB=82
∴MN=12AB=42
【点睛】本题考查了利用圆周角定理的性质结合全等三角形证明中点问题，同时考查了直角三角形的边长的计算，及中位线的作用，熟知以上知识是解题的关键．
24．（2020·江苏无锡·统考中考真题）如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于点A、B，DC是⊙O的切线，点C是切点，已知∠D=30°，DC=3．
（1）求证：ΔBOC∼ΔBCD；
（2）求ΔBCD的周长．
【答案】（1）见解析；（2）△BCD的周长为3+23
【分析】（1）由切线的性质可得∠OCD=90°，由外角的性质可得∠BOC=120°，由等腰三角形的性质∠B=∠OCB=30°，可得∠B=∠D=30°，可得结论；
（2）由直角三角形的性质可得OC=1=OB，DO=2，即可求解．
【详解】证明：（1）∵DC是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠D=30°，
∴∠BOC=∠D+∠OCD=30°+90°=120°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB=30°，
∴∠D=∠OCB，
∴△BOC∽△BCD；
（2）∵∠D=30°，DC=3，∠OCD=90°，
∴DC=3OC=3，DO=2OC，
∴OC=1=OB，DO=2，
∵∠B=∠D=30°，
∴DC=BC=3，
∴△BCD的周长=CD+BC+DB=3+3+2+1=3+23．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
25．（2020·江苏苏州·统考中考真题）如图，已知∠MON=90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA=8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上作匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连接PC、QC．设运动时间为ts，其中0（1）求OP+OQ的值；
（2）是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）求四边形OPCQ的面积．
【答案】（1）8cm；（2）存在，当t=4时，线段OB的长度最大，最大为22cm；（3）16cm2
【分析】（1）根据题意可得OP=8−t，OQ=t，由此可求得OP+OQ的值；
（2）过B作BD⊥OP，垂足为D，则BD//OQ，设线段BD的长为x，可得BD=OD=x，OB=2BD=2x，PD=8−t−x，根据BD//OQ可得△PBD∽△PQO，进而可得PDOP=BDOQ，由此可得x=8t−t28，由此可得OB=2⋅8t−t28=−28(t−4)2+22，则可得到答案；
（3）先证明△PCQ是等腰直角三角形，由此可得S△PCQ=14PQ2，再利用勾股定理可得PQ2=(8−t)2+t2，最后根据四边形OPCQ的面积S=S△POQ+S△PCQ即可求得答案．
【详解】解：（1）由题可得：OP=8−t，OQ=t．
∴OP+OQ=8−t+t=8(cm)．
（2）当t=4时，线段OB的长度最大．
如图，过B作BD⊥OP，垂足为D，则BD//OQ．
∵OT平分∠MON，
∴∠BOD=∠OBD=45°，
∴BD=OD，OB=2BD．
设线段BD的长为x，
则BD=OD=x，OB=2BD=2x，PD=8−t−x．
∵BD//OQ，
∴△PBD∽△PQO，
∴PDOP=BDOQ，
∴8−t−x8−t=xt，
解得：x=8t−t28．
∴OB=2⋅8t−t28=−28(t−4)2+22．
∴当t=4时，线段OB的长度最大，最大为22cm．
（3）∵∠POQ=90°，
∴PQ是圆的直径．
∴∠PCQ=90°．
∵∠PQC=∠POC=45°，
∴△PCQ是等腰直角三角形．
∴S△PCQ=12PC⋅QC
=12×22PQ⋅22PQ
=14PQ2．
在Rt△POQ中，PQ2=OP2+OQ2=(8−t)2+t2．
∴四边形OPCQ的面积S=S△POQ+S△PCQ
=12OP⋅OQ+14PQ2
=12t(8−t)+14(8−t)2+t2
=4t−12t2+12t2+16−4t
=16．
∴四边形OPCQ的面积为16cm2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，直径的判定及性质，二次函数的最值问题等相关知识，熟练掌握相关知识是解决本题的关键．
【专项突破】深挖考点考向，揭示内涵实质
1．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点D，点C均在⊙O上，连接DC交AB于点E，∠A=45°，tan∠ODE=34．
(1)若OA=4，求CE的长；
(2)若记△ODE的面积为S1，△ACE的面积为S2，求S1S2的值．
【答案】(1)5 ；
(2)S1S2=325．
【分析】（1）如图，连接OC，证明∠BOC=2∠A=90°，tanD=tan∠OCD=34，结合OA=OC=4，求解OE=3，再利用勾股定理可得答案；
（2）过O作OF⊥CD于F，由tan∠OCD=34=OECE，设OC=x=OA=OB，可得OE=34x，CE=54x，AE=x+34x=74x，证明OF:CF:OC=3:4:5，可得OF=35x，CF=45x，CD=2CF=85x，DE=85x−54x=720x，再利用三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，连接OC，
∵∠A=45°，
∴∠BOC=2∠A=90°，
∵OD=OC，
∴∠D=∠OCD，
∴tanD=tan∠OCD=34，而OA=OC=4，
∴OEOC=OE4=34，
∴OE=3，
∴CE=OC2+OE2=5．
（2）过O作OF⊥CD于F，
∵tan∠OCD=34=OEOC，设OC=x=OA=OB，
∴OE=34x，CE=54x，
∴AE=x+34x=74x，
在Rt△OCF中，tan∠OCF=34=OFCF，
∴OF:CF:OC=3:4:5，
∴sin∠OCF=35=OFOC，
∴OF=35x，CF=45x，
∵OF⊥CD，
∴CD=2CF=85x，
∴DE=85x−54x=720x，
∴S1S2=12DE·OF12AE·OC=720x·35x74x·x=325．
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线，灵活运用锐角三角函数解题是关键．
2．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．
(1)求证：∠PBA=∠OBC；
(2)若∠PBA=20°，∠ACD=40°，求证：△OAB∽△CDE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据圆周角定理和切线的性质，结合等腰三角形的性质即可证得结论；
（2）由三角形外角的性质求出∠AOB=∠ACB+∠OBC=40°，得到∠AOB=∠ACD，由圆周角的性质得到∠CDE=∠BAO，根据相似三角形的判定即可证得△OAB∽△CDE．
【详解】（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵PB切⊙O于点B，
∴∠PBO=90°，
∴∠PBO−∠ABO=∠ABC−∠ABO，
即∠PBA=∠OBC；
（2）由（1）知，∠PBA=∠OBC=∠ACB，
∵∠PBA=20°，
∴∠OBC=∠ACB=20°，
∴∠AOB=∠ACB+∠OBC=20°+20°=40°，
∵∠ACD=40°，
∴∠AOB=∠ACD，
∵BC=BC，
∴∠CDE=∠CDB=∠BAC=∠BAO，
∴△OAB∽△CDE．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，圆周角定理，切线的性质，根据圆周角定理和切线的性质证得∠ACB+∠BAC=∠PBC+∠ABO=90°是解决问题的关键．
3．（2022·江苏南京·南京大学附属中学校考模拟预测）如图，BC为⊙O的直径，点D在⊙O上，连接BD、CD，过点D的切线AE与CB的延长线交于点A，∠BCD=∠AEO，OE与CD交于点F．
(1)求证：OF∥BD；
(2)当⊙O的半径为10，sin∠ADB=25时，求EF的长．
【答案】(1)见解析；
(2)21．
