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初中人教版（2024）13.3.1 等腰三角形精品第三课时随堂练习题
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这是一份初中人教版（2024）13.3.1 等腰三角形精品第三课时随堂练习题，共47页。
知识清单
知识点一：等腰三角形：
等腰三角形的概念：
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
等腰三角形的相关概念：
等腰三角形相等的两边叫做等腰三角形的腰，另一边叫做等腰三角形的底．
两腰之间的夹角叫做等腰三角形的顶角，腰与底的夹角叫做等腰三角形的底角．
等腰三角形的性质：
①等腰三角形的两腰相等．即AB＝AC．
②等腰三角形的两个底角相等．即∠B＝∠C．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
【简称底边上三线合一】即∠ABD＝∠CAD，BD＝CD，AD⊥BC．
特别说明：①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线这四个元素中，其中两个成立，则另两个一定成立．
过关例题
【类型一：熟悉等腰三角形的性质】
1．下列叙述正确的语句是（ ）
A．等腰三角形两腰上的高相等
B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
C．顶角相等的两个等腰三角形全等
D．两腰相等的两个等腰三角形全等
2．如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（ ）
A．B．C．平分D．
【类型二：求周长】
3．等腰三角形的两边长分别为3和6，那么该三角形的周长为（ ）
A．12B．15C．10D．12或15
4．已知等腰三角形的两条边长分别为4和8，则它的周长为（ ）
A．16B．20C．16或20D．14
5．已知等腰三角形中的一边长为5cm，另一边长为9cm，则它的周长为（ ）
A．14 cmB．23 cm
C．19 cmD．19 cm或23cm
6．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N，若AB=12，AC=18，BC=24，则△AMN的周长为（ ）
A．30B．36C．39D．42
7．若等腰三角形的周长为，一边为，则腰长为（ ）
A．B．C．或D．以上都不对
8．等腰中，，周长为，则的长为（ ）
A．B．C．或D．以上都不正确
9．等腰三角形的周长为16，其一边长为4．那么它们的底边长为（ ）
A．5B．4C．8D．4或8
【类型三：求边长和线段长度】
10．等腰三角形的面积为24平方厘米，腰长8厘米．在底边上有一个动点P，则P到两腰的距离之和为（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
11．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，若△BCD的周长是14，BC＝6，则AC的长是（ ）
A．6B．8C．10D．14
【类型四：求角度】
12．若等腰三角形的顶角为80º，则它的底角度数为（ ）
A．20°B．50°C．80°D．100°
13．如图，中，，，，．则（ ）
A．B．C．D．
14．如图，在中，D是上一点，，则 °．
15．△ABC中，AB=AC，CD为AB上的高，且△ADC为等腰三角形，则∠BCD等于（ ）
A．67.5°B．22.5°C．45°D．67.5°或22.5°
16．如图，已知，，则的度数为 ．
知识清单
知识点二：等腰三角形的判定：
判定定理一：
一个三角形中如有两个角相等，则这两个角所对的两条边也相等．（等角对等边）则这个三角形是等边三角形．
判定定理二：
若三角形有一边上的中线、高线以及它对角的角平分线重合，则这个三角形是等腰三角形．
过关例题
【类型一：等腰三角形的判定】
17．下列能判定三角形是等腰三角形的是（ ）
A．有两个角为30°、60° B．有两个角为40°、80°
C．有两个角为50°、80° D．有两个角为100°、120°
18．如图，D为的边的延长线上一点，过D作，垂足为F，交于E，且．求证：是等腰三角形．
19．如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，求证：EF=BE+CF．
20．如图，在中，，平分．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
21．如图所示，已知中，，BD平分，交BD延长线于E，BA、CE延长线相交于F点．
求证：
(1)是等腰三角形；
(2)．
知识清单
知识点三：等边三角形：
等边三角形的定义：
三条边都 相等 的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的 等腰三角形 ．
等边三角形的性质：
①等边三角形的三条边都 相等 ，三个角也 相等 ，且三个角都等于 60 °．
②等边三角形三条边都存在 三线合一 ．
③等边三角形是一个 轴对称 图形，它有 3 条对称轴，对称轴的交点叫做中心．
特别说明：等边三角形三边上都存在三线合一，且他们所在的直线就是等边三角形的对
称轴．所有的等边三角形都是等腰三角形，但是等腰不一定是等边．
含30°的直角三角形中，30°角所对直角边与斜边的关系：
如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC．证明BD＝
∵△ABC是等边三角形
∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝ 60° ．
∵AD⊥BC
∴AD平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD＝ 30°
BD＝CD＝ BC
∴BD＝ AB
