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第十四章第三课时乘法公式 知识清单＋例题讲解＋课后练习（含解析） 数学人教版八年级上册
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第三课时——乘法公式知识点一：平方差公式：1. 公式内容：两数的和乘以两数的差等于这两数的 平方差 ．即： ．2. 特点分析：式子左边是两个二项式相乘，它们其中一项 相同 ，另一项 互为相反数 ．式子右边等于 相同项 的平方减去 相反数项 的平方．3. 几何意义： 如图，将图①的蓝色部分移到图②的位置．图①的面积为：图②的面积为：图①与图②的面积相等．所以【类型一：平方差公式的计算】1．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．2．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【类型二：利用平方差公式求相关式子的值】3．已知a+b＝﹣3，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值是（ ）A．8 B．3 C．﹣3 D．104．若，则的值为（ ）A．3 B．6 C．9 D．125．若，，则的值为（ ）A． B． C． D．26．若，则的值为（ ）A．1 B．2 C．3【类型三：利用平方差公式简便运算】7．计算：（ ）A． B． C． D．8．计算20202－2019×2021的结果是( )A．－1 B．0 C．1 D．－29．化简的结果是( )A． B． C． D．【类型四：平方差公式的几何背景】10．如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个长方形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（ ） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）11．如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（ ）A． B．C． D．12．【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用含a，b的等式表示）【应用】请应用这个公式完成下列各题：（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 ．（2）计算：20192﹣2020×2018．【拓展】计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．知识点一：完全平方公式：1. 公式内容：两数和（或差）的平方等于这两数的平方和加（或减）这两数的积的2倍．即： ．其中 叫做完全平方和公式． 叫做完全平方差公式．2. 特点分析式子左边是一个 二项式 平方．前项称为 首项 ，后项称为 尾项 ．式子右边等于 首项平方 加上 尾项平方 ，首尾两项乘积的 2倍 放在平方两项的中央．巧记：首平方加尾平方，首尾两倍放中央．提别提示：注意每一项包含前面的符号．3. 几何意义： 图1中面积的整体表示为： 用各部分面积之和表示为： 所以 用同样的方法表示图2的面积即可得到．4. 完全平方和公式与完全平方差公式的转化： ， ∵ ∴【类型一：完全平方公式的计算】13．运用完全平方公式计算：(1)；(2)，(3)；(4)．14．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【类型二：利用完全平方公式变形求式子的值】15．已知，则的值为（ ）A．6 B．16 C．14 D．1816．已知 则的值为（ ）A． B．3 C．﹣ D．517．已知x y = 9，x－y=－3，则x2+3xy+y2的值为 （ ）A．27 B．9 C．54 D．1818．已知，求下列式子的值：(1)；(2)．19．已知，，求下列各式的值．(1)；(2)．【类型三：完全平方公式的几何背景】20．如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系，验证了一个等式，这个等式是（ ）A． B．C． D．21．有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形的面积之和为 （ ）A．13 B．11 C．19 D．2122．图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．(1)图2中的阴影部分的面积为 ；(2)观察图2，三个代数式之间的等量关系是 ；(3)若，求；(4)观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？知识点一：平方差公式与完全平方公式的推广：1. 平方差公式的推广：两个三项式相乘，若他们的项中只存在 相等 的项和 互为相反数 的项，则可以用平方差公式计算．它等于 相等项 的平方减去 相反数项 的平方．特别提示：把相反数的所有项看成一项．即：2. 完全平方公式的推广： 一个三项式的平方，可以把前两项看成首项或后两项看成尾项，然后利用完全平方公式的计算方法计算．即：23．为了运用平方差公式计算，下列变形中，正确的是( )A． B．C． D．24．为了便于直接应用平方差公式计算，应将变形为（ ）A． B．C． D．一、选择题（10题）25．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ）A． B．C． D．26．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）A．（3a﹣2b）（﹣2b﹣3a） B．（3a+2b）（﹣3a﹣2b）C．（3a+2b）（﹣2a﹣3b） D．（3a﹣2b）（3a+2b）27．下列计算正确的是（ ）A． B．C． D．28．若，则代数式A是（ ）A． B． C． D．29．已知，则的值为（ ）A． B． C． D．30．如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（ ） A．