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理的推论、切线的性质得到∠ADB=∠ODC，再由圆的基本性质、等腰三角形的性质以及等量代换得到∠ADB=∠AEO，然后根据平行线的判定即可得证结论；
（2）由（1）知，∠ADB=∠AEO=∠BCD，在Rt△BCD中依据sin∠C=BDBC=25求得BD，再根据三角形中位线定理求得OF，在Rt△EOD中，sinE=ODOE=25，求得OE，最后依据EF=OE−OF可得解．
【详解】（1）证明：连接OD，如图，
∵AE与⊙O相切，
∴OD⊥AE，
∴∠ADB+∠ODB=90°，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，即∠ODB+∠ODC=90°，
∴∠ADB=∠ODC，
∵OC=OD，
∴∠BCD=∠ODC，
而∠BCD=∠AEO，
∴∠ADB=∠AEO，
∴OF∥BD；
（2）解：由（1）知，∠ADB=∠AEO=∠BCD，
∴sin∠C=sin∠AEO=sin∠ADB=25，
在Rt△BCD中，sin∠C=BDBC=25，
∴BD=25BC=25×20=8，
∵OF∥BD，
∴OF=12BD=4，
在Rt△EOD中，sinE=ODOE=25，
∴OE=52OD=52×10=25，
∴EF=OE−OF=25−4=21．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆的基本性质、圆周角定理的推论、平行线的判定和性质、三角形中位线性质以及解直角三角形等知识；解题的关键是灵活运用知识解决问题、学会添加辅助线、正确寻找相似三角形解决问题．
4．（2022·江苏盐城·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预测）如图，以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，点D、E在⊙O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长交AC于点C，AE与BC交于点F．
(1)求证：∠DAC=∠DEA；
(2)若点E是弧BD的中点，⊙O的半径为3，BF=2，求AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】（1）根据切线的性质可得∠CAD+∠BAD=90°，再由AB为⊙O的直径，可得∠B+∠BAD=90°，从而得到∠CAD=∠B，再由圆周角定理，即可求证；
（2）根据点E是弧BD的中点，可得∠DAE=∠BAE，再由∠CAD=∠B，可得∠CAF=∠CFA，从而得到CA=CF，设CA=CF=x，则BC=x+2，在Rt△ABC中，根据勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：∵⊙O与AC相切，
∴AC⊥AB，即∠BAC=90°，
∴∠CAD+∠BAD=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴∠CAD=∠B，
∵∠AED=∠B，
∴∠DAC=∠DEA；
（2）解：∵点E是弧BD的中点，
∴∠DAE=∠BAE，
∵∠CAD=∠B，∠CAF=∠CAD+∠DAF，∠CFA=∠EAB+∠DBA，
∴∠CAF=∠CFA，
∴CA=CF，
设CA=CF=x，则BC=x+2，
∵⊙O的半径为3，
∴AB=2，
在Rt△ABC中，AB2+AC2=BC2，
∴62+x2=2+x2，
解得：x=8，
即AC=8．
【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理，解题的关键是利用同角的余角相等求得∠CAD=∠B．
5．（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD和CD的长．
【答案】(1)见解析
(2)BD=4cm，CD=23πcm
【分析】（1）连接OA，推出∠OAD=∠ODA=∠EDA，推出OA∥CD，推出OA⊥AE，即可得出答案；
（2）求出∠BDC=∠EDA=∠ADB=60°，求出∠EAD=∠ABD=30°，求出AD，即可求出BD，连接OC，继而求得半径，∠COD=2∠DBC=60°，根据弧长公式求得CD，即可求解．
【详解】（1）连接OA．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵DA平分∠EDB，
∴∠EDA=∠ODA，
∴∠OAD=∠EDA，
∴OA∥CE．
∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE．
∵OA是⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线．
（2）∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=∠BAD=90°．
∵∠DBC=30°，
∴∠CDB=60°，
∴∠EDA=∠ADB=12180°﹣60°=60°．
∵AE⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴∠EAD=30°．
∵DE=1cm，
∴AD=2DE=2cm．
∵∠BAD=90°，∠ADB=60°，
∴∠ABD=30°，
∴BD=2AD=4cm．
连接OC，
∴∠DOC=2∠DBC=60°，OD=12BD=2cm
∴lCD=60⋅π⋅2180=23πcm
【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，弧长公式，三角形的内角和定理，含30度角的直径三角形，勾股定理，等腰三角形等知识点的应用，掌握以上知识是解题的关键．
6．（2022·江苏苏州·校考模拟预测）如图在△ABO中，以O为圆心，以OA为半径作⊙O，交OB于D，连接AD，∠O=2∠BAD．
(1)求证：AB与⊙O相切．
(2)取OA上一点E，连接DE，若∠ADE=45°，求证：AB=BD+AE．
(3)在（2）的条件下，若E是OA的中点，BD=2，延长DE交⊙O于F，求DF的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)3255
【分析】（1）设∠BAD=α，则∠O=2a，则∠OAB=90°−α+α=90°，即可求解；
（2）证明△EOD≅△HOA(AAS)，得到BH=AB=BD+DH，进而求解；
（3）证明△OKE≅△AGE(AAS)，得到DK=2OK，在Rt△OAB中，由勾股定理得：(2x)2+(x+2)2=(2x+2)2，解得x=4，进而求解．
【详解】（1）设∠BAD=α，则∠O=2a，
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA=90°−a,
∴∠OAB=90°−α+a=90°,
∴AB⊥OA,
∵OA为圆O的半径，
∴AB与⊙O相切．
（2）在OD上取点H，使OE=OH，连接AH，
∵OD=OA,∠O=∠O,
∴△EOD≅△HOA(AAS)，
∴∠ODE=∠OAH,
∵∠ODA=∠OAD,
∴∠DAH=∠ADE=45°,
设∠BAD=a,∠B=90°−2α,
∴∠BAH=45°+a,
∴∠AHB=45°+a,
∴∠AHB=∠BAH,
∴BH=AB=BD+DH,
∵OD=OA,OH=OE,
∴DH=AE,
∴AB=BD+AE；
（3）过点O作OK⊥DF于点K，则FD=2DK，设AH交DE于点G，
由（2）知∠DAG=∠ADG=45°,，
∴AG=DG,∠AGD=∠OKD=90°,
∴OK∥GH,则∠KOE=∠EAG,
∵点E是OQ的中点，
∴△OKE≅△AGE(AAS)，
∵OK∥GH，
∴△GHD∼△KOD
∴DHDO=DGDK
∵点H是OD的中点，
∴DH=OH=12DO
∴DG=12DK
则DG=12DK=OK，则DK=2OK，
设OE=AE=x，则OD=2x，AB=x+2,OA=2x，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：(2x)2+(x+2)2=(2x+2)2，
解得x=4，
故AE=4,OA=DO=8,
设OK=m，则DK=2m，则OD=5m=8，解得m=855，
则DF=2DK=3255．
【点睛】本题是圆综合题，主要考查了三角形全等和相似、三角形中位线的判定与性质、勾股定理的运用等．
7．（2022·江苏泰州·校考三模）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，点E是AB的中点，且AB=10，BC=6．
