【全套精品专题】通用版八年级上数学学案 因式分解（知识梳理+同步练习无答案）

因式分解题目一般不难，但做题时需注意先尝试用提公因式法，再尝试用公式法和分组分解法，最后需检查结果是否符合要求。

1.定义：把一个多项式化成几个既约整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式．

2.提公因式法

如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

3.公式法

平方差公式：

完全平方公式：；

5.因式分解结果的要求：

例1.分解因式x3+x的结果是（　　）

A．x（x2+1） B． 

C．x（x+1） D．x（x+1）2

例2.因式分解：              ．

变式1.把2ax2+4ax进行因式分解，提取的公因式是（　　）

A．2a B．2x C．ax D．2ax

变式2.812﹣81肯定能被（　　）整除．

A．79 B．80 C．82 D．83

变式3.（2019年长郡八上期中）先化简，再求值，，其中.

例3.（2019年麓山八上期中改编）因式分解：＝_____________．

例4.（2019年雅礼八上期中）已知，，则的值为　   　．

变式1.（2020年雅礼八上期中）分解因式：________________．

变式2.若x﹣2y＝3，xy＝1，则2x2y﹣4xy2＝________．

变式3.分解因式的结果是___________________．

变式4.若ab＝3，a﹣b＝1，则代数式a2b﹣ab2的值等于___________．

例5.分解因式：=          ．

变式1.（2020年明德八上期中）因式分解：______________．

变式2.（2019年长郡八上期中）因式分解：＝______________．

变式3.（2019年青一八上期中）因式分解：______________．

变式4.（2020年长郡八上期中）＝________．

例6.（2019年麓山八上期中）若是一个完全平方式，则的值为_____.

变式1.分解因式：＝（　　）

A．（2+3a﹣3b）2 B．（2﹣3a﹣3b）2 C．（2+3a+3b）2 D．（2﹣3a+3b）2

变式2.若x2+mx+9＝（x+3）2，则m的值是（　　）

A．﹣18 B．18 C．﹣6 D．6

变式3.若代数式x2﹣6x+b可化为（x﹣a）2，则b﹣a的值（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

变式4.关于的二次三项式能用完全平方公式分解因式，则的值是　　

A． B． C．12 D．

变式5.下列各式中，能用完全平方公式分解的个数为　　

①：②；③；④；⑤

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

变式6.如果代数式能够分解成的形式，那么的值是　　

A．10 B． C． D．

例7.已知x=y+95，则代数式x2﹣2xy+y2﹣25=      ．

变式1.若，则a2﹣2a+1的值为______．

变式2.若能用完全平方公式因式分解，则k的值为______________．

变式3.下面是某同学对多项式进行因式分解

的过程

解：设，

原式　（第一步）

　（第二步）

（第三步）

（第四步）

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　  　（填序号）．

．提取公因式                           ．平方差公式

．两数和的完全平方公式             ．两数差的完全平方公式

（2）该同学在第四步将用所设中的的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？　 　．（填“是”或“否” 如果否，直接写出最后的结果　 　．

（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．

例8.把多项式x3﹣4x分解因式所得的结果是（　　）

A.        B.   C.   D.

例9.把多项式4a2b+4ab2+b3因式分解，正确的是（　　）

A.   B.        C.    D.

变式1.（2020年雅礼八上期中）下列因式分解错误的是(   )

A.        B.

C.   D.

变式2.下列各式分解因式正确的是　　

A． B． 

C． D．

变式3.（2018年长郡八上期中）下列由左到右的变形中，是因式分解的是（    ）

变式4.下列分解因式正确的是　　

A． B． 

C． D．

例10.将下列各式因式分解

（1）；      （2）．

变式1.ax2﹣2axy+ay2＝______________．

变式2.因式分解：2m2﹣12m+18＝______________．

变式3.下列因式分解正确的是（　　）

A． B．

C． D．

变式4. a4b﹣6a3b+9a2b分解因式得正确结果为（　　）

A．a2b（a2﹣6a+9） B．

C． D．

变式5.先化简，再求值：，其中.

例11.多项式ab﹣bc+a2﹣c2分解因式的结果是________

例12.把多项式x2+y2﹣2xy﹣1因式分解的结果是_____

变式1.下列各式中，正确分解因式的个数为（　　）

①x3+2xy+x＝x（x2+2y）

②x2+2xy+4y2＝（x+2y）2

③

④

⑤

A．1 B．2 C．3 D．4

变式2.因式分解：m2﹣my+mx﹣yx＝_________________．

变式3.因式分解b2﹣2bc+c2﹣1＝_____________________．

变式4.（2020年雅实八上期中）已知，，试求下列各式的值.