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2C．a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b） D．（a＋b）2＝（a﹣b）2＋4ab31．为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（ ）A． B．C． D．32．若|x+y﹣5|+＝0，则x2+y2的值为（ ）A．19 B．31 C．27 D．2333．计算：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4－b4)的结果是( )A．a8＋2a4b4＋b8 B．a8－2a4b4＋b8 C．a8＋b8 D．a8－b834．有两个正方形，现将放在的内部如图甲，将并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形的面积之和为（ ）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5二、填空题（6题）35．计算799-801-8002= ．36．计算： ．37．已知：，则 ．38．若xm﹣yn＝（x+y2）（x﹣y2）（x2+y4），则m＝ ，n＝ ．39．已知，则代数式的值为 ．40．计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+= ．三、解答题（4题）41．已知，，求与的值．42．如图，，是线段上一点，分别以，为边作正方形．(1)设，求两个正方形的面积和．(2)当分别为和时，比较的大小．43．回答下列问题(1)填空： (2)若，则 ；(3)若，求的值．44．【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．【理解应用】（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；【拓展升华】（2）利用（1）中的等式解决下列问题①已知，，求ab的值；②已知，求的值． 参考答案：1．(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据平方差公式直接计算可得答案；（2）根据平方差公式直接计算可得答案；（3）根据平方差公式直接计算可得答案；（4）根据平方差公式直接计算可得答案．【详解】（1）解：原式 ；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式；【点睛】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练掌握．2．(1)(2)(3)(4)0【分析】（1）直接利用平方差公式求解即可；（2）直接利用平方差公式求解即可；（3）直接利用平方差公式求解即可；（4）先利用平方差公式计算，然后合并同类项即可．【详解】（1）解：；（2）；（3）；（4）．【点睛】题目主要考查平方差公式及整式的加减运算，熟练掌握平方差公式是解题关键．3．C【分析】利用平方差公式求解即可．【详解】故选：C．【点睛】本题考查了利用平方差公式求整式的值，熟记公式是解题关键．另一个同样重要的公式是，完全平方公式，这是常考知识点，需重点掌握．4．C【详解】∵a+b=3，∴a2-b2+6b=(a+b)(a-b)+6b=3(a-b)+6b=3a-3b+6b=3a+3b=3(a+b)=9．故选C5．B【分析】根据平方差公式计算即可得到答案【详解】解：∵，∴，∴．故选B．【点睛】此题考查平方差公式，熟记公式并熟练应用是解题的关键．6．B【分析】由平方差公式，整体代入即可得解；【详解】解：∵，又∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查平方差公式以及其变形，熟练掌握平方差公式的结构特征是解决本题的关键．7．D【分析】首先把、分别化成、，然后应用平方差公式，求出算式的值即可．【详解】解： ．故选：D．【点睛】此题主要考查了平方差公式的应用，解答此题的关键是要明确：．8．C【分析】把2019×2021化为（2020-1）×（2020+1），再利用平方差公式计算后合并即可求解．【详解】20202－2019×2021=20202－（2020－1）×（2020+1）=20202－（20202－1）=20202－20202＋1=1.故选C．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，把2019×2021化为（2020-1）×（2020+1）是解决问题的关键．9．A【分析】将3转换成的形式，再利用平方差公式求解即可．【详解】故答案为：A．【点睛】本题考查了实数的化简运算问题，掌握平方差公式是解题的关键．10．A【分析】分别计算这两个图形阴影部分面积，根据面积相等即可得到．【详解】解：第一个图形的阴影部分的面积=a2-b2；第二个图形是长方形，则面积=（a+b）（a-b）．则a2-b2=（a+b）（a-b）．故选：A．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．11．A【分析】分别表示出两个图形的阴影部分的面积，通过面积相等得到等式，即可得出选项．【详解】解：根据图形可知：第一个图形阴影部分的面积为a2-b2，第二个图形阴影部分的面积为（a+b）（a-b），由面积相等可知，a2-b2=（a+b）（a-b），故选A．【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是阴影部分的面积不变．12．探究：(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2；应用：（1）3；（2）1；拓展：5050【分析】探究：将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；应用：（1）利用平方差公式得出(2m+n)•(2m-n)＝4m2-n2，代入求值即可；（2）可将2020×2018写成(2019+1)×(2019﹣1)，再利用平法差公式求值；拓展：利用平方差公式将1002﹣992写成(100+99)×(100﹣99)，以此类推，然后化简求值即可．