(1)PC与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
(2)求CE的长．
【答案】(1)PC为⊙O的切线，原因见解答过程
(2)72
【分析】（1）连接OC，证明△POC≌△POA，根据全等三角形的性质得到∠OCP=∠OAP，根据切线的性质得到OA⊥AP，根据切线的判定定理证明结论；
（2）连接AE、BE、AC，过点B作BM⊥EC于M，根据圆周角定理得到∠ECB=∠ECA=45°，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案．
【详解】（1）解：PC为⊙O的切线．
理由如下：连接OC，如图所示：
∵BC∥OP，
∴∠POC=∠OCB，∠POA=∠OBC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠POC=∠POA，
在△POC和△POA中，
OC=OA∠POC=∠POAOP=OP，
∴△POC≌△POA(SAS)，
∴∠OCP=∠OAP，
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥AP，
∴OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC为⊙O的切线；
（2）连接AE、BE、AC，过点B作BM⊥EC于M，如图所示：
∴∠BME=∠BMC=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=∠ACB=90°，
∵点E是AB的中点，
∴∠ECB=∠ECA=45°，EA=EB=22AB=52，
∴BM=CM=22BC=32，
由勾股定理得：EM=BE2−BM2=(52)2−(32)2=42，
∴CE=EM+CM=42+32=72．
【点睛】本题考查的是切线的性质、全等三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
8．（2022·江苏盐城·校考一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AC为直径的⊙O切AB于点A，与BC交于点E．
(1)求证：直线CD是⊙O的切线；
(2)若BE=9cm，弦CE的长为16cm，求⊙O的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】（1）根据切线的性质可得∠OAB=90°，然后根据平行四边形的性质可得AB∥CD，从而利用平行线的性质求出∠OCD=90°，即可证明直线CD是⊙O的切线；
（2）连接AE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠AEC=90°，再利用同角的余角相等可得∠B=∠EAC，从而可证△AEC∽△BEA，利用相似三角形的性质求出AE的长，最后在Rt△AEC中，利用勾股定理求出AC的长，从而得出⊙O的半径．
【详解】（1）证明：∵AB与⊙O相切于点A，
∴∠OAB=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠OCD=∠OAB=90°．
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CD是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接AE，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEB=180°−∠AEC=90°，∠EAC+∠ACE=90°．
∵∠OAB=90°，
∴∠ACB+∠B=90°，
∴∠B=∠EAC，
∴△AEC∽△BEA，
∴ AEBE=ECEA，即AE9=16EA，
解得：AE=12（舍去负值），
在Rt△AEC中，EC=16，
∴AC=AE2+EC2=122+162=20，
∴⊙O的半径长为10．
【点睛】本题考查切线的性质与判定，平行四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握上述知识，并利用数形结合的思想是解题关键．在解（2）时，连接常用的辅助线也是关键．
9．（2022·江苏苏州·校考一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，以AB为直径的⊙O与CD边相切于点E，BC与⊙O相交于点F，连接AE,AF．
(1)求证：∠BAE=45°；
(2)若∠BAF+∠ADC=90°，求证：四边形ABCD是平行四边形；
(3)若AF平分∠BAE，且ΔACF的面积为8，求BF的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)BF=4
【分析】（1）连接OE，利用切线的性质定理和平行线的性质可得EO⊥AB，利用同圆的半径相等和等腰直角三角形的性质即可得出结论；
（2）先证明∠B=∠ADC，利用平行线的性质与判定可得AD∥BC，利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得出结论；
（3）过点F作FG⊥AB于点G，过点C作CH⊥AB于点H，连接OF，利用圆周角定理和角平分线的定义可得∠FOB=∠BAE=45°，则ΔOFG为等腰直角三角形，设FG=OG=x，则OF=2xOB=OE=OF=2x
，AB=2OB=22x，利用SΔACF=SΔABC−SΔABF，列出方程求得x2；在RtΔBFG中，利用勾股定理即可求得结论．
【详解】（1）证明：连接OE，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OE⊥CD，
∵AB∥CD，
∴EO⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∵OA=OE，
∴∠BAE=∠OEA=45°；
（2）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF+∠B=90°．
∵∠BAF+∠ADC=90°，
∴∠B=∠ADC．
∵AB∥CD，
∴∠ADC+∠DAB=180°，
∴∠DAB+∠B=180°，
∴AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形；
（3）解：过点F作FG⊥AB于点G，过点C作CH⊥AB于点H，连接OF，如图，
∵AF平分∠BAE，
∴∠FAB=12∠EAB，
∵∠FAB=12∠FOB，
∴∠FOB=∠BAE=45°．
∵FG⊥AB，
∴ΔOFG为等腰直角三角形，
∴FG=OG．
设FG=OG=x，则OF=2x，
∴OB=OE=OF=2x，AB=2OB=22x，
∵AB∥CD,EO⊥AB,CH⊥AB，
∴四边形OECH为矩形，
∴CH=OE=2x，
∵SΔABC=12×AB⋅CH=2x2，SΔABF=12×AB⋅FG=2x2，
∴SΔACF=SΔABC−SΔABF=2x2−2x2．
∵ΔACF的面积为8，
∴2x2−2x2=8，
∴x2=8+42．
∵BG=OB−OG，
∴BG=(2−1)x．
在RtΔBFG中，
∵BF2=FG2+GB2，
∴BF=FG2+BG2
=x2+(2−1)x2
=x2+(3−22)x2
＝(4−22)(8+42)
=2(4−22)(4+22)
=2×8
=4．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理及其推论，圆的切线的性质，平行线的性质，角平分线的定义，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，勾股定理，连接过切点的半径和作出线段的垂线构造直角三角形是解决此类问题常添加的辅助线．
10．（2022·江苏宿迁·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AC，AB分别相交于点E，F，连接AD与EF相交于点G．
(1)求证：AD平分∠CAB；
(2)若OH⊥AD于点H，FH平分∠AFE，DG=3．
①求tan∠DFH的值；
②求OH的长度．
【答案】(1)见解析
(2)①1；②3
【分析】（1）连接OD，根据切线性质证明OD∥AC，得到∠CAD=∠ODA，再根据半径相等得到∠OAD=∠ODA，推出∠CAD=∠BAD，得到AD平分∠CAB；
