人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解综合与测试精品同步练习题

第十四章 整式的乘法与因式分解验收卷

一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）

1．下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是 （   ）

A．（a+1）（a-1）=a2-1 B．ab+ac+1=a（b+c）+1

C． a2-2a-3=（a-1）（a-3） D．a2-8a+16=（a-4）2

【答案】D

【分析】

分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．

【详解】

解：A、是多项式乘法，不是因式分解，原变形错误，故此选项不符合题意；

B、右边不是整式的积的形式，不是因式分解，原变形错误，故此选项不符合题意；

C、a2-2a-3=（a+1）（a-3）分解时出现符号错误，原变形错误，故此选项不符合题意；

D、符合因式分解的定义，是因式分解，原变形正确，故此选项符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查了因式分解．解题的关键是理解因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，然后进行正确的因式分解．

2．a6÷a3的计算结果是（    ）

A．a9 B．a18 C．a3 D．a2

【答案】C

【分析】

同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此计算即可．

【详解】

解：a6÷a3=a6-3=a3．

故选：C．

【点睛】

本题考查了同底数幂的除法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．

3．(x－2)(x+3)等于  （    ）

A．x2－6 B．x2－x+6 C．x2+x－6 D．x2+x－5

【答案】C

【分析】

应用多项式与多项式相乘的法则:多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一 项，再把所得的

积相加，进性计算即可得出答案．

【详解】

解：

，

故选C．

【点睛】

本题考查了多项式和单项式的混合运算，掌握运算法则是关键．

4．的结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可．

【详解】

解：，

故选C．

【点睛】

本题主要考查了单项式乘以单项式，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行求解．

5．若，则的值为（    ）

A． B． C．5 D．7

【答案】B

【分析】

根据多项式乘多项式法则把左边式子展开，进而即可求解．

【详解】

解：∵，

∴，

∴a=-5．

故选B．

【点睛】

本题主要考查多项式乘多项式法则，掌握整式的运算法则是解题的关键．

6．计算正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【分析】

根据互为相反数的偶次方相等即可得出结论．

【详解】

解：．

故选择A．

【点睛】

本题考查互为相反数的偶次幂的性质，同底数幂的乘法，掌握互为相反数的偶次幂的性质进行恒等变形是解题关键．

7．如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

由图甲可知阴影部分的面积=大正方形的面积－两个长方形的面积＋两个长方形重合部分的面积，由图乙可知阴影部分是边长为的正方形，从而可知其面积为，从而得出结论．

【详解】

解：由图甲可知：阴影部分的面积为：，图乙中阴影部分的面积为：，

所以，

故选：C．

【点睛】

此题考查的是完全平方公式的几何意义，掌握阴影部分面积的两种求法是解决此题的关键．

8．如图，边长为，的长方形，它的周长为，面积为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

先根据长方形的周长和面积得出a+b和ab的值，再将的前两项提出ab，然后代入求出即可．

【详解】

解：∵边长为，的长方形，它的周长为，面积为，

∴a+b=7，ab=10，

∴

故选：B

【点睛】

本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了数学整体思想和正确运算的能力．

9．中，为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据除数=被除数÷商，将两个多项式化简，约分，可求出单项式M．

【详解】

故选：C．

【点睛】

本题考查了被除数、除数、商，三者之间的关系以及多项式除以单项式，涉及因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键．

10．利用因式分解简便计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

利用提公因式分法将99提公因式进行计算即可判断．

【详解】

解：69×99+32×99-99

=99（69+32-1）

=99×100

=9900．

故选：B．

【点睛】

本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解．

11．计算的结果与下面计算结果一样的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据完全平方公式： ，进行求解即可．

【详解】

解：，

故选D．

【点睛】

本题主要考查了完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式．

12．已知为任意实数，则多项式的值为（    ）

A．一定为负数 B．不可能为正数 C．一定为正数 D．正数或负数或零

【答案】B

【分析】

利用完全平方公式进行转化即可得出结果．

【详解】

解：

∵

∴

故选：

【点睛】

本题主要考查了因式分解，熟悉掌握完全平方公式是解题的关键．

13．比较与的大小：因为，，而，所以，即．据此可知、、的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