【详解】解：探究：图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积(a+b)(a﹣b)，所以，得到乘法公式(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2故答案为：(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2．应用：（1）由得，∵，2m+n＝4∴2m﹣n＝3．故答案为：3．（2）20192﹣2020×2018． 拓展：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12【点睛】本题考查平方差公式的应用．解题关键是熟练掌握平方差公式．13．(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据完全平方公式进行计算即可；（2）根据完全平方公式进行计算即可；（3）根据完全平方公式进行计算即可；（4）根据完全平方公式进行计算即可；【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【点睛】本题主要考查了根据完全平方公式进行计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．．14．(1)(2)(3)(4)【分析】根据完全平方公式展开括号即可化简．【详解】（1）解; 原式（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式并能正确运用来解题是解决本题的关键．15．D【分析】利用完全平方公式变形，即可求解．【详解】解：∵，∴，解得：．故选：D【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．16．C【分析】根据完全平方公式得，代入即可求出答案．【详解】解：将两边平方得：，把代入得：，即，故选：C．【点睛】此题考查了完全平方公式的变形计算，正确掌握完全平方公式是解题的关键．17．C【详解】解：因为xy = 9，x－y=－3，所以x²+3xy+y²=（x²-2xy+y²）+5xy=（x-y）²+5xy=（-3）²+5×9=9+45=54，故选C．【点睛】考点：1．求代数式的值，2．配方法18．(1)(2)3【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式展开，进而求出的值；（2）直接利用（1）中所求，进而得出的值，求出答案即可．【详解】（1）∵，∴，∴，解得：；（2）∵，∴，解得：，∴．【点睛】此题考查了完全平方公式的变形应用，正确应用完全平方公式是解题关键．19．(1)(2)【分析】（1）利用完全平方差公式变形即可求解；（2）利用完全平方公式变形，将式子用含、的式子表示，再代入求解．【详解】（1）解：（2）解：【点睛】本题考查了完全平方公式及其变形式，根据公式的特征进行变形是求解的关键．20．D【分析】此图形中，一个大正方形的面积小正方形的面积=四个矩形的面积．【详解】解：如图，大正方形的面积，小正方形的面积，四个长方形的面积，则由图形知，大正方形的面积小正方形的面积四个矩形的面积，即．故选：D．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．21．C【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图形列出a、b的关系式求解即得.【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图甲得：，即，由图乙得：，整理得，所以.即正方形A、B的面积之和为19.故选C.【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用和整体代入的数学思想，根据图形得出数量关系是解题的关键.22．(1)(2)(3)(4)【分析】（1）表示出阴影部分的边长，即可得出其面积；（2）大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积，可得出三个代数式之间的等量关系．（3）根据（2）所得出的关系式，可求出，继而可得出的值．（4）利用两种不同的方法表示出大矩形的面积即可得出等式．【详解】（1）∵图②中的阴影部分的边长为，∴面积为，故答案为：；（2），故答案为：；（3），则；（4）．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，属于基础题，注意仔细观察图形，表示出各图形的面积是关键．23．D【分析】将看作整体，利用平方差公式进行计算即可求解．【详解】解：，故选：D．【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．24．B【分析】根据平方差公式的特点计算并判断．【详解】解：，故选：B．【点睛】此题考查了平方差公式：，即两个数的和乘以这两个数的差，正确掌握平方差公式的构成特点是解题的关键．25．D【分析】根据平方差公式找两数和与这两数的差即可得到答案．【详解】解：A、，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；B、，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；C、，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；D、，不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查平方差公式：解题的关键是熟练掌握．26．B【分析】先把各式变形，然后根据完全平方公式对各选项进行判断．【详解】解：A、原式=-（3a-2b）（3a+2b）=-（9a2-4b2）=-9a2+4b2，所以A选项不符合；B、原式=-（3a+2b）2=-9a2-12ab-4b2，所以B选项符合；C、原式=-（3a+2b）（2a+3b），不能使用完全平方公式，所以C选项不符合；D、原式=9a2-4b2，所以D选项不符合．故选：B．