第十四章第四课时因式分解 知识清单＋例题讲解＋课后练习 （含解析）数学人教版八年级上册

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第四课时——因式分解知识点一：因式分解的概念：把一个多项式写成几个整式的 积 的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的 因式分解 ，也叫做把这个多项式 分解因式 ．与整式的乘法互为逆运算．特别提示：因式分解的三个条件：①变形后的式子是乘积的形式．加减号必须在括号里面．②每一个乘积的因式都必须是整式．③必须分解完全．【类型一：判断式子变形是不是因式分解】1．下列式子从左到右的变形属于因式分解的是A． B．C． D．2．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ）A． B．C． D．3．下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是(    )A．(x-1)(x-2)＝x2-3x+2 B．x2-3x+2＝(x-1)(x-2)C．x2+4x+4＝x(x-4)+4 D．x2+y2＝(x+y)(x-y)知识点一：提公因式分解因式：1. 公因式的概念：多项式中各项都有的 因式 叫做这个多项式的公因式．如多项式，各项都有一个公因式 ，则它就是这个多项式的公因式．2. 求公因式的方法： 公因式＝系数的 最大公约数 ×相同字母（式子）的 最低次幂 ．特别提示：当多项式的首项为负时．公因式也为负．3. 每一项剩余部分的求法：每一项的剩余部分＝多项式的每一项÷ 公因式 ．4. 提公因式分解因式：一般地，如果多项式的各项都有 公因式 ，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式 与另一个因式的 乘积 的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法式的方法叫做提公因式法．【类型一：判断式子的公因式】4．多项式中，各项的公因式是（    ）A． B．C． D．5．把10a2(x+y)2-5a(x+y)3因式分解时，应提取的公因式是(    )A．5a B．(x+y)2 C．5(x+y)2 D．5a(x+y)26．多项式3ma2+12mab的公因式是 7．多项式的公因式是 ．【类型二：利用公因式法分解因式】8．因式分解：(1) (2)(3)(4)9．把下列多项式因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)．知识点一：逆用平方差公式分解因式：1. 因式分解的平方差公式内容：两个数的平方差等于这两个数的 和 乘以这两个数的 差 ．即： ．2. 可以用平方差公式分解的式子特点与结果：①式子特点：多项式是 2 项，符号 相反 ，每一项的绝对值都可以写成 平方 的形式．②结果：等于底数的 和 乘底数的 差 ．底数的差时用正项底数减负项底数．【类型一：判断多项式能否用平方差公式分解】10．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（    ）A．x2+4y2 B．3x2﹣4y C．﹣+ D．﹣﹣11．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（   ）A． B． C． D．12．下列多项式中，在有理数范围内不能用平方差公式分解的是（　　）A． B． C． D．【类型二：利用平方差公式分解因式】13．把下列各式进行因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)14．把下列各式因式分解：(1)；(2)(3)(4)知识点一：逆用完全平方公式分解因式：1. 因式分解的完全平方公式内容： ．2. 可以用完全平方式分解的式子特点与结果：①式子特点：多项式是 二次三项式 ，且其中两项的绝对值可以写成 平方 的形式且这两项符号 相同 ，第三项是平方两项底数乘积的 2 倍．②结果：等于 底数和 的平方（第三项与平方两项符号相同时）或 底数差 的平方（第三项与平方两项符号不同时）．特别说明：若平方两项是负的，则需要在整体前面加负号．【类型一：判断多项式能否用完全平方公式分解】15．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（   ）A． B．C． D．16．下列多项式能用完全平方公式进行分解因式的是（    ）A． B．C． D．17．下列各式中：①x2﹣2xy+y2；②；③﹣4ab﹣a2+4b2；④4x2+9y2﹣12xy；⑤3x2﹣6xy+3y2，能用完全平方公式分解的个数有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【类型二：利用平方差公式分解因式】18．把下列各式进行因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)．19．把下列各式因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)．知识点一：十字相乘法分解二次三项式：1. 对于一个二次三项式，若存在，，且，那么二次三项式可以分解为：举例说明：．∴2. 对于初中所用的十字相乘法，二次项系数都是等于1的，即．若存在有，且，则可分解为：举例说明：∵且∴【类型一：利用十字相乘法分解因式】20．十字相乘法分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 知识点一：因式分解综合：1. 因式分解具体步骤：第一步：观察式子是否有公因式可提．若有公因式，则先用公因式进行因式分解．