利用幂的乘法把、、化为指数都为11的幂，然后比较底数的大小即可．

【详解】

解：因为355＝（35）11＝24311，444＝（44）11＝25611，533＝（53）11＝12511，

而125＜243＜256，

所以12511＜24311＜25611，即533＜355＜444．

故选：D．

【点睛】

本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即（am）n＝amn（m，n是正整数）；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（ab）n＝anbn（n是正整数）．

14．观察下列运算

（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1

（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1

（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1

我们发现规律：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）＝xn﹣1（n为正整数）：利用这个公式计算：32021+32020+…+33+32+3＝（　　）

A．32022﹣1 B． C． D．

【答案】D

【分析】

观察一系列等式得到一般性规律，利用即可确定出所求式子的结果．

【详解】

解：∵（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）＝xn﹣1（n为正整数），

∴（3﹣1）（32021+32020+…+33+32+3+1）＝32022﹣1，

∴32021+32020+…+33+32+3+1＝，

∴32021+32020+…+33+32+3＝．

故选D．

【点睛】

本题主要考查了数字类的规律，解题的关键在于能够准确读懂题意．

二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）

15．因式分解：x3y2－x＝________

【答案】x（xy＋1）（xy－1）

【分析】

先提公因式x，再根据平方差公式进行分解，即可得出答案．

【详解】

解： x3y2－x＝x（x2y2－1）＝x（xy＋1）（xy－1）

故答案为x（xy＋1）（xy－1）．

【点睛】

此题考查了因式分解的方法，涉及了平方差公式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

16．若x2－2x＋2＝（x－1）2＋m，则m＝__________．

【答案】1

【分析】

将等式右边展开，依照等式左边的形式，得到m+1=2，可得m值．

【详解】

解：∵，

∴m+1=2，

∴m=1，

故答案为：1

【点睛】

本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式法则．

17．若的展开式中不包含项和项，则＝__________．

【答案】4

【分析】

根据多项式乘以多项式的方法展开，根据已知条件求出m，n，代入求解即可；

【详解】

，

，

，

∵不包含项和项，

∴，

解得：，

∴；

故答案是4．

【点睛】

本题主要考查了多项式乘以多项式、二元一次方程组的求解、代数式求值，准确计算是解题的关键．

18．如图所示，长方形ABCD中放置两个边长都为5的正方形AEFG与正方形CHIJ，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形ABCD的面积记为，已知：，则长方形ABCD的周长为______．

【答案】30

【分析】

设KF=a，FL=b，利用a、b表示出图中阴影部分的面积与长方形的面积，然后根据可得a、b的关系式，然后可求周长．

【详解】

解：设KF=a，FL=b，

由图可知EK=BH=LJ=GD=5-a，KH=EB=GL=DJ=5-b，

∴=2（5-a）(5-b)+ab=25-5a-5b+3ab，

=（5+5-b）(5+5-a)=100-10a-10b+ab，

∵，

∴3（100-10a-10b+ab）-（25-5a-5b+3ab）=150，

整理得a+b=5，

∴长方形ABCD的周长为2（AB+BC）=2(5+5-b+5+5-a)=30，

故答案为：30．

【点睛】

此题考查列代数式表示图形面积及代数式求值，利用长方形KFLI的长和宽表示出图形面积是解题的关键．

三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）

19．因式分解：

（1）4xy2﹣4x2y﹣y3；

（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）直接提取公因式﹣y，再利用完全平方公式分解因式即可；

（2）直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．

【详解】

解：（1）原式

；

（2）原式

．

【点睛】

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．

20．先化简，再求值：，其中m＝1，n＝．

【答案】，-9

【分析】

根据平方差公式以及整式的混合运算法则，进行化简，再代入求值，即可求解．

【详解】

解：原式=

=

=，

当m＝1，n＝时，原式=．

【点睛】

本题主要考查整式的化简求值，掌握平方差公式和整式的混合运算法则是解题的关键．

21．规定，求：

（1）求

（2）若，求的值．

【答案】（1）16；（2）

【分析】

（1）直接利用已知，将原式按定义式变形得出答案；

（2）直接利用已知将原式变形得出等式，再利用同底数幂相等指数相等列方程求出答案即可．

【详解】

解：（1）＝＝16；

（2）∵，

∴

∴

∴

∴．

【点睛】

本题主要考查了新定义运算以及同底数幂的乘法运算，正确的将原式按照定义式变形是解题的关键．利用同底数幂的乘法法则时应注意：底数必须相同；指数是1时，不要误以为没有指数．

