湘教版（2019）必修 第一册2.2 从函数观点看一元二次方程优秀练习

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1．关于的一元二次方程：有实数根，若其中一个根为，则另一个根为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用韦达定理求出方程的另一个根，再检验即可.
【详解】因为为关于的一元二次方程的根，
显然，且，不妨令，则，
此时，方程可化为，经检验符合题意，即方程另一个根为.
故选：D
2．已知关于x的方程有两个实数根.若满足，则实数k的取值为（ ）
A．或6B．6C．D．
【答案】C
【分析】先根据条件可知，再结合韦达定理即可建立等量关系，即可得解.
【详解】关于x的方程有两个实数根，
，解得，
实数k的取值范围为，根据韦达定理可得，，
，
，即，
解得或 (不符合题意，舍去)实数k的值为.
故选：C.
3．已知是方程的两个实数根，则的值是 .
【答案】
【分析】由题意可得，，利用可求值.
【详解】∵是方程的两个实数根，
∴，，∴.
故答案为：．
4．已知都是实数，一元二次方程有两个非零实根，且，则= .
【答案】
【分析】由根与系数关系得，再由及已知即可求值.
【详解】由题设，且，而，，则.
故答案为：
5．设，是方程的两个实数根，则 ．
【答案】
【分析】由根与系数关系及根的性质求目标式的值即可.
【详解】由题设且，所以.
故答案为：
6．关于的一元二次方程．
(1)如果方程有实数根，求的取值范围；
(2)如果是这个方程的两个根，且，求的值．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用判别式大于等于零求解即可；
（2）由根与系数的关系可求解.
【详解】（1）∵，
∴，解得，；
（2）由题意知，，，
∵，∴，∴，解得，，
∴的值为．
7．已知一元二次方程的两根为，，求下列各式的值．
(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)；(2)；(3).
【分析】（1）（2）（3）由根与系数关系得，并用它们表示出各式求值即可.
【详解】（1）由题设，则；
（2）；
（3）.
题型二 与二次函数相关的问题
1．一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分类讨论，和时，由一次函数的单调性与二次函数图象的开口方向，排除一些选项，再由的的正负，确定二次函数对称轴的位置，从而可得最后结果.
【详解】若，则一次函数为增函数，
二次函数的开口向上，故可排除A；
若，则一次函数为减函数，
二次函数的开口向下，故可排除D；
对于选项C，由直线可知，，从而，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除C.
故选：B.
2．如果一元二次函数的对称轴是，则当时，（ ）
A．10B．－10
C．－1D．19
【答案】C
【分析】由对称轴方程求出的值，把代入函数解析式，可求函数值.
【详解】对称轴为，解得，则，所以当时，.
故选：C
3．“”是“关于的方程有两个不等实根”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据“关于的方程有两个不等实根”解出的范围，进而判断即可.
【详解】因为关于的方程有两个不等实根，所以，解得或，
所以“”是“关于的方程有两个不等实根” 既不充分也不必要条件.
故选：D
4．二次函数y=a x2+bx+c的图象如图所示，则下列判断中错误的是（ ）

A．图象的对称轴是直线x=1
B．一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是－1，3
C．当x>1时，y随x的增大而减小
D．当-1【答案】D
【分析】根据二次函数的图象结合其性质判断．
【详解】由图象知函数图象与轴的两个交点的横坐标分别是和3，因此B正确；
又，因此A正确；时，图象向右下，，y随x的增大而减小，C正确；
在时，图象在轴上方，，D错误．
故选：D．
5．已知一元二次函数y＝x2－2x+2，x∈(0，3)，则下列有关该函数的最值说法正确的为（ ）
A．最小值为2，最大值为5B．最小值为1，最大值为5
C．最小值为1，无最大值D．无最值
【答案】C
【分析】结合对称轴，函数的单调性得出结论．
【详解】由已知函数图象对称轴是，在上，函数是减函数，在上是增函数，因此时，函数取得最小值为1，但无最大值，
故选：C．
6．若函数y＝x2－3x－4在［0，m］上的最大值和最小值分别为－4，，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】作出函数的图象（示意图），根据函数图象分析可得．
【详解】当x＝0或3时，y＝－4；当x＝时，y＝.
故由二次函数图象可知：m的最小值为，最大值为3.故m的取值范围是.
故答案为：.