（2）①根据角平分线定义得到∠AFH=∠EFH，根据∠DFG=∠EAD=∠HAF，推出∠DFH=∠DHF，得到DF=DH，根据∠ADF=90°，推出∠DFH=45，得到tan∠DFH=tan45°=1；②设DF=x， DH=DF=x，得到AD=2DH=2x，证明△DFG∽△DAF，得到DFAD=DGDF，求得x=6，DF=6，得到OH=12DF=3．
【详解】（1）证明：连接OD．
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∵∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴∠CAD=∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠BAD，
∴AD平分∠CAB．
（2）①∵FH平分∠AFE，
∴∠AFH=∠EFH，
∵∠DFG=∠EAD=∠HAF，
∴∠DFG+∠EFH=∠HAF+∠AFH，
即∠DFH=∠DHF，
∴DF=DH，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ADF=90°，
∴△DHF是等腰直角三角形，
∴∠DFH=45，
∴tan∠DFH=tan45°=1；
②解：设DF=x，由①可知DH=DF=x，
∵OH⊥AD，
∴AD=2DH=2x，
∵∠DFG=∠DAF，∠GDF=∠FDA，
∴△DFG∽△DAF，
∴DFAD=DGDF，
∴x2x=3x，
∴x=6，
∴DF=6，
∵AH=DH，AO=OF，
∴OH=12DF=3．
【点睛】本题主要考查了圆的切线，角平分线，垂径定理，相似三角形，锐角三角函数等，解决问题的关键是熟练掌握圆切线的性质，角平分线定义，垂径定理，相似三角形的判定和性质，正切定义及特殊角的三角函数值．
11．（2022·江苏镇江·统考一模）已知：如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的一点，AE⊥CD，交CD的延长线于点E，交半圆O于点F，且D为弧BF的中点．
(1)求证：CE是半圆O的切线；
(2)若BC=12，CD=122，求AE的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)8
【分析】（1）连接BF，OD，根据D是弧BF的中点可以得到OD⊥BF，根据直径所对的圆周角是直角可以得到BF⊥AE，则BF∥CD，因而可以证得OD⊥CE，从而证得CE是半圆O的切线；
（2）先证明△BCD∽△DCA，求出AC的长，再证明△CDO∽△CEA，求出AE的长即可．
【详解】（1）证明：连接BF，OD，
∵D为弧BF的中点，
∴OD⊥BF，
又∵AB是半圆O的直径，
∴BF⊥AE，又AE⊥CD，
∴BF∥CD，
∴OD⊥CE，
∴CE是半圆O的切线；
（2）解：∵CE切半圆O于点D，
∴CD⊥OD，又AE⊥CD，
∴∠CDO=90°，OD∥AE，
∴∠CDB+∠ODB=90°，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠AOB=90°，
∴∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠ADO=∠CDB，
∵OA=OD．
∴∠ADO=∠DAO，
∴∠CDB=∠DAO，
∵∠BCD=∠DCA，
∴△BCD∽△DCA，
∴BCCD=CDCA，
即12122=122CA，
∴CA=24，
∴AB=12，
∴OD=6，OC=18，
∵OD∥AE，
∴△CDO∽△CEA，
∴COCA=ODAE，
即1824=6AE，
∴AE=8．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论、相似三角形的性质与判定以及切线的判定，判定切线的问题常用的方法是转化成证明垂直问题．
12．（2022·江苏无锡·统考一模）如图，已知点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O外，∠BCD=∠BAC，BE∥CD交⊙O于E点．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，∠BAC=30°，求线段BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)BE=53
【分析】（1）连接CO并延长交⊙O于F点，连接BF，根据圆周角定理得到∠A=∠F，求得∠BCD=∠F，根据直径所对的圆周角是直角得到∠CBF=90°，求得∠DCO=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接BO，OC交BE于点G，根据平行线的性质得到∠OGB=∠OCD=90°，根据垂径定理得到BE=2BG，根据圆周角定理求出∠BOC=60°，解直角三角形求出BG即可．
【详解】（1）证明：连接CO并延长交⊙O于F点，连接BF，
∴∠A=∠F，
∵∠BCD=∠BAC，
∴∠BCD=∠F，
∵CF为⊙O直径，
∴∠CBF=90°，
∴∠F+∠BCO=90°，
∴∠BCD+∠BCO=90°，即∠DCO=90°，
∵CF是⊙O的直径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接BO，OC交BE于点G，
∵BE∥CD，
∴∠OGB=∠OCD=90°，即OC⊥BE，
∴BE=2BG，
∵∠BOC=2∠BAC=2×30°=60°，BO=5，
∴BG=BO⋅sin60°=5×32=532，
∴BE=2BG=53．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，垂径定理以及解直角三角形等知识，判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
13．（2022·江苏扬州·校考三模）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以OA为半径作圆与AB相交于点F，点E是⊙O与线段BC的公共点，连接OE、OF、EF，并且∠EOF=2∠BEF．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)723−43π
【分析】（1）连接DF、DE，由AD是直径，得出∠DFE+∠BFE=90°，进而得出∠BEF=∠DFE，由圆周角定理得出∠EOF=2∠EDF，进而得出∠BEF=∠EDF，然后得出∠DFE=∠EDF，再证明△ODE≅△OFE，得出∠EOD=∠EOF，再证明△OAF是等边三角形，进而得出∠EOD=60°，证明OE∥AB，即可得出OE⊥BC，即可得出结论．
（2）先求出等边三角形△OAF的面积为：12×2×3=3，由（1）可得出∠COF=120°，求出扇形ODF的面积为：120π×4360=43π，再由勾股定理得出BC=33，求出△ABC的面积为：12×3×33=923，然后可求得阴影部分的面积．
【详解】（1）如图，连接DF、DE，
∵AD是直径，
∴DF⊥AB，
∴∠DFE+∠BFE=90°，
∵∠B=90°，
∴∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF=∠DFE，
∵∠EOF=2∠BEF，∠EOF=2∠EDF，
∴∠BEF=∠EDF，
∴∠DFE=∠EDF，
∴DE=EF，
∵OD=OF，
∴△ODE≅△OFE，
∴∠EOD=∠EOF，
∵∠B=90°，∠C=30°，
∴∠A=60°，
∵OA=OF，
∴△OAF是等边三角形，
∴∠AOF=60°，
∴∠EOD=60°，
∴OE∥AB，
∴∠OEC=90°
∴OE⊥BC，
∵OE是半径，
∴BC是⊙O的切线．
（2）∵△OAF是等边三角形，
∴∠AOF=60°，
∵OA=2，
∴△OAF的面积为：12×2×3=3 ，
∵∠COF=120°，
∴扇形ODF的面积为：120π×4360=43π ，
∵∠OEC=90°，∠C=30°，OA=OE=2，
∴OC=2OE=4，
∴AC=OC+OA=6，
∴AB=12AC=3，
∴由勾股定理可得：BC=33，
∴△ABC的面积为：12×3×33=923，
∴阴影部分的面积为：923−3−43π=723−43π．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，扇形的面积，等边三角形的判定与性质，正确作辅助线是解题的关键．