结论：在含30°角的直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半．
过关例题
【类型一：利用等边三角形求角度】
22．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AC上，且AE＝AD，则∠DEC的度数为（ ）
A．105°B．95°C．85°D．75°
23．如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
24．如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
25．如图，在等边三角形ABC中，D是AC边上的中点，延长BC到点E，使CE＝CD，则∠E的度数为( )
A．15°B．20°C．30°D．40°
26．如图，以为边，在的同侧分别作正五边形和等边，连接，则的度数是 ．
【类型一：利用等边三角形求线段长度】
27．如图，△ABC中，AD为角平分线，若∠B＝∠C＝60°，AB＝8，则CD的长度为 ．
28．如图：是等边三角形，是的平分线，过点D作的平行线交于点E，已知的边长为3，则的长为 ．
29．如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为 ．
【类型一：含30°的直角三角形】
30．在中，，，则 °
31．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6，则BC＝ ．
32．在中，，，，则 ．
33．如图所示，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
知识清单
知识点四：等边三角形的判定：
定义判定：三条边都 相等 的三角形是等边三角形．
判定定理1：三个角 相等 的三角形是等边三角形．或有两个角是 60° 的三角
形是等边三角形．
判定定理2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形．
过关例题
【类型一：等边三角形的判定】
34．下列条件不能得到等边三角形的是（ ）
A．有一个内角是60°的锐角三角形B．有一个内角是60°的等腰三角形
C．顶角和底角相等的等腰三角形D．腰和底边相等的等腰三角形
35．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，CE⊥AB于点D，且DE=DC，求证：△CEB是等边三角形.
36．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
37．如图，△ABC中,∠A＝60°,P为AB上一点， Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连PQ交AC边于D, PD=DQ,证明：△ABC为等边三角形.
【类型二：等腰或等边三角形的判定与性质】
38．如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数．
39．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
40．如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求证：△BCH≌△ACG；
（3）试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．
课后练习
一、选择题（10题）
41．如图，直线a，b相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
42．如果等腰三角形两边长是5cm和2cm，那么它的周长是（ ）
A．7cmB．9cmC．9cm或12cmD．12cm
43．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE，若∠ABC＝30°，则∠D的度数为（ ）
A．85°B．75°C．65°D．30°
44．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，若FG=2，ED=6，则DB+EC的值为（ ）
A．3B．4C．5D．9
45．已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（ ）．
A．8B．6或8C．7D．7或8
46．等边△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（ ）
A．60°B．90°C．120°D．150°
47．在边长为1的等边三角形中，作交的延长线于点M，作平行于垂直于与相交于点N，则的长为（ ）
A．B．C．D．2
48．如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝8m，∠A＝30°，则DE等于（ ）
A．1mB．2mC．3mD．4m
49．如图，已知：∠MON＝30°，点A1，A2，A3……在射线ON上，点B1，B2，B3……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1＝1，则△A7B7A8的边长为（ ）
A．64B．32C．16D．128
50．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①；②当时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB＋BC＋CA＝2b，则．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①③
二、填空题（6题）
51．如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．则∠DBC的大小为 ．
52．如图，AB＝AC＝8cm，DB＝DC，若∠ABC＝60°，则BE＝ cm.