【点睛】本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．也考查了平方差公式．27．C【分析】根据完全平方公式和平方差公式可求得结果．【详解】解：A．，故A选项错误；B．，故B选项错误；C．，故C选项正确；D．，故D选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式，解决本题的关键是熟记公式并能正确运用公式对整式进行化简计算．28．C【分析】根据完全平方公式可进行求解．【详解】解：，．故选：C．【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．29．C【分析】根据完全平方公式的变形公式，代入求值，即可．【详解】∵，∴=，故选C．【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握完全平方公式的变形公式，是解题的关键．30．C【分析】分别表示图（1）和图（2）中阴影部分的面积即可得出答案．【详解】解：图（1）中阴影部分的面积为：a2﹣b2，图（2）中阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），故选择：C．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，用代数式表示各个图中阴影部分的面积是得出答案的关键．31．C【分析】根据平方差公式即可进行解答．【详解】解：运用平方差公式计算，应变形为，故选：C．【点睛】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式．32．A【分析】根据非负数的性质可得，，整理后再利用完全平方公式展开并整理即可得解．【详解】解：根据题意得，，，，，，．故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助．33．B【详解】根据平方差公式可直接求解，即原式=（）（）（）=（）2= a8－2a4b4＋b8故选B考点：平方差公式与完全平方公式34．B【分析】通过设 的面积分别为 和 ，而后根据图甲、图乙列出关系式便可得．【详解】设 的面积分别为 和，则图甲阴影部分面积为 ；图乙阴影部分面积为 ∴ 故答案是B【点睛】本题实际考查利用代数式的变形来求解，掌握代数式的变形求解是解题的关键．35．【分析】根据有理数混合运算法则进行计算即可．【详解】解：．故答案为：-640002．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．36．【分析】先将（a-b）作为一个整体，利用完全平方公式进行展开，再利用完全平方公式和单项式乘多项式将（a-b）去括号，即可得出．【详解】【点睛】本题考查了完全平方公式，能熟练理解和灵活运用完全平方公式是解题的关键．37．7【分析】两边同时平方，再运用完全平方公式计算即可．【详解】解：，，，故答案为：7．【点睛】本题考查了完全平方公式的运算，解题关键是熟练运用完全平方公式进行运算．38． 4 8【分析】根据平方差公式计算等式右边，即可得到答案．【详解】（x+y2）（x﹣y2）（x2+y4）＝（x2﹣y4）（x2+y4）＝（x4﹣y8），则m＝4，n＝8，故答案为：4，8．【点睛】此题考查了利用平方差公式计算，熟记平方差公式的计算方法是解题的关键．39．【分析】将和分别看做一个整体，把凑成完全平方的性质，即可进行解答．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了根据完全平方公式进行计算求解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，．40．．【分析】根据题意把多项式（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+转化为（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+=（532﹣1）+的形式，然后再利用平方差公式进行计算即可．【详解】解：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+，=（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+，=（532﹣1）+，=．故答案为：．【点睛】本题考查平方差公式的运用，根据题意添加（5﹣1）项构造成平方差公式的形式是解题的关键，注意要连续多次运用公式．41．；．【分析】已知等式，利用完全平方公式化简，相加即可求出的值，相减即可得出的值．【详解】解：∵①，②，∴①＋②得：，解得；①﹣②得：，解得：．，．【点睛】此题考查了完全平方公式、平方根的运用，熟练掌握完全平方公式和平方根的运算是解本题的关键．42．(1)(2)为时大【分析】（1）根据，得出的长度，即可得出的表达式，然后运用完全平方公式、合并同类项即可推出最后结果；（2）根据（1）得出的式子，可推出关于的表达式，然后，通过乘法运算，合并同类项即可推出最后结果，然后进行比较大小即可得出答案．【详解】（1）解：；（2）当时，；当时，；则为时大．【点睛】本题主要考查正方形的面积公式、整式的混合运算法则、完全平方公式，关键在于熟练掌握正方形的面积公式、完全平方公式．43．(1)2；2(2)23(3)7【分析】（1）将和展开，观察与的差异即可得到结果；（2）将等式两边同时平方，得到，移项计算即可求得的值；（3）将等式两边同除a得：，移项得，再将等式两边平方整理即可求得结果．【详解】（1）解：，，，；故答案为：2；2（2）解：，，；故答案为：23（3）解： 时方程不成立，，，两边同除a得：，移项得：，．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，解决本题的关键是能灵活运用完全平方公式．44．（1）；（2）①8；②2【分析】（1）根据面积公式阴影部分面积为两个正方形的面积之和，，也可以是大正方形面积-两个丙正方形的面积，由此即可得出等式；（2）①根据（1）的结论代入，即可得到，进而得出答案；②利用完全平方公式，进行变形即可求解．【详解】解：（1）（2）①由（1）知：，，所以．②【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，再利用公式进行适当变形求解是关键．