14．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是BC的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若OF=4，求AC的长度．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】（1）连接OD,AD，根据点D是BC的中点，得出∠ODA=∠CAD，进而根据内错角相等，得出OD∥AE，最后根据OD⊥DE，即可得出结论；
（2）过点O作OH⊥AC，垂足为H，可得AH=12AC,∠OFD=∠AHO，再由平行线的性质得出∠DOF=∠A，再证明△OFD≅△AHO，利用全等三角形的性质即可求解．
【详解】（1）连接OD,AD．
∵点D是BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD，
∵OD=OA，
∴∠BAD=∠ODA．
∴∠ODA=∠CAD．
∴OD∥AE．
∴∠ODE+∠E=180°．
∵DE⊥AC于E，
∴∠E=90°．
∴∠ODE=90°．
∴OD⊥DE．
又∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线．
（2）过点O作OH⊥AC，垂足为H．
∴AH=12AC,∠OFD=∠AHO，
∵OD∥AE，
∴∠DOF=∠A．
又∵OD=OA，
∴△OFD≅△AHO，
∴OF=AH．
∵AH=12AC,OF=4，
∴AC=8．
【点睛】本题考查了切线的判定定理，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．
15．（2022·江苏淮安·淮阴中学新城校区校联考二模）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若BC=3，CD=33，求ED的长．
【答案】(1)CE是⊙O的切线，理由见解析；
(2)332．
【分析】（1）连接OD，可根据角平分线的定义和等腰三角形综合得到OD∥AE，再根据平行线的性质可得OD⊥CD，即可证出CE是⊙O的切线；
（2）根据勾股定理可求得OD=3，可得∠C=30°，∠DAC=30°，三角形DAC为等腰三角形，DA=DC=33，最后在三角形AED中根据“30°所对的直角边等于斜边的一半”即可求得答案．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠CAE，
∴∠EAD=∠OAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OD∥AE，
又∵AE⊥CD，
∴OD⊥CD，
∵OD是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：设OD=x=OB，在Rt △COD中，由勾股定理得，
OD2+CD2=OC2，
即x2+332=x+32，
解得x=3，
即OD=3，OC=6，
∴∠C=30°，∠COD=60°，
∴∠EAD=∠DAC=12×60°=30°=∠C，
∴AD=CD=33，
∴DE=12AD=332．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是学会添加辅助线，灵活运用所学知识．
16．（2020·江苏盐城·统考三模）如图，已知 AB、AC 分别为⊙O 的直径和弦，D 为弧 BC 的中点，DE⊥AC 于 E，DE=6，AC=16．
(1)求证：DE 是⊙O 的切线；
(2)求直径AB的长．
【答案】(1)见解析
(2)20
【分析】（1）连接OD，BC，要证明DE是⊙O的切线只要证明OD⊥DE即可，根据已知条件可以证明OD⊥BC；
（2）由（1）可得四边形CFDE为矩形，从而得到CF=DE=6，BC=2CF=12，利用勾股定理即可求得AB的长．
【详解】（1）证明：如图，连接OD，BC；
∵AB为⊙O的直径，
∴BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴BC∥DE；
∵D为弧BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
（2）设BC与DO交于点F，
由（1）可得四边形CFDE为矩形；
∴CF=DE=6，
∵OD⊥BC，
∴BC=2CF=12，
在Rt△ABC中，
AB=BC2+AC2=122+162=20．
【点睛】本题主要考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证它们垂直即可解决问题．
17．（2022·江苏淮安·统考模拟预测）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为直径．
(1)若⊙O的半径为2cm，且AB＝2BC，求阴影部分的面积；
(2)若∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，点E为CA延长线上的一点，且∠ADE＝∠BCD，判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)43π−3
(2)相切，理由见解析
【分析】（1）连接OC，利用弓形的面积=扇形的面积—三角形的面积，进行计算即可；
（2）连接OD，证明OD⊥DE，即可得证．
【详解】（1）解：连接OC，
∵AB为直径，
∴AB=4，∠BCA=90° ，
又∵AB＝2BC，
∴BC=2，∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°，AC=AB2−BC2=23，
∴∠AOC=2∠ABC=120°，
∴S扇形AOC=120360π×4=43π；
作OF⊥AC，交AC于点F，
则：CF=12AC=3， ∠COF=60°，
∴OF=CFtan60°=33=1，
∴S△AOC=12×23×1=3；
∴S阴=S扇形AOC−S△AOC=4π3−3．
（2）相切，证明如下：
证明：如图，连接DO并延长，交圆于点H，连接HA，
则：∠DAH=90°，∠DHA=∠DCA，
∴∠DHA+∠HDA=90°
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠DCB=∠DCA=∠DHA，
又∵∠ADE＝∠BCD，
∴∠EDA=∠DHA，
∴∠EDA+∠HDA=∠EDO=90°
∴OD⊥DE
∴DE是⊙O的切线．
【点睛】本题考查圆中阴影部分面积的求法以及切线的证明，将阴影部分的面积转化为规则图形面积之间的关系是求阴影面积的关键．
18．（2015·江苏扬州·统考一模）如图，CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B．
(1)连接AC，若∠APO=30°，试证明△ACP是等腰三角形；
(2)填空：
①当DP= cm时，四边形AOBD是菱形；
②当DP= cm时，四边形AOBP是正方形．
【答案】(1)证明见解析；
(2)①1；②2−1
【分析】（1）利用切线的性质可得OC⊥PC，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求得∠ACP=30°，从而求得；
（2）①要使四边形AOBD是菱形，则OA=AD=OD，所以∠AOP=60°，所以OP=2OA，DP=OD；
②要使四边形AOBD是正方形，则必须∠AOP=45°，OA=PA=1cm，则OP=2cm，所以DP=OP﹣1．
【详解】（1）解：连接OA，AC，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
在Rt△AOP中，∠AOP=90°﹣∠APO=90°﹣30°=60°，
∵OA=OC，
∴∠ACP=30°，
∵∠APO=30°，
∴∠ACP=∠APO，
∴AC=AP，
∴△ACP是等腰三角形．
（2）解：①DP＝1cm时，四边形AOBD是菱形，理由如下：
∵四边形AOBD是菱形，
∴OA＝AD＝OD，
∴∠AOP＝60°，
∵∠OAP=90°，
∴∠APO=90°−∠AOP=30°，
∴OP＝2OA=2cm，
∵OD=1cm，
∴DP=OP-OD=1cm；
故答案为：1．
②DP=2−1cm时，四边形AOBP是正方形；理由如下：
∵四边形AOBP是正方形，
∴∠AOP＝45°，
∵OA＝PA＝1cm，
∴OP=OA2+AP2=2cm，
∴DP＝OP−OD=2−1cm．
故答案为：2−1．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角的性质，菱形和正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握圆的切线的性质和直角三角形的边角关系是解题的关键．