（1）；        （2）

例13.先阅读下列两段材料，再解答下列问题：

（一）例题：分解因式：（a+b）2﹣2（a+b）+1

解：将“a+b”看成整体，设M＝a+b，则原式＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2，再将“M”还原，得原式＝（a+b﹣1）2

上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法；

（二）常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了．

过程为：

这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法．

利用上述数学思想方法解决下列问题：

（1）分解因式；

（2）分解因式．xy2﹣2xy+2y﹣4；

（3）分解因式：．

（4）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．

变式1.分解因式：

（1）2x2﹣18；     （2）a2﹣4ab+4b2﹣9．

变式2.分解因式：6k2+9km﹣6mn﹣4kn．

变式3.先阅读下列材料，再解答下列问题：

材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．

解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．

再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．

上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：

（1）因式分解：．

（2）因式分解：；

变式4.（2019年麓山八上期中）阅读材料：选取二次三项式中两项，配成完全平方式的过程叫配方，配方的基本形式是完全平方公式的逆写，即.例如：

①选取二次项和一次项配方：

②选取二次项和常数项配方：，

或

③选取一次项和常数项配方：

请根据阅读材料解决下列问题：

(1)比照上面的例子，将二次三项式配成完全平方式(直接写出两种形式)；

(2)将分解因式；

(3)已知、、是的三边长，且满足，试判断此三角形的形状.

例14.已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值____。（与0比较）

例15.若，则_________．

变式1.(2018年广益八上期中）若，则          .

变式2.若m+n＝4，则2m2+4mn+2n2﹣5的值为（　　）

A．27 B．11 C．3 D．0

变式3.已知，，则的值________．

变式4.已知a，b，c为△ABC三边，且满足ab+bc＝b2+ac，则△ABC是（　　）

A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定

变式5. 248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（　　）

A．61和63 B．63和65 C．65和67 D．64和67

例16.已知：，，则的值等于_____．

变式1.小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：蜀、爱、我、巴、丽、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）

A．我爱美 B．巴蜀美 C．我爱巴蜀 D．巴蜀美丽

变式2.（2019年广益八上期中）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：益，爱，我，数，学，广，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是(    )

A.我爱学    B.爱广益    C.我爱广益   D.广益数学

变式3.已知，，，则代数式________．

变式4.（2019年长郡八上期中）已知：，，则__________.

变式5.（2020年雅礼八上期中）已知，，求下列各式的值：

(1)

(2).

1.（2020年青一八上期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ）

A.              B.         

C.           D.

2.（2020年麓山八上期中）下列各式中，运算错误的是（    ）

A.                    B.

C.                       D.

3.（2019年麓山八上期中）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是(    )

A.     B.

C.    D.

4.（2020年明德八上期末）已知，则代数式的值为（    ）

A．      B．               C．    D．

5.（2019年长郡八上期中）若，则括号内应填的代数式是(    )

A.   B.             C.  D.

6.（2019年麓山八上期中）把因式分解时，应提的公因式是(    )

A.   B.   C.    D.

7.（2019年麓山八上期中）已知，，，则代数式的值是(    )

A.     B.    C.    D.

8.（2018年中雅八上期中）下列式子从左到右变形是因式分解的是（     ）

9.（2018年雅实八上第三次月考）要使的展开式中不含项，则_______.

10.（2020年青一八上期中）因式分解：

11.（2019年师博变式第三次月考)已知：，，求下列各式的值

(1)     

(2)

12.（2020年北雅八上第三次月考）已知，.

（1）求的值

（2）求的值.

13.（2020年长郡八上期中）计算：

（1）                      （2）

14.（2019年中雅八上第三次月考）利用所学的知识计算：

（1）已知和都为正数，，，求的值；

（2）已知，，为等腰△的三边的长，若。求等腰△的周长。

15.（2020年雅实八上期中）利用所学的知识计算：

（1）已知，且，，求的值；

（2）已知、、为的三边长，若，求的周长.

16.（2019年雅实八上第三次月考）先阅读下面的内容，再解决问题.

例题：若，求和的值.

解：∵

∴

即

∴，

∴，

问题：(1)若，求的值；

(2)已知是的三边长，满足，且中最长的边的长度为，求的取值范围.