第三课时——乘法公式知识点一：平方差公式：1. 公式内容：两数的和乘以两数的差等于这两数的 平方差 ．即： ．2. 特点分析：式子左边是两个二项式相乘，它们其中一项 相同 ，另一项 互为相反数 ．式子右边等于 相同项 的平方减去 相反数项 的平方．3. 几何意义： 如图，将图①的蓝色部分移到图②的位置．图①的面积为：图②的面积为：图①与图②的面积相等．所以【类型一：平方差公式的计算】1．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．2．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【类型二：利用平方差公式求相关式子的值】3．已知a+b＝﹣3，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值是（ ）A．8 B．3 C．﹣3 D．104．若，则的值为（ ）A．3 B．6 C．9 D．125．若，，则的值为（ ）A． B． C． D．26．若，则的值为（ ）A．1 B．2 C．3【类型三：利用平方差公式简便运算】7．计算：（ ）A． B． C． D．8．计算20202－2019×2021的结果是( )A．－1 B．0 C．1 D．－29．化简的结果是( )A． B． C． D．【类型四：平方差公式的几何背景】10．如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个长方形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（ ） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）11．如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（ ）A． B．C． D．12．【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用含a，b的等式表示）【应用】请应用这个公式完成下列各题：（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 ．（2）计算：20192﹣2020×2018．【拓展】计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．知识点一：完全平方公式：1. 公式内容：两数和（或差）的平方等于这两数的平方和加（或减）这两数的积的2倍．即： ．其中 叫做完全平方和公式． 叫做完全平方差公式．2. 特点分析式子左边是一个 二项式 平方．前项称为 首项 ，后项称为 尾项 ．式子右边等于 首项平方 加上 尾项平方 ，首尾两项乘积的 2倍 放在平方两项的中央．巧记：首平方加尾平方，首尾两倍放中央．提别提示：注意每一项包含前面的符号．3. 几何意义： 图1中面积的整体表示为： 用各部分面积之和表示为： 所以 用同样的方法表示图2的面积即可得到．4. 完全平方和公式与完全平方差公式的转化： ， ∵ ∴【类型一：完全平方公式的计算】13．运用完全平方公式计算：(1)；(2)，(3)；(4)．14．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【类型二：利用完全平方公式变形求式子的值】15．已知，则的值为（ ）A．6 B．16 C．14 D．1816．已知 则的值为（ ）A． B．3 C．﹣ D．517．已知x y = 9，x－y=－3，则x2+3xy+y2的值为 （ ）A．27 B．9 C．54 D．1818．已知，求下列式子的值：(1)；(2)．19．已知，，求下列各式的值．(1)；(2)．【类型三：完全平方公式的几何背景】20．如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系，验证了一个等式，这个等式是（ ）A． B．C． D．21．有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形的面积之和为 （ ）A．13 B．11 C．19 D．2122．图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．(1)图2中的阴影部分的面积为 ；(2)观察图2，三个代数式之间的等量关系是 ；(3)若，求；(4)观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？知识点一：平方差公式与完全平方公式的推广：1. 平方差公式的推广：两个三项式相乘，若他们的项中只存在 相等 的项和 互为相反数 的项，则可以用平方差公式计算．它等于 相等项 的平方减去 相反数项 的平方．特别提示：把相反数的所有项看成一项．即：2. 完全平方公式的推广： 一个三项式的平方，可以把前两项看成首项或后两项看成尾项，然后利用完全平方公式的计算方法计算．即：23．为了运用平方差公式计算，下列变形中，正确的是( )A． B．C． D．24．为了便于直接应用平方差公式计算，应将变形为（ ）A． B．C． D．一、选择题（10题）25．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ）A． B．C． D．26．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）A．（3a﹣2b）（﹣2b﹣3a） B．（3a+2b）（﹣3a﹣2b）C．（3a+2b）（﹣2a﹣3b） D．（3a﹣2b）（3a+2b）27．下列计算正确的是（ ）A． B．C． D．28．若，则代数式A是（ ）A． B． C． D．29．已知，则的值为（ ）A． B． C． D．30．如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（ ） A．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2C．a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b） D．