第二步：观察式子项数：①若式子是两项，则观察是否具有平方差公式的特点，若具有平方差公式的特点则用平方差公式分解，若不具有则不能分解．②若式子是三项，则观察是否具有完全平方公式的特点，如果具有完全平方公式的特点则用完全平方公式分解．若不具有完全平方公式的特点则观察是否可用十字相乘法分解，若能则用十字相乘法分解，若不能用十字相乘法分解则多项式不能分解．注意：在进行因式分解时一定要分解完全．即分解到不能再用任何方法分解为止．2. 分组分解法：分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现 公因式 ，二是分组后能应用 公式 ．举例说明：①②3. 实数范围内分解因式：一些式子在有理数范围内无法分解，但是可以分解到实数范围，用无理数表示．【类型一：因式分解】21．把下列各式进行因式分解：(1)；(2)；(3)．22．因式分解：(1)；(2)．【类型二：分组因式分解】23．教你一招：把因式分解．解：原式请你仔细阅读上述解法后，把下列多项式因式分解：(1)；(2)；(3)．24．先阅读下列材料，然后回答后面问题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2＋2”分法、“3＋1”分法、“3＋2”分法及“3＋3”分法等．如“2＋2”分法：ax＋ay＋bx＋by＝（ax＋ay）＋（bx＋by）＝a（x＋y）＋b（x＋y）＝（x＋y）（a＋b）如“3＋1”分法：2xy＋y2﹣1＋x2＝x2＋2xy＋y2﹣1＝（x＋y）2﹣1＝（x＋y＋1）（x＋y﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x2﹣y2﹣x﹣y；（2）分解因式：45am2﹣20ax2＋20axy﹣5ay2；（3）分解因式：4a2＋4a﹣4a2b﹣b﹣4ab＋1．25．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式.后两项可提取公因式.前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：(1)分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；(2)△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．【类型三：在实数范围内分解因式】26．在实数范围内分解下列因式：(1) ；(2) ；(3) ；(4)．【类型四：因式分解的应用】27．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：西，爱，我，数，学，定．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ）A．我爱定西 B．爱定西 C．我爱学 D．定西数学28．已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足，，是（    ）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形29．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美；（1）请你检验说明这个等式的正确性．（2）若，你能很快求出的值吗？（3）若，求的值．30．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如根据以上材料，解答下列问题．(1)分解因式：；(2)求多项式的最小值；(3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长．参考答案：1．A【分析】由题意和因式分解的定义对各个选项进行逐一分析判断，即可求解．【详解】解：，属于因式分解，故符合题意；B．，不是因式分解，故不符合题意；C．，不是因式分解，故不符合题意；D．，是平方差公式，不是因式分解，故不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查因式分解的有关知识，属于基础题，掌握因式分解的定义是解决本题的关键．2．D【详解】A. 和因式分解正好相反，故不是分解因式；B. 结果中含有和的形式，故不是分解因式；C. =(x+2y)(x−2y)，解答错误；D. 是分解因式．故选D.3．B【分析】因式分解就是要将一个多项式分解为几个整式积的形式，据此逐一判断即可得答案．【详解】解：根据因式分解的概念，A，C不是几个整式积的形式，不是因式分解，不符合题意，根据平方差公式：（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2，故D选项计算错误，不符合题意，x2-3x+2＝(x-1)(x-2)计算正确，是因式分解，故B选项符合题意，故选：B．4．C【分析】分别对系数、字母a、字母b、字母c逐个分析即可得到答案．【详解】解：由题意可得：系数的公因式为4，字母a的公因式为，字母b的公因式为b，, 字母c无公因式，所以各项的公因式是．故选：C．【点睛】本题考查了求多项式的公因式，解题的关键是掌握求多项式公因式的方法．5．D【分析】找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式．【详解】解：10a2（x+y）2-5a（x+y）3因式分解时，公因式是5a（x+y）2故选D．6．3ma##3am【详解】：∵3ma2+12mab =3ma（a+4b），∴多项式3ma2+12mab的公因式是3ma，故答案为：3ma．7．【分析】找公因式的要点是：公因式的系数是多项式系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母；相同字母的指数取次数最低的.