7．已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的两个交点的横坐标的平方和为15，求该二次函数的表达式．
【答案】或．
【分析】利用给定点求出c，设出图象与轴交点的横坐标，结合一元二次方程根与系数的关系求出b得解.
【详解】由二次函数的图象与轴交于点知，，
设二次函数的图象与轴交点的横坐标为，则是一元二次方程的两个根，
由根与系数的关系知，，则，解得，
所以所求二次函数的表达式为或.
8．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：

(1)写出方程的两个根；
(2)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
【答案】(1)，；(2).
【分析】（1）观察图象，求出二次函数的图象与轴的交点坐标即可.
（2）观察图象，求出直线与二次函数的图象有两个交点的k值范围.
【详解】（1）观察图象知，二次函数的图象与轴交于，，
所以方程的两个根是，．
（2）若方程有两个不相等的实数根，则二次函数的图象与直线有两个不同的交点，观察图象知，二次函数图象的顶点纵坐标为2，于是，
所以的取值范围是．
1．二次函数 的图象如图，对称轴为直线 ，若关于 的一元二次方程 （为实数）在的范围内有解，则 的取值范围是 ．

【答案】
【分析】根据对称轴求出的值，从而得到时的函数值，再根据一元二次方程（为实数）在的范围内有解相当于与在内有交点，依此求解即可得出结论.
【详解】∵对称轴为直线，∴，∴二次函数解析式为.
当时，；当时，；当时，.
因为方程的根为图象与直线的交点的横坐标，
∴当时，在的范围内有解.
故答案为：.
2．如图，已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点.若该抛物线的对称轴上存在点Q满足是等腰三角形，则点Q的坐标不可能是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据直线的解析式，当和时就可以求出点A、B的坐标，设抛物线的解析式为，根据A、B、C三点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，将抛物线化为顶点式，求出对称轴，设出Q点的坐标，是等腰三角形的情况分为3种，即A、B、Q分别为等腰三角形的顶点，利用等腰三角形的性质，根据勾股定理、两点之间的距离公式即可求出Q点的坐标．
【详解】∵，∴当时，，当时，，
∴，，
设抛物线的解析式为，由题意，得，解得，
∴抛物线的解析式为，∴抛物线的对称轴为，设，
①当时，如图，过点作，交对称轴于.

由勾股定理可得
，，得，解得，
∴；
②当是腰时，Q是对称轴与x轴交点时，，如图.

，解得或，
当Q点的坐标为时，其在直线AB上，A、B和Q三点共线，舍去，则此时Q的坐标是；
③当时，如图.

，解得，则Q的坐标是和，综上所述：Q的坐标可能为．
故选：D.
3．已知二次函数的最小值为，并且图象经过点和，
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若当时，，求t的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据函数的最值得到，再利用待定系数法即可求出函数解析式；
（2）根据二次函数的图象和性质即可求解.
【详解】（1）因为二次函数的最小值为，
所以，则①，
又因为图象经过点和，所以②，
①②联立可得，，所以二次函数的解析式为；
（2）由（1）知：二次函数的解析式为，
所以，顶点坐标为
因为时，，解得或，所以当时，则，
结合二次函数的图象和性质可知，.
4．如下图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为.

(1)求m的值及抛物线的顶点坐标．
(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标．
【答案】(1)，.(2).
【分析】（1）点B的坐标代入抛物线求出m的值，配方法求抛物线的顶点坐标；
（2）连接 BC与对称轴的交点为所求P点，求直线BC的解析式，可求P点坐标.
【详解】（1）把点B的坐标代入抛物线得，
解得，所以，所以顶点坐标为.
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，则，
连接BC交抛物线对称轴l于点P，

则此时PA＋PC的值最小，
设直线BC的解析式为，因为点，点，所以，解得，
所以直线BC的解析式为，当时，，
所以当PA＋PC的值最小时，点P的坐标为.
5．已知关于x的方.当为何值时，
(1)方程的一个根大于1，另一个根小于1?
(2)方程的一个根大于－1且小于1，另一个根大于2且小于3?
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）根据方程根的分布，可得不等式，求得答案;
（2）根据方程根的分布，可得不等式组，求得答案;
【详解】（1）二次函数的图象是开口向上的抛物线，

故方程的一个根大于1，另一个根小于1，
则，解得，所以a的取值范围是．
（2）方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3，
作满足题意的二次函数的大致图象，
由图知， ，
解得．所以的取值范围是．