（a＋b）2＝（a﹣b）2＋4ab31．为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（ ）A． B．C． D．32．若|x+y﹣5|+＝0，则x2+y2的值为（ ）A．19 B．31 C．27 D．2333．计算：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4－b4)的结果是( )A．a8＋2a4b4＋b8 B．a8－2a4b4＋b8 C．a8＋b8 D．a8－b834．有两个正方形，现将放在的内部如图甲，将并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形的面积之和为（ ）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5二、填空题（6题）35．计算799-801-8002= ．36．计算： ．37．已知：，则 ．38．若xm﹣yn＝（x+y2）（x﹣y2）（x2+y4），则m＝ ，n＝ ．39．已知，则代数式的值为 ．40．计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+= ．三、解答题（4题）41．已知，，求与的值．42．如图，，是线段上一点，分别以，为边作正方形．(1)设，求两个正方形的面积和．(2)当分别为和时，比较的大小．43．回答下列问题(1)填空： (2)若，则 ；(3)若，求的值．44．【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．【理解应用】（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；【拓展升华】（2）利用（1）中的等式解决下列问题①已知，，求ab的值；②已知，求的值． 参考答案：1．(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据平方差公式直接计算可得答案；（2）根据平方差公式直接计算可得答案；（3）根据平方差公式直接计算可得答案；（4）根据平方差公式直接计算可得答案．【详解】（1）解：原式 ；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式；【点睛】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练掌握．2．(1)(2)(3)(4)0【分析】（1）直接利用平方差公式求解即可；（2）直接利用平方差公式求解即可；（3）直接利用平方差公式求解即可；（4）先利用平方差公式计算，然后合并同类项即可．【详解】（1）解：；（2）；（3）；（4）．【点睛】题目主要考查平方差公式及整式的加减运算，熟练掌握平方差公式是解题关键．3．C【分析】利用平方差公式求解即可．【详解】故选：C．【点睛】本题考查了利用平方差公式求整式的值，熟记公式是解题关键．另一个同样重要的公式是，完全平方公式，这是常考知识点，需重点掌握．4．C【详解】∵a+b=3，∴a2-b2+6b=(a+b)(a-b)+6b=3(a-b)+6b=3a-3b+6b=3a+3b=3(a+b)=9．故选C5．B【分析】根据平方差公式计算即可得到答案【详解】解：∵，∴，∴．故选B．【点睛】此题考查平方差公式，熟记公式并熟练应用是解题的关键．6．B【分析】由平方差公式，整体代入即可得解；【详解】解：∵，又∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查平方差公式以及其变形，熟练掌握平方差公式的结构特征是解决本题的关键．7．D【分析】首先把、分别化成、，然后应用平方差公式，求出算式的值即可．【详解】解： ．故选：D．【点睛】此题主要考查了平方差公式的应用，解答此题的关键是要明确：．8．C【分析】把2019×2021化为（2020-1）×（2020+1），再利用平方差公式计算后合并即可求解．【详解】20202－2019×2021=20202－（2020－1）×（2020+1）=20202－（20202－1）=20202－20202＋1=1.故选C．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，把2019×2021化为（2020-1）×（2020+1）是解决问题的关键．9．A【分析】将3转换成的形式，再利用平方差公式求解即可．【详解】故答案为：A．【点睛】本题考查了实数的化简运算问题，掌握平方差公式是解题的关键．10．A【分析】分别计算这两个图形阴影部分面积，根据面积相等即可得到．【详解】解：第一个图形的阴影部分的面积=a2-b2；第二个图形是长方形，则面积=（a+b）（a-b）．则a2-b2=（a+b）（a-b）．故选：A．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．11．A【分析】分别表示出两个图形的阴影部分的面积，通过面积相等得到等式，即可得出选项．【详解】解：根据图形可知：第一个图形阴影部分的面积为a2-b2，第二个图形阴影部分的面积为（a+b）（a-b），由面积相等可知，a2-b2=（a+b）（a-b），故选A．【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是阴影部分的面积不变．12．探究：(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2；应用：（1）3；（2）1；拓展：5050【分析】探究：将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；应用：（1）利用平方差公式得出(2m+n)•(2m-n)＝4m2-n2，代入求值即可；（2）可将2020×2018写成(2019+1)×(2019﹣1)，再利用平法差公式求值；拓展：利用平方差公式将1002﹣992写成(100+99)×(100﹣99)，以此类推，然后化简求值即可．