53．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45度，则该等腰三角形的顶角的度数为
54．已知等边的两个顶点的坐标为，，则点C的坐标为 ．
55．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD= ．
56．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边ABC和等边CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP．其中正确的有 ．（填序号）
三、解答题（4题）
57．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝45°时，求∠DEF的度数．
58．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，AD平分∠MAC，交BC于点D，AM交BE于点G．
（1）求证：∠BAM=∠C；
（2）判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由．
59．已知：如图，点C为线段上一点，，都是等边三角形，交于点E，交于点F．
(1)求证：：
(2)求证：为等边三角形．
60．已知：在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD．
（1）如图1，若∠AOB＝∠COD＝60°，
求证：①AC＝BD；
②∠APB＝60°．
（2）如图2，若∠AOB＝∠COD＝α，则AC与BD间的等量关系式为 ，∠APB的大小为 ．
参考答案：
1．A
【分析】根据三角形的面积，等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、根据三角形的面积和两腰相等，所以腰上的高相等，故本选项正确；
B、必须是等腰三角形底边上的高，底边上的中线和顶角的平分线互相重合，故本选项错误；
C、顶角相等，但腰长不一定相等，所以三角形不一定相等，故本选项错误；
D、两腰相等，但顶角不一定相等，所以三角形不一定相等，故本选项错误．
故选：A．
2．D
【分析】利用三线合一的性质对每一个选项进行验证从而求解．
【详解】解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC中点，
∴∠B=∠C，（故A正确）
AD⊥BC，（故B正确）
∠BAD=∠CAD（故C正确）
无法得到AB=2BD，（故D不正确）．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质．
3．B
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】由题意，分以下两种情况：
（1）当等腰三角形的腰为3时，三边为3，3，6
此时，不满足三角形的三边关系定理
（2）当等腰三角形的腰为6时，三边为3，6，6
此时，满足三角形的三边关系定理
则其周长为
综上，该三角形的周长为15
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
4．B
【分析】因为等腰三角形的腰与底边不确定，故以4为底边和腰两种情况考虑．
【详解】若4为腰，8为底边，此时，不能构成三角形，故4不能为腰；
若4为底边，8为腰，此时三角形的三边分别为4，8，8，周长为，
综上三角形的周长为20．
故选：B．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，以及三条线段构成三角形的条件，利用了分类讨论的数学思想，由等腰三角形的底边与腰长不确定，故分两种情况考虑，同时根据三角形的两边之和大于第三边，舍去不能构成三角形的情况．
5．D
【分析】分腰长为5cm和9cm两种情况求解即可．
【详解】解：当等腰三角形的腰为5cm时，则周长为，
当等腰三角形的腰为9cm时，则周长为，
即等腰三角形的周长为19 cm或23cm，
故选：D
【点睛】此题考查了等腰三角形，分类讨论是解题的关键．
6．A
【详解】解：如图，∵OB、OC分别是∠ABC与∠ACB的平分线，∴∠1=∠5，∠3=∠6，又∵MN∥BC，∴∠2=∠5，∠6=∠4，∴BM=MO，NO=CN，∴△AMN的周长=AM+AN+MN=MA+AN+MO+ON=AB+AC，又∵AB=12，AC=18，∴△AMN的周长=12+18=30．故选A．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质；解答此题的关键是熟知平行线的性质，等腰三角形的性质及角平分线的性质及利用线段的等量代换．
7．C
【分析】根据等腰三角形的性质和周长，分情况讨论：①当11cm为等腰三角形的一条腰，则底边为4cm，又因为，，所以能构成三角形，即可得；②当11cm为等腰三角形的底边，则腰长为：（cm），又因为，，所以能构成三角形，即可得．
【详解】解：①当11cm为等腰三角形的一条腰，则底边为（cm），
∵，，
∴能构成三角形；
②当11cm为等腰三角形的底边，则腰长为：（cm），
∵，，
∴能构成三角形，
综上，等腰三角形的腰长为11cm或7.5cm，
故选C．
8．B
【分析】题目没有明确是腰还是底边，要分两种情况解答：当或当．
【详解】解：当时，，则；
当时，，但，故构不成三角形．
故选：B．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，注意考虑两种情况，但也要考虑三角形三边之间的关系来确定三边大小．
9．B
【分析】分4是底边和腰长两种情况，利用三角形的三边关系讨论求解．
【详解】解：①4是底边时，腰长为（16﹣4）＝6，
此时，三角形的三边分别为4、6、6，
能组成三角形，
②4是腰长时，底边为16﹣4×2＝8，
此时，三角形的三边分别为8、4、4，
不能组成三角形，
综上所述，底边为4．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系和等腰三角形的性质，准确分析判断是解题的关键．
10．B
【分析】利用，得CD，再利用，得，计算P到两腰的距离之和．
【详解】根据题意，作图如下：
∵
∴
∴
∵
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用等面积法进行转化是解题的关键．
11．B
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AD＝CD，再根据等腰三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD．