19．（2021·江苏淮安·统考一模）如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝10．C是直线l上一点，连接CP并延长交⊙O于另一点B，且AB=AC．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为6，求线段BP的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)1255
【分析】（1）连接OB，由AB＝AC得∠ABC＝∠ACB，由OP＝OB得∠OPB＝∠OBP，由OA⊥l得∠OAC＝90°，则∠ACB＋∠APC＝90°，而∠APC＝∠OPB＝∠OBP，所以∠OBP＋∠ABC＝90°，即∠OBA＝90°，于是根据切线的判定定理得到直线AB是⊙O的切线；
（2）根据勾股定理求得AB＝8，PC＝45，过O作OD⊥PB于D，则PD＝DB，通过证得△ODP∽△CAP，求得PD，即可求得BP．
(1)
证明：如图，连接OB，
∵OP＝OB，
∴∠OBP＝∠OPB，
又∵∠OPB＝∠CPA
∴∠OBP＝∠OPB＝∠CPA，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
而OA⊥l，即∠OAC＝90°，
∴∠ACB+∠CPA＝90°，
即∠ABP+∠OBP＝90°，
∴∠ABO＝90°，
即OB⊥AB，
故AB是⊙O的切线；
(2)
解：由（1）知：∠ABO＝90°，
而OA＝10，OB＝OP＝6，
由勾股定理，得：AB＝8，
过O作OD⊥PB于D，则PB＝2PD＝2DB，
∵∠OPD＝∠CPA，∠ODP＝∠CAP＝90°，
∴△ODP∽△CAP，
∴PDAP=OPCP，
又∵AC＝AB＝8，AP＝OA﹣OP＝4，
∴CP＝AC2+AP2＝45，
∴PD＝OP⋅APCP＝655，
∴BP＝2PD＝1255．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理的应用研究三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
20．（2021·江苏南通·统考一模）
(1)如图1，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝EC．求证：∠A＝∠D．
(2)如图2，按以下步骤画图：
①以线段AB的中点O为圆心，以AO的长为半径画半圆；
②分别以点A，点B为圆心，以AO的长为半径画弧，分别交半圆于点C，点D；
③连接OC，OD，CD．若AB＝4，求△COD的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)①作图见解析，②作图见解析，③3
【分析】（1）根据SAS证明△ACB≌△DEC即可．
（2）证明△COD是等边三角形，即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图所示：
∵∠ACB＝∠1+∠ACE，∠DCE＝∠2+∠ACE，
∠1＝∠2，
∴∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
CA=CD∠ACB=∠DCECB=CE，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴∠A＝∠D；
（2）解：如图2中，连接AC，BD．
由作图可知，AC＝OA＝OC＝BD＝OD＝OB，
∴△AOC，△BOD都是等边三角形，
∴∠AOC＝∠BOD＝60°，
∴∠COD＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴S△COD＝34×22＝3．
【点睛】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
21．（2021·江苏扬州·校考一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD交AC于点E，延长AD，BC交于点F，且CF=AC．
(1)求证∶CD=AD；
(2)若AD=3，AB=22，求FD的长．
【答案】(1)见解析；
(2)533
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠CAF=∠F，再由圆周角定理即可证明；
（2）过点C作CG⊥AF于点G，根据等腰三角形的性质可得AG=FG，然后根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵CF=AC，
∴∠CAF=∠F，
∴∠ACB=∠CAF+∠F=2∠CAD，
∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ACD+∠CAD，
∴2∠CAD=∠ACD+∠CAD，
∴∠CAD=∠ACD，
∴CD=AD；
（2）如图，过点C作CG⊥AF于点G，
∵AC=CF=AB=22，
∴AG=FG，
在Rt∆ACG中，根据勾股定理可得：
AC2=AG2+CG2，
在Rt∆DCG中，根据勾股定理可得：
DC2=DG2+CG2，
∴AC2−DC2=AG2−DG2，
由（1）知：CD=AD=3，
∴AG=AD+DG=3+DG，
∴8-3=(3+DG)2−DG2，
解得：DG=33，
∴AG=3+DG=433=FG，
∴FD=FG+DG=533，
∴FD的长为533．
【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理等知识点，熟练运用这些知识点是解题关键．
22．（2022·江苏泰州·统考二模）如图，已知AD是⊙O的直径，B、C为圆上的点，OE⊥AB、BC⊥AD，垂足分别为E、F．
(1)求证：2OE=CD；
(2)若∠BAD+∠EOF=150°，AD=4，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)2π-3
【分析】（1）连接BD，先证EO∥BD，EO=12BD，再根据垂径定理，证得CD=BD，最后通过等量代换证得结论．
（2）将∠EOF=180°−∠EOA代入∠BAD+∠EOF=150°，结合∠EOA+∠BAD=90°，解得∠EOA=60°，∠BAD=30°，由S阴影=S扇形ABD+S△FDC−S△AFB，分别求得S扇形ABD、S△FDC、S△AFB，计算即可．
【详解】（1）证明：连接BD，
∵AD是⊙O的直径，B为圆上的点，
∴∠ABD=90°，
∵OE⊥AB，
∴∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠ABD，
∴EO∥BD，
∵AD是⊙O的直径，即O为AD的中点，
∴E为AB的中点，
∴EO=12BD．
∵AD是⊙O的直径，B、C为圆上的点， BC⊥AD，
∴CD=BD，
∴EO=12BD=12CD，即CD=2OE．
（2）解：∵∠EOF=180°−∠EOA，
又∵∠BAD+∠EOF=150°，
∴∠BAD+180°−∠EOA=150°，即∠EOA−∠BAD=30°．
∵∠AEO=90°，
∴∠EOA+∠BAD=90°，
∴∠EOA=60°，∠BAD=30°．
如图，连接BD，
∵AD=4，AD是⊙O的直径，∠BAD=30°，
∴AB=cs30°×AD=23．
同理，∠AFB=90°，∠BAD=30°，AB=23，
∴BF=sin30°×AB=3，AF=cs30°×AB=3．
∵AD是⊙O的直径，B、C为圆上的点， BC⊥AD，
∴BF=CF=3．
∵AD=4，AF=3，
∴FD=AD−AF=1．
S扇形ABD=12×π×4÷22=2π，
S△FDC=12×FD×FC=12×1×3=32，
S△AFB=12×AF×BF=12×3×3=332，
∴S阴影=S扇形ABD+S△FDC−S△AFB=2π+32−332=2π−3．
【点睛】本题考查了垂径定理，中位线的判定及性质，扇形相关的阴影面积计算，综合运用以上知识是解题的关键．
23．（2022·江苏南京·统考二模）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AF交⊙O于点G，过G作DE//BC分别交AB，AC的延长线于点D，E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)已知AG=8，BFDG=34，点I为△ABC的内心，求GI的长．