【详解】解：探究：图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积(a+b)(a﹣b)，所以，得到乘法公式(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2故答案为：(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2．应用：（1）由得，∵，2m+n＝4∴2m﹣n＝3．故答案为：3．（2）20192﹣2020×2018． 拓展：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12【点睛】本题考查平方差公式的应用．解题关键是熟练掌握平方差公式．13．(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据完全平方公式进行计算即可；（2）根据完全平方公式进行计算即可；（3）根据完全平方公式进行计算即可；（4）根据完全平方公式进行计算即可；【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【点睛】本题主要考查了根据完全平方公式进行计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．．14．(1)(2)(3)(4)【分析】根据完全平方公式展开括号即可化简．【详解】（1）解; 原式（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式并能正确运用来解题是解决本题的关键．15．D【分析】利用完全平方公式变形，即可求解．【详解】解：∵，∴，解得：．故选：D【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．16．C【分析】根据完全平方公式得，代入即可求出答案．【详解】解：将两边平方得：，把代入得：，即，故选：C．【点睛】此题考查了完全平方公式的变形计算，正确掌握完全平方公式是解题的关键．17．C【详解】解：因为xy = 9，x－y=－3，所以x²+3xy+y²=（x²-2xy+y²）+5xy=（x-y）²+5xy=（-3）²+5×9=9+45=54，故选C．【点睛】考点：1．求代数式的值，2．配方法18．(1)(2)3【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式展开，进而求出的值；（2）直接利用（1）中所求，进而得出的值，求出答案即可．【详解】（1）∵，∴，∴，解得：；（2）∵，∴，解得：，∴．【点睛】此题考查了完全平方公式的变形应用，正确应用完全平方公式是解题关键．19．(1)(2)【分析】（1）利用完全平方差公式变形即可求解；（2）利用完全平方公式变形，将式子用含、的式子表示，再代入求解．【详解】（1）解：（2）解：【点睛】本题考查了完全平方公式及其变形式，根据公式的特征进行变形是求解的关键．20．D【分析】此图形中，一个大正方形的面积小正方形的面积=四个矩形的面积．【详解】解：如图，大正方形的面积，小正方形的面积，四个长方形的面积，则由图形知，大正方形的面积小正方形的面积四个矩形的面积，即．故选：D．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．21．C【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图形列出a、b的关系式求解即得.【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图甲得：，即，由图乙得：，整理得，所以.即正方形A、B的面积之和为19.故选C.【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用和整体代入的数学思想，根据图形得出数量关系是解题的关键.22．(1)(2)(3)(4)【分析】（1）表示出阴影部分的边长，即可得出其面积；（2）大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积，可得出三个代数式之间的等量关系．（3）根据（2）所得出的关系式，可求出，继而可得出的值．（4）利用两种不同的方法表示出大矩形的面积即可得出等式．【详解】（1）∵图②中的阴影部分的边长为，∴面积为，故答案为：；（2），故答案为：；（3），则；（4）．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，属于基础题，注意仔细观察图形，表示出各图形的面积是关键．23．D【分析】将看作整体，利用平方差公式进行计算即可求解．【详解】解：，故选：D．【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．24．B【分析】根据平方差公式的特点计算并判断．【详解】解：，故选：B．【点睛】此题考查了平方差公式：，即两个数的和乘以这两个数的差，正确掌握平方差公式的构成特点是解题的关键．25．D【分析】根据平方差公式找两数和与这两数的差即可得到答案．【详解】解：A、，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；B、，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；C、，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；D、，不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查平方差公式：解题的关键是熟练掌握．26．B【分析】先把各式变形，然后根据完全平方公式对各选项进行判断．【详解】解：A、原式=-（3a-2b）（3a+2b）=-（9a2-4b2）=-9a2+4b2，所以A选项不符合；B、原式=-（3a+2b）2=-9a2-12ab-4b2，所以B选项符合；C、原式=-（3a+2b）（2a+3b），不能使用完全平方公式，所以C选项不符合；D、原式=9a2-4b2，所以D选项不符合．故选：B．【点睛】本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．也考查了平方差公式．27．C【分析】根据完全平方公式和平方差公式可求得结果．【详解】解：A．，故A选项错误；B．，故B选项错误；C．