∵△BCD的周长是14，BC＝6，
∴AB＝BD+CD＝14﹣6＝8，
∵AB＝AC，
∴AC＝8．
故选：B．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质是解答本题的关键．
12．B
【分析】根据等腰三角形两底角相等即可得解．
【详解】解：∵等腰三角形的顶角为80°，
∴它的底角度数为×（180°-80°）=50°．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，关键是根据等腰三角形的性质解答．
13．B
【分析】根据等腰三角形的性质得到，由于，于是得到，根据三角形的内角和即可得到．
【详解】解：∵，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
14．25
【分析】设∠ADC＝α，然后根据AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，表示出∠B和∠BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数，进而求得∠B的度数即可．
【详解】解：∵AC＝AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，
设∠ADC＝α，
∴∠B＝∠BAD＝ ，
∵∠BAC＝105°，
∴∠DAC＝105°﹣，
在△ADC中，
∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，
∴2α+105°﹣＝180°，
解得：α＝50°，
∴∠B＝∠BAD＝＝25°，
故答案为：25．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
15．D
【分析】根据题意，应该考虑两种情况，①CD在△ABC内部；②CD在△ABC外部．分别结合已知条件进行计算即可．
【详解】①如右图所示，CD在△ABC内部，
∵AB=AC，CD为AB上的高，
∴∠B=∠ACB，
又∵△ADC是等腰三角形，
∴
∴
∴
②如右图所示，CD在△ABC外部，
∵AB=AC，CD为AB上的高，
∴∠B=∠ACB，
又∵△ADC是等腰三角形，
∴
∴
∴
故选D.
【点睛】考查等腰三角形的性质，画出示意图，数形结合是解题的关键.不要漏解.
16．75°##75度
【分析】根据三角形内角和定理，三角形外角和内角的关系以及等腰三角形的性质，逐步推出的度数即可．
【详解】解：∵∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，
∴∠ACB=15°，
∴∠CDB=∠CBD=30°，
∴∠BCD=180°−(∠CDB+∠CBD)=180°−60°=120°，
∵∠ECD=180°−∠BCD−∠ACB=180°−120°−15°=45°，
∴∠ECD=∠CED=45°，
∴∠CDE=180°−45°×2=90°，
∵∠EDF=∠EFD=180°−(∠CDB+∠CDE)=180°−(30°+90°)=60°，
∴∠DEF=180°−(∠EDF+∠EFD)=180°−(60°+60°)=60°，
∴=180°−(∠CED+∠DEF)=180°−(45°+60°)=75°．
故答案为：75°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形性质与内角外角的关系．
17．C
【详解】A、因为有两个角为30°、60°,则第三个角为90°，所以此选项不正确；
B、因为有两个角为40°、80°,则第三个角为60°，所以此选项不正确；
C、因为有两个角为50°、80°,则第三个角为50°，有两个角相等，所以此选项正确；
D、因为100°+120°>180°，所以此选项不正确；
故选：C.
18．见解析
【分析】首先依据等腰三角形的性质得到∠BDE=∠BED，然后结合对顶角的性质可得到∠BDE=∠CEF，接下来，依据直角三角形两锐角互余、等角的补角相等等知识可得到∠A=∠C，最后，再依据等边对等角的性质进行判断即可．
【详解】解：证明：∵BD=BE，
∴∠BDE=∠BED
又∵∠BED=∠CEF，
∴∠BDE=∠CEF
又∵DF⊥AC，
∴∠A+∠BDF=90°，∠C+∠CEF=90°，
∴∠A=∠C，
∴AB=BC（等角对等边），
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
19．证明见解析
【详解】试题分析：由BD为角平分线，利用角平分线的性质得到一对角相等，再由EF与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换可得出∠EBD=∠EDB，利用等角对等边得到EB=ED，同理得到FC=FD，再由EF=ED+DF，等量代换可得证．
试题解析：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠EBD=∠CBD，
又∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EBD=∠EDB，
∴EB=ED，
同理FC=FD，
又∵EF=ED+DF，
∴EB+FC=ED+DF=EF．
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握性质与判定是解本题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据三角形的外角性质得出，求出即可；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出和的度数，根据角平分线的定义求出的度数，根据三角形的外角性质求出即可．
【详解】（1）证明∶平分，
；
（2）解∶，
，
，
平分，
，
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据已知判定，从而得到，即等腰三角形；
（2）由已知可得，通过判定，从而得到．
【详解】（1）证明：平分，
．
，
，
又，
，
，即等腰三角形．
（2），
，
，
，
又，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题时注意结合图形分析已知条件与问题之间的位置关系，把条件与问题的联系作为主要的思考方向．
22．A
【分析】先利用等边三角形的性质、等腰三角形三线合一的性质得出，再利用AE＝AD得出，最后利用三角形外角的性质即可求出∠DEC的度数．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴，