【答案】(1)见详解
(2)GI的长为4
【分析】（1）连接OG，根据角平分线的定义得到∠BAG=∠CAG，根据垂径定理得到OG⊥BC，根据平行线的性质得到OG⊥EF，然后问题可求证；
（2）连接BI，BG，根据角平分线定义得到∠BAI=∠CAI，∠ABI=∠CBI，推出∠BIG=∠GBI，得到BG=IG，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接OG，
∵∠BAC的平分线AF交⊙O于点G，
∴∠BAG=∠CAG，
∴BG=CG，
∴OG⊥BC，
∵DE//BC，
∴OG⊥EF，
∵OG是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BI，BG，
∵点I为△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，AG平分∠BAC，
∴∠BAI=∠CAI，∠ABI=∠CBI，
∵∠BIG=∠BAI+∠ABI，∠GBI=∠GBC+∠CBI，∠GBC=∠GAC，
∴∠BAI=∠CBG，
∴∠BIG=∠GBI，
∴BG=IG，
∵BC//DE，
∴△ABF∽△ADG，
∴AFAG=BFDG=34，
∵AG=8，
∴AF=6，
∴FG=2，
∵∠BGF=∠AGB,∠GBF=∠BAG，
∴△BGF∽△AGB，
∴BGFG=AGBG，
∴BG2=8BG，
∴BG=4（负根舍去），
∴GI的长为4．
【点睛】本题主要考查切线的判定与性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的判定与性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
24．（2022·江苏苏州·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．
(1)求证：MN是⊙O的切线；
(2)若⊙O的直径为5，sinB=35，求ED的长．
【答案】(1)见解析
(2)75
【分析】（1）连接OM，证明OM∥BD，由MN⊥AB得∠MNB= 90°，得到∠OMN＝∠MNB＝90°，即得OM⊥MN，结论得证；
（2）连接DM，CE，由圆周角定理得∠CMD＝∠CED＝90°，由CD=5，sinB=35得到DM=3，由勾股定理得到CM=4，由等腰三角形的三线合一得到BC，由sinB=35得到CE，由勾股定理得到ED的长．
【详解】（1）证明：连接OM，如图1，
∵OC=OM，
∴∠OCM=∠OMC，
∵在Rt△ABC中，CD是斜边的中线，
∴CD=12AB=BD，
∴∠DCM=∠DBC，
∴∠OMC=∠DBC，
∴OM∥BD，
又∵MN⊥AB，
∴∠MNB= 90°，
∴∠OMN＝∠MNB＝90°，
∴OM⊥MN，
∵OM是⊙O的半径，
∴MN是⊙O的切线．
（2）解：连接DM，CE，如图2，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CMD＝∠CED＝90°，
∵CD=5，sinB=35
∴sin∠DCM＝sinB＝35＝DMCD=DM5 ，
∴DM=3，
∴CM=CD2−DM2=4，
∵CD＝BD，
∴△BCD是等腰三角形，
∴CB＝2CM＝8，
∴CE＝CBsinB＝8×35＝245，
∴ ED=CD2−CE2=52−(245)2=75．
【点睛】此题考查了切线的判定定理、圆周角定理、锐角三角函数、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、直角三角形斜边上中线定理等知识，熟练掌握性质和判定是解题的关键．
25．（2022·江苏镇江·统考模拟预测）如图，AB为半⊙O的直径，P点从B点开始沿着半圆逆时针运动到A点，在运动中，作∠CAP＝∠PAB，且PC⊥AC，已知AB＝10．
(1)当P点不与A，B点重合时，求证：CP为⊙O切线；
(2)当PB＝6时，AC与⊙O交于D点，求AD的长：
(3)P点在运动过程中，当PA与AC的差最大时，直接写出此时PB的弧长．
【答案】(1)见解析；
(2)AD=2.8；
(3)PB⏜=103π
【分析】（1）连接OP，可证OP∥AC，结合PC⊥AC，即可证明；
（2）连接BD交OP于点E，先证明∆APB~∆ACP，得出AC=6.4，再证明四边形为矩形，列出方程求解即可；
（3）设AP=x，由∆APB~∆ACP得出AC=110x2，得出PA-PC关于x的二次函数，即可进行求解得出最值．
(1)
证明：连接OP，
∵OA=OP，
∴∠PAB=∠OPA，
∵∠CAP=∠PAB，
∴∠OPA=∠CAP，
∴OP∥AC，
∵PC⊥AC，
∴PC⊥OP，
∴CP为圆O的切线；
(2)
连接BD交OP于点E，
∵AB为圆O的直径，
∴∠APB=90°，
∵AB=10，PB=6，
∴AP=102−62=8，
∵∠CAP=∠PAB，∠APB=∠ACP=90°，
∴∆APB~∆ACP，
∴ACAP=APAB，即AC8=810
解得：AC=6.4，
∵AB为圆O的直径，
∴AD⊥BD，
∴PC∥BD，
∵∠POB=∠OAP+∠OPA=∠OAP+∠PAC=∠BAC，
∴OP∥AC，
∴四边形PCDE为平行四边形，
∵∠C=90°，
∴四边形PCDE为矩形，
∵AO=BO，OE∥AD，
∴2OE=AD，
设AD=x，
则OE=12x，PE=OP-OE=5-12x，CD=PE=5-12x，
∴5-12x+x=6.4，
解得x=2.8，
即AD=2.8
(3)
设AP=x，
∵∆APB~∆ACP
∴ACAP=APAB，即ACx=x10
∴AC=110x2，
∴PA-AC=x-110x2=−110x−52+52
∴当x=5时，即AP=5时，PA-AC的值最大，
∴cs∠PAB=APAB=510=12，
∴∠PAB=60°，
∴∠POB=120°，
∴弧长PB⏜为120π×5180=103π．
【点睛】题目主要考查圆的基本性质以及相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，添加辅助线，熟练掌握运用相似三角形的判定和性质是解题关键．
26．（2022·江苏南通·统考二模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=75°，∠ABC=45°，连接AO，并延长交⊙O于点D，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点E．
(1)求证：AD∥EC；
(2)若AD=4，求线段AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)AE=4
【分析】（1）连接OC，根据CE是⊙O的切线，可得∠OCE＝90°，根据圆周角定理，可得∠AOC=90°，从而得到∠AOC+∠OCE＝180°，即可求证；
（2）过点A作AF⊥EC交EC于点F，由∠AOC＝90°，OA＝OC，可得∠OAC＝45°，从而得到∠BAD＝30°，再由AD∥EC，可得∠E=30°，然后证得四边形OAFC是正方形，可得AF=OA，从而得到AF=3，再由直角三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°，
∵AC=AC，∠ABC=45°，
∴∠AOC=2∠ABC=90°，
∵∠AOC+∠OCE=180°，
∴AD∥EC．
（2）解：过点A作AF⊥EC交EC于点F，
∵∠AOC=90°，OA=OC，
∴∠OAC=45°，
∵∠BAC=75°，
∴∠BAD=∠BAC−∠OAC=75°−45°=30°，
∵AD∥EC，
∴∠E=∠BAD=30°，
∵∠OCE=90°，∠AOC=90°，OA=OC，
∴四边形OAFC是正方形，
∴AF=OA，
∵AD=4，
∴AF=12AD=2，
在Rt△AFE中，
∴sinE=AFAE=12，
∴AE=4．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，正方形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
27．（2022·江苏南京·统考二模）如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆．D为BC的延长线上一点，AD交⊙O于点E，连接BE．
(1)求证：∠D=∠ABE；
(2)若AB=5，BC=6，
①求⊙O的半径r；
②DEDC的最大值为______．