【详解】解：根据公因式的系数是多项式系数的最大公约数，同时首项系数应为正数，可确定公因式的系数为，公因式字母取各项都含有的相同字母，同时相同字母的指数取次数最低的可确定公因式字母为，故答案为．【点睛】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握找公因式的要点是解题的关键，特别注意首项系数应为正数．8．(1)(2)(3)(4)【分析】（1）直接提取公因式x，进而分解因式得出答案；（2）直接提取公因式-2b，进而分解因式得出答案；（3）直接提取公因式3x，进而分解因式得出答案；（4）直接提取公因式2ab，进而分解因式得出答案．【详解】（1）解：原式=（2）解：原式=（3）解：原式=（4）解：原式=【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．9．(1)(2)(3)(4)【分析】（1）直接提取公因式x，进而分解因式得出答案；（2）直接提取公因式，进而分解因式得出答案； （3）直接提取公因式，进而分解因式得出答案； （4）直接提取公因式，进而分解因式得出答案．【详解】（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．10．C【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行分析即可．【详解】A．x2+4y2不能运用平方差公式分解，故此选项不符合题意，B．3x2﹣4y不能运用平方差公式分解，故此选项不符合题意，C．﹣+=（）（），能运用平方差公式分解，故此选项符合题意，D．﹣﹣不能运用平方差公式分解，故此选项不符合题意，故选：C．【点睛】本题是对因式分解中平方差公式的考查，熟练掌握平方差公式是解题关键．11．C【分析】根据平方差公式的结构特征对各选项分析判断后即可得答案．【详解】A.a2+b2不能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意.B.-（a2+b2）不能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意.C.-b2+a2=(a+b)(a-b)，能利用平方差公式分解因式，故本选项符合题意.D.-a2-b2不能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意.故选C.【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．12．C【分析】利用平方差公式的结果特征判断即可，能用平方差因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．【详解】在有理数范围内不能用平方差公式分解的是，A、，B、，D、，故选：C．【点睛】本题考查了公式法分解因式，不仅要掌握平方差公式的特点，还要对有理数的范围把握好．13．(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用平方差公式分解即可；（2）利用平方差公式分解即可；（3）利用平方差公式分解即可；（4）利用平方差公式分解即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【点睛】本题主要考查了根据平方差公式进行因式分解，解题的关键是掌握平方差公式．14．(1)(2)(3)(4)【分析】（1）-（4）直接利用平方差公式分解因式即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．15．D【分析】根据完全平方公式特点，即可判断出答案.【详解】解：A. 可明显看出只有两项，不符合完全平方公式，所以A错误；B. 有三项，并且有两项是平方项，但是最后的平方项符号是负的，不符合完全平方公式，所以B错误；C. 有三项，并且两个平方项都是正的，但是中间项缺少倍，不符合完全平方公式，所以C错误；D. 有三项，并且两个平方项是正的，中间项符合倍乘积，是完全平方公式，可化为：所以D选项正确.故答案选D.【点睛】本题考查利用完全平方公式进行因式分解，做这样的题目首先看一下多项式是否有三项，然后找到两个平方项并确保符号都是正的，最后验证最后一项是否符合倍乘积即可.16．C【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果.【详解】解：A选项为偶次方和1的和，不能因式分解；B选项不能因式分解；C选项x2-2x+1=（x-1）2，可以因式分解；D选项不能因式分解.故选C.【点睛】本题题考查了因式分解一运用公式法，熟练掌握完全平方公式以及因式分解的概念是解本题的关键.17．D【分析】根据完全平方公式进行判断．【详解】解：在x2﹣2xy+y2；；﹣4ab﹣a2+4b2；4x2+9y2﹣12xy；3x2﹣6xy+3y2中，能用完全平方公式分解的有：x2﹣2xy+y2；；4x2+9y2﹣12xy；3x2﹣6xy+3y2．故选：D．【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法；平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）；完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．18．(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】各式利用完全平方公式分解即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．19．