∵AE＝AD，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及外角的性质，利用等腰三角形三线合一的性质得出是解题的关键．
23．C
【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=40°=∠EBC，即可得出结论．
【详解】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠CED=50°，
∴∠ECB=40°=∠EBC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=20°，
故选C．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解题关键．
24．D
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABD=∠BCE=60°，AB=BC．
∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠1=∠CBE．
∵∠CBE+∠ABE=60°，
∴∠1+∠ABE=60°．
∵∠2=∠1+∠ABE，
∴∠2=60°．
故选D．
25．C
【分析】根据等边三角形的性质可得∠ACB＝60°，再根据等边对等角的性质求出∠E＝∠CDE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求解得到∠E的度数．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，D是AC中点，
∴∠ACB＝60°，
∵CD＝CE，
∴∠E＝∠CDE，
∵∠BCD＝∠E+∠CDE＝2∠E＝60°，
∴∠E＝30°，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．
26．66°
【分析】由是正五边形可得AB=AE以及∠EAB的度数，由△ABF是等边三角形可得AB=AF以及∠FAB的度数，进而可得AE=AF以及∠EAF的度数，进一步即可根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出答案．
【详解】解：∵五边形是正五边形，
∴AB=AE，∠EAB=108°，
∵△ABF是等边三角形，
∴AB=AF，∠FAB=60°，
∴AE=AF，∠EAF=108°－60°=48°，
∴∠EFA=．
故答案为：66°．
【点睛】本题考查了正多边形的内角问题、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
27．4．
【分析】由∠B=∠C=60°及三角形的内角和，得出∠BAC=60°，从而△ABC为等边三角形，再由等腰三角形的“三线合一”性质，得出BD=CD，而已知AB=8，即可得答案．
【详解】解∵∠B=∠C=60°
∴∠BAC=180°-60°-60°=60°
∴△ABC为等边三角形
∵AB=8
∴BC=AB=AC=8
∵AD为角平分线
∴BD=CD
∴CD=BD=BC=4 ．
故答案为4．
【点睛】本题考查等边三角形的判定及等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握三线合一性质是解题的关键．
28．1.5
【分析】由是等边三角形，是的平分线，可得，，，又由，可得，是等边三角形，从而推出，则为，据此可求得答案．
【详解】：解：∵是等边三角形，是的平分线，
∴，，
∵，
∴，，
∴，是等边三角形，
∴，
∴点D是的中点，
∴．
故答案为：1.5．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，平行线的性质，证明是解题的关键．
29．2
【详解】试题解析：过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
∵在△PFD和△QCD中，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE=AC，
∵AC=4，
∴DE=×4＝2．
30．30
【分析】由题意知，进而可知的度数．
【详解】解：由题意知
∴
故答案为：30．
【点睛】本题考查了正弦值求角度．解题的关键在于熟练掌握特殊角的正弦值．
31．3
【分析】根据直角三角形中,30°角所对直角边等于斜边的一半计算即可．
【详解】∵∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6，
∴BC=，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中,30°角所对直角边等于斜边的一半是解题的关键．
32．8
【分析】根据直角三角形30度角的性质得到，再利用，得到，求出即可．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：8．
【点睛】此题考查了含30度角的直角三角形的性质：直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记性质是解题的关键．
33．B
【分析】过P作PQ垂直于MN，利用三线合一得到Q为MN中点，求出MQ的长，在中，利用所对的直角边等于斜边的一半求出OQ的长，由OQ-MQ求出OM的长即可．
【详解】解：过P作，
∵，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
则，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及含直角三角形的性质，熟练掌握含直角三角形的性质，是解本题的关键．
34．A
【分析】根据等边三角形的判定、等腰三角形的性质进行逐一判断即可．
【详解】解：因为有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，
所以A选项符合题意，B选项不符合题意；
因为顶角和底角相等的等腰三角形是等边三角形，
所以C不符合题意；
因为腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形，
所以D选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的判定、等腰三角形的性质．
35．见解析．
【分析】思路：求出BE=BC，再求一个内角为60°即可.