，故C选项正确；D．，故D选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式，解决本题的关键是熟记公式并能正确运用公式对整式进行化简计算．28．C【分析】根据完全平方公式可进行求解．【详解】解：，．故选：C．【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．29．C【分析】根据完全平方公式的变形公式，代入求值，即可．【详解】∵，∴=，故选C．【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握完全平方公式的变形公式，是解题的关键．30．C【分析】分别表示图（1）和图（2）中阴影部分的面积即可得出答案．【详解】解：图（1）中阴影部分的面积为：a2﹣b2，图（2）中阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），故选择：C．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，用代数式表示各个图中阴影部分的面积是得出答案的关键．31．C【分析】根据平方差公式即可进行解答．【详解】解：运用平方差公式计算，应变形为，故选：C．【点睛】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式．32．A【分析】根据非负数的性质可得，，整理后再利用完全平方公式展开并整理即可得解．【详解】解：根据题意得，，，，，，．故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助．33．B【详解】根据平方差公式可直接求解，即原式=（）（）（）=（）2= a8－2a4b4＋b8故选B考点：平方差公式与完全平方公式34．B【分析】通过设 的面积分别为 和 ，而后根据图甲、图乙列出关系式便可得．【详解】设 的面积分别为 和，则图甲阴影部分面积为 ；图乙阴影部分面积为 ∴ 故答案是B【点睛】本题实际考查利用代数式的变形来求解，掌握代数式的变形求解是解题的关键．35．【分析】根据有理数混合运算法则进行计算即可．【详解】解：．故答案为：-640002．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．36．【分析】先将（a-b）作为一个整体，利用完全平方公式进行展开，再利用完全平方公式和单项式乘多项式将（a-b）去括号，即可得出．【详解】【点睛】本题考查了完全平方公式，能熟练理解和灵活运用完全平方公式是解题的关键．37．7【分析】两边同时平方，再运用完全平方公式计算即可．【详解】解：，，，故答案为：7．【点睛】本题考查了完全平方公式的运算，解题关键是熟练运用完全平方公式进行运算．38． 4 8【分析】根据平方差公式计算等式右边，即可得到答案．【详解】（x+y2）（x﹣y2）（x2+y4）＝（x2﹣y4）（x2+y4）＝（x4﹣y8），则m＝4，n＝8，故答案为：4，8．【点睛】此题考查了利用平方差公式计算，熟记平方差公式的计算方法是解题的关键．39．【分析】将和分别看做一个整体，把凑成完全平方的性质，即可进行解答．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了根据完全平方公式进行计算求解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，．40．．【分析】根据题意把多项式（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+转化为（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+=（532﹣1）+的形式，然后再利用平方差公式进行计算即可．【详解】解：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+，=（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+，=（532﹣1）+，=．故答案为：．【点睛】本题考查平方差公式的运用，根据题意添加（5﹣1）项构造成平方差公式的形式是解题的关键，注意要连续多次运用公式．41．；．【分析】已知等式，利用完全平方公式化简，相加即可求出的值，相减即可得出的值．【详解】解：∵①，②，∴①＋②得：，解得；①﹣②得：，解得：．，．【点睛】此题考查了完全平方公式、平方根的运用，熟练掌握完全平方公式和平方根的运算是解本题的关键．42．(1)(2)为时大【分析】（1）根据，得出的长度，即可得出的表达式，然后运用完全平方公式、合并同类项即可推出最后结果；（2）根据（1）得出的式子，可推出关于的表达式，然后，通过乘法运算，合并同类项即可推出最后结果，然后进行比较大小即可得出答案．【详解】（1）解：；（2）当时，；当时，；则为时大．【点睛】本题主要考查正方形的面积公式、整式的混合运算法则、完全平方公式，关键在于熟练掌握正方形的面积公式、完全平方公式．43．(1)2；2(2)23(3)7【分析】（1）将和展开，观察与的差异即可得到结果；（2）将等式两边同时平方，得到，移项计算即可求得的值；（3）将等式两边同除a得：，移项得，再将等式两边平方整理即可求得结果．【详解】（1）解：，，，；故答案为：2；2（2）解：，，；故答案为：23（3）解： 时方程不成立，，，两边同除a得：，移项得：，．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，解决本题的关键是能灵活运用完全平方公式．44．（1）；（2）①8；②2【分析】（1）根据面积公式阴影部分面积为两个正方形的面积之和，，也可以是大正方形面积-两个丙正方形的面积，由此即可得出等式；（2）①根据（1）的结论代入，即可得到，进而得出答案；②利用完全平方公式，进行变形即可求解．【详解】解：（1）（2）①由（1）知：，，所以．②【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，再利用公式进行适当变形求解是关键．
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