(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】（1）（2）直接利用完全平方公式进行分解即可；（3）首先提取公因子，再利用完全平方公式进行分解即可；（4）把当作整体，利用完全平方公式进行分解即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．20．(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)【分析】用十字相乘法分解因式即可．【详解】（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：（7）解：（8）解：（9）解：（10）解：【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握用十字相乘法因式分解是解题的关键．21．(1)(2)(3)【分析】（1）原式提取a，再利用十字相乘法分解即可；（2）原式利用平方差公式分解即可；（3）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式，准确计算．22．(1)(2)【分析】（1）利用十字相乘法分解因式；（2）先提公因式，再利用公式法分解因式．【详解】（1）原式（2）原式．【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题的关键．23．(1)；(2)；(3)．【分析】（1）首先将原式进行分组得到原式，再利用公式法分解因式即可．（2）首先将原式进行分组得到原式，再利用公式法分解因式即可．（3）首先将原式进行分组得到原式，再利用公式法分解因式即可．【详解】（1）解：，，；（2）解：；（3）解：；【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．24．（1）（x＋y）（x﹣y﹣1）；（2）5a（3m﹣2x＋y）（3m＋2x﹣y）；（3）（2a＋1）2（1﹣b）【分析】（1）首先利用平方差公式因式分解因式，进而提取公因式得出即可；（2）将后三项运用完全平方公式分解因式进而利用平方差公式分解因式即可；（3）重新分组利用完全平方公式分解因式得出即可．【详解】解：（1）x2﹣y2﹣x﹣y＝（x＋y）（x﹣y）﹣（x＋y）＝（x＋y）（x﹣y﹣1）；（2）45am2﹣20ax2＋20axy﹣5ay2＝45am2﹣5a（4x2﹣4xy＋y2）＝5a[9m2﹣（2x﹣y）2]＝5a（3m﹣2x＋y）（3m＋2x﹣y）；（3）4a2＋4a﹣4a2b﹣b﹣4ab＋1＝（4a2＋4a＋1）﹣b（4a2＋4a＋1）＝（2a＋1）2（1﹣b）．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．25．(1)（x﹣y＋4）（x﹣y﹣4）(2)△ABC的形状是等腰三角形【分析】（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；（2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可．【详解】（1）x2-2xy+y2-16=（x-y）2-42=（x-y+4）（x-y-4）；（2）∵a2-ab-ac+bc=0∴a（a-b）-c（a-b）=0，∴（a-b）（a-c）=0，∴a=b或a=c，∴△ABC的形状是等腰三角形．【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出是解题关键．26．(1)(2)(3)(4)【分析】（1）原式先利用十字相乘法分解后，再利用平方差公式“”分解即可；（2）原式利用平方差公式分解即可；（3）原式利用完全平方公式“”分解即可；（4）原式利用平方差公式分解即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【点睛】本题考查了在实数范围内因式分解，掌握因式分解的方法是解决本题的关键．27．A【分析】先提取公因式，再根据平方差公式对这个多项式进行因式分解，从而得到呈现的密码信息．【详解】解：2x（a2﹣1）﹣2y（a2﹣1）＝2（a2﹣1）（x﹣y）＝2（a﹣1）（a+1）（x﹣y）＝2（x﹣y）（a+1）（a﹣1），结果呈现的密码信息可能是：我爱定西，故选：A．【点睛】本题考查了因式分解﹣分组分解法，一定要注意把每一个多项式分解到不能再分解为止．28．B【分析】先等式右边移项，再将等式左边分解因式可求得或，由，可得a=b，进而判定三角形的形状．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴或，∴或，∵，∴，∴a=b（舍去负值），∴△ABC是等腰三角形．故选：B．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，等腰三角形的判定，将等式化为或是解题的关键．29．（1）见解析；（2）3；（3）【分析】（1）利用完全平方公式将等式右边展开，合并同类项即可得到结论；（2）将数值代入计算即可；（3）根据已知先求出，再利用等式变形计算即可.【详解】解：（1）等式右边左边，得证；（2）当时，=3；（3）∵，∴，∵，∴.【点睛】此题考查整式的乘法公式—完全平方公式，已知字母的值求代数式的值，等式的变形计算，正确掌握等式各项之间的关系是解题的关键.30．(1)(2)(3)12．【分析】（1）先配完全平方，然后利用平方差公式即可．（2）先配方，然后根据求最值即可．（3）对移项、配方，根据平方大于等于0，确定每一项均为0，求解边长，进而得出周长．【详解】（1）解：．（2）解：∵∴∴多项式的最小值为．（3）解：∵∴即∴∴，，∴，，∴的周长．【点睛】本题考查了完全平方公式与平方差公式分解因式，代数式的最值，平方等知识．解题的关键在于正确的配方．