【答案】(1)见解析
(2)①r=258；②54
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠CAE=∠CBE，再利用等腰三角形的性质以及三角形的外角性质即可证明∠D=∠ABE；
（2）①利用垂径定理构造直角三角形，根据勾股定理列方程计算即可求解；
②证明△DAC∽△DBE，推出DEDC=BEAC，当BE最大为⊙O的直径，BEAC取得最大值，据此即可求解．
(1)
证明：∵CE=CE，
∴∠CAE=∠CBE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABC=∠ABE+∠CBE，∠ACB=∠D+∠CAE，
∴∠D=∠ABE；
(2)
解：①延长AO交BC于点H，连接OC，
∵AB=AC，AB=5，BC=6，
∴AH⊥BC，BH=CH=3，
∴AH=AC2−CH2=4，
∵OA=OC=r，
∴OH=4- r，
在Rt△OCH中，(4- r)2+32=r2，
解得：r=258；
②∵∠CAE=∠CBE，
∴△DAC∽△DBE，
∴DEDC=BEAC，
∵AB=AC=5，BE是⊙O的弦，
∴当BE最大时，BEAC取得最大值，
即BE最大为⊙O的直径，即BE=2r=254，
∴BEAC的最大值为2545=54，
即DEDC的最大值为54．
故答案为：54．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
28．（2022·江苏镇江·统考二模）如图，△ABC内接于⊙O．
(1)在BAC上作点D（不与B重合），连接CD，使得∠ACD=∠ACB（尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)延长CB到点E，使得BE=CD，连接AD、AE．
①求证：AE=AC；
②若CD=8，BC=12，∠ACB=30°，求tan∠ABC的值．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②533
【分析】（1）以点A为圆心，AB为半径作弧，与⊙O交于另一个点D，点D即为所作；
（2）①利用圆内接四边形的性质证明∠ABE=∠ADC，推出△ABE≅△ADC，即可证明结论；
②过点A作AH⊥BC于H，求得CH=EH=10，BH=2，再求得AH，利用正切函数的定义即可求解．
（1）
解：如图，点D即为所作；

（2）
①证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠ABE=∠ADC，
∵∠ACD=∠ACB，
∴AD=AB，
又∵CD=BE，
∴△ABE≅△ADC，
∴AE=AC；
②解：过点A作AH⊥BC于H，
∵BE=CD=8，
∴CE=20，
∵AE=AC，AH⊥BC，
∴CH=EH=12BC=10，BH=EH-BE=2，
∵∠ACB=30°，CH=10，
∴AH=CHtan30°=1033，
∴tan∠ABC=AHBH=533．
【点睛】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
29．（2022·江苏南京·统考二模）如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝CF，连接AE．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)连接AC交⊙O于点P，若AP=3，BF＝1，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)32
【分析】（1）如图所示，连接AF，先证明∠AFB=90°，然后证明△AED≌△AFB得到∠DAE=∠BAF，即可证明∠BAE=90°，从而证明结论；
（2）如图所示，连接BP，根据三线合一定理求出AC=2AP=23，设圆O的半径为r，则AB=BC=2r，CF=BC−BF=2r−1，根据勾股定理可得232−2r−12=4r2−1，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接AF，
∵AB是圆O的直径，
∴∠AFB=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=CD=BC，∠B=∠D，AD∥BC，
∴∠DAF=∠AFB=90°，
∵CE=CF，
∴CD-CE=BC-CF，即DE=BF，
∴△AED≌△AFB（SAS），
∴∠DAE=∠BAF，
∴∠DAE+∠EAF=90°=∠BAF+∠EAF，
∴∠BAE=90°，
又∵AB是圆O的直径，
∴AE是圆O的切线；
（2）解：如图所示，连接BP，
∵AB是圆O的直径，
∴∠APB=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，
∴AC=2AP=23，
设圆O的半径为r，则AB=BC=2r，
∴CF=BC−BF=2r−1，
在Rt△ACF中，AF2=AC2−CF2，
在Rt△ABF中，AF2=AB2−BF2，
∴232−2r−12=4r2−1，
解得r=32或r=−1（舍去），
∴圆O的半径为32．
【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理,解一元二次方程等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
30．（2021·江苏宿迁·一模）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与AB边相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若AB＝10，tanB=43，求⊙O的半径；
(3)若F是AB的中点，试探究BD＋CE与AF的数量关系并说明理由．
【答案】(1)见解析;
(2)83;
(3)AF＝CE＋BD，理由见解析
【分析】（1）连接OD，由切线的性质可得∠ADO＝90°，由“SSS”可证△ACO≌△ADO，可得∠ADO＝∠ACO＝90°，可得结论；
（2）由锐角三角函数可设AC＝4x，BC＝3x，由勾股定理可求BC＝6，再由勾股定理可求解；
（3）连接OD，DE，由“SAS”可知△COE≌△DOE，可得∠OCE＝∠OED，由三角形内角和定理可得∠DEF＝180°﹣∠OEC﹣∠OED＝180°﹣2∠OCE，∠DFE＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝180°﹣2∠OCE，可得∠DEF＝∠DFE，可证DE＝DF＝CE，可得结论．
（1）
解：如图，连接OD，
∵⊙O与边AB相切于点D，
∴OD⊥AB，即∠ADO＝90°，
∵AO＝AO，AC＝AD，OC＝OD，
∴△ACO≌△ADO（SSS），
∴∠ADO＝∠ACO＝90°，
∴OD⊥AB，
又∵OC是半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）
解：∵tanB=43=ACBC，
∴设AC＝4x，BC＝3x，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴16x2+9x2＝100，
∴x＝2，
∴BC＝6，
∵AC＝AD＝8，AB＝10，
∴BD＝2，
∵OB2＝OD2+BD2，
∴（6﹣OC）2＝OC2+4，
∴OC=83，
故⊙O的半径为83；
（3）
解：AF＝CE+BD，理由如下：
连接OD，DE，
由（1）可知：△ACO≌△ADO，
∴∠ACO＝∠ADO＝90°，∠AOC＝∠AOD，
又∵CO＝DO，OE＝OE，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴∠OCE＝∠ODE，
∵OC＝OE＝OD，
∴∠OCE＝∠OEC＝∠OED＝∠ODE，
∴∠DEF＝180°﹣∠OEC﹣∠OED＝180°﹣2∠OCE，
∵点F是AB中点，∠ACB＝90°，
∴CF＝BF＝AF，
∴∠FCB＝∠FBC，
∴∠DFE＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝180°﹣2∠OCE，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴DE＝DF＝CE，
∴AF＝BF＝DF+BD＝CE+BD．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．