22．已知m+n=2，mn=-15，求下列各式的值．

（1）；

（2）．

【答案】（1）-11；（2）68

【分析】

（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；

（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．

【详解】

解：（1）

=

=

=

=-11；

（2）

=

=

=

=68

【点睛】

此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键．

23．阅读下列各式：回答下列三个问题：

①验证：_________，___________；

②通过上述验证，归纳得出：_________；________；

③请应用上述性质计算：

【答案】①1,1；

②，；

③-.

【分析】

①把问题分别转化为和处理即可；

②将猜到规律推广到n次方和三个因数情形即可；

③把和分别变形为和就可逆用上述规律计算即可.

【详解】

①∵=1，

∴1；

∵，

∴1，

故依次填1,1；

②∵1，1，

∴，

由此可得：；；

故依次填，；

③ ∵=，，

∴

=×

=

=.

【点睛】

本题考查了规律的验证，猜想和应用，熟练逆用同底数幂的乘法公式和发现的规律是解题的关键.

24．观察下列关于自然数的等式：①；②；③；…

根据上述规律解决下列问题：

（1）请仿照①、②、③，直接写出第个等式：          ．

（2）请写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性．

【答案】（1）；（2），证明见解析

【分析】

（1）观察已知等式得到第4个等式即可；

（2）归纳总结作出猜想得到第个等式，运用整式乘法的运算法则验证即可．

【详解】

解：（1）由题意可得：第4个等式为；

故答案为：；

（2）猜想第个等式为：，证明如下：

左式，右式，

左式右式，

该等式成立．

【点睛】

此题考查了数字类的规律探究及整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

25．图1在一个长为2a，宽为2b的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

（1）图2中阴影部分的正方形边长为          ．

（2）请你用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，并用等式表示．

（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝28，求图中阴影部分面积．

【答案】（1）a−b；（2）（a−b）2＝（a＋b）2−4ab；（3）9

【分析】

（1）根据大、小正方形的边长与长方形边长之间的关系可得答案；

（2）用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即可得出等式；

（3）设两个正方形的边长为a、b，可得a＋b＝8，a2＋b2＝28，求出ab即可．

【详解】

解：（1）由大、小正方形的边长与长方形边长之间的关系可得，

阴影部分是边长为（a−b）的正方形，

故答案为：a−b；

（2）方法一：阴影部分是边长为（a−b）的正方形，因此面积为（a−b）2，

方法2：从边长为（a＋b）的正方形面积减去4个长为a，宽为b长方形的面积可得，

（a＋b）2−4ab，

于是有：（a−b）2＝（a＋b）2−4ab；

（3）设大正方形的边长为a、小正方形的边长b，

则a＋b＝8，a2＋b2＝28，

由（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab得，82＝28＋2ab，

即ab＝18，

因此阴影部分的面积为ab＝9，

答：阴影部分的面积为9．

【点睛】

本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的变形是解决问题的关键．

26．发现与探索．

（1）根据小明的解答将下列各式因式分解

小明的解答：

①=                      

②=                  

③=                     

（2）根据小丽的思考解决下列问题：

小丽的思考：

代数式，再加上4，则代数式，则有最小值为4

①说明：代数式的最小值为－60．

②请仿照小丽的思考解释代数式的最大值为6，并求代数式的最大值．

【答案】（1）①；②；③；（2）①见解析；②

【分析】

（1）仿照小明的解答过程、利用完全平方公式、平方差公式计算；

（2）仿照小丽的思考过程，利用完全平方公式、平方差公式计算、偶次方的非负性解答．

【详解】

解：（1）①

②

③

（2）解：代数式

无论a取何值再减去60，则代数式

则有最小值-60

代数式的最小值为－60．

②解释：无论a取何值，再加上6，则代数式

则有最大值6

求值：

代数式有最大值30．

【点睛】

本题考查的是因式分解的应用、偶次方的非负性，掌握完全平方公式、平方差公式、偶次方的非负性是解题的关键．