【详解】∵CE⊥AB于点D，且DE=DC，
∴BC=BE，
∵AC=BC，CE⊥AB于点D，
∴CD垂直平分AB，
又∵∠ABC=120°，
∴∠ECB=60°，
∴△CEB为等边三角形．
【点睛】掌握等边三角形的定义是解题的关键.
36．等边三角形，证明见解析
【分析】先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠PAQ＝60°，从而得出△APQ是等边三角形．
【详解】解：△APQ为等边三角形．
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，
在△ABP与△ACQ中，
∵，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ，
∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明△ABP≌△ACQ，是解题的关键．
37．证明见解析.
【详解】试题分析：过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可．
试题解析：如图，过P作PE∥BQ交AC于E，
∴∠EPD=∠Q，
在△EPD和△CQD中，
∵
∴△EPD≌△CQD（ASA），
∴PE=CQ，∵PA=CQ，∴PE=PA，∴∠PEA=∠A=60°，
∵PE∥BQ，∴∠PEA=∠ACB=60°∴∠A=∠ACB=∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形.
点睛：本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
38．（1）见解析；（2）105°．
【分析】（1）由角平分线和平行线的性质可得到∠DBE=∠DEB，可证得结论；
（2）由∠A＝35°，∠C＝70°可求出∠ABC=75°，然后利用角平分线和平行线的性质可得到∠BDE=∠DEB即可求解.
【详解】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）∵∠A＝35°，∠C＝70°，
，
∵DE∥BC，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质．
39．（1）见解析；（2）70°
【分析】（1）由AB=AC，∠ABC=∠ACB，BE=CF，BD=CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．
（2）根据∠A=40°可求出∠ABC=∠ACB=70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
【详解】解：证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△DBE和△ECF中，
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=（180°-40°）=70°，
∴∠1+∠2=110°，
∴∠3+∠2=110°，
∴∠DEF=70°．
【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题．
40．（1）见解析；（2）见解析；（3）△CGH是等边三角形，理由见解析
【分析】（1）利用SAS证明△ACD≌△BCE即可得出答案；
（2）根据△ACD≌△BCE，推出∠CBH=∠CAG，由∠ACB=∠ECD=60°，点B、C、D在同一条直线上，得出∠ACG=60°，根据AC=BC即可证明；
（3）由△ACG≌△BCH，推出CG=CH，根据∠ACG=60°即可证明．
【详解】解：（1）∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴AC=BC，EC=DC，
∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACD=∠ECB，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE；
（2）∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBH=∠CAG，
∵∠ACB=∠ECD=60°，点B、C、D在同一条直线上，
∴∠ACG=60°=∠ACB，
又∵AC=BC，
∴△ACG≌△BCH(ASA)；
（3）△CGH是等边三角形，理由如下：
∵△ACG≌△BCH，
∴CG=CH（全等三角形的对应边相等），
又∵∠ACG=60°，
∴△CGH是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形）．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，关键是利用好全等三角形以及等边三角形的性质．
41．D
【分析】以点O、A、B为顶点的等腰三角形有3种情况，分别为，，，从这三方面考虑点B的位置即可．
【详解】解：如图所示，
①当时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b在O点两侧各有一个交点，此时B点有2个；
②当时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b有另外一个交点，此时B点有1个；
③当时，作OA的垂直平分线，与直线b有一个交点，此时B点有1个，
综上，B点总共有4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，因此要注意分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点B是解题的关键．
42．D
【分析】因为题中没有说明已知两边哪个是底，哪个是腰，所以要分情况进行讨论．
【详解】解：当三边是2cm，2cm，5cm时，不符合三角形的三边关系；
当三角形的三边是5cm，5cm，2cm时，符合三角形的三边关系，
此时周长是5+5+2=12cm．
故选D．
【点睛】考查了等腰三角形的性质，此类题注意分情况讨论，还要看是否符合三角形的三边关系．
43．B
【分析】根据AB∥CD，可得∠C＝∠ABC＝30°，再由等腰三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠ABC＝30°，
又∵CD＝CE，
∴∠D＝∠CED，
∵∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，
∴∠D＝75°．
故选：B
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形中，等边对等角是解题的关键．
44．B
【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的判定证得EG=EB，DF=DC即可求得结果．
【详解】解：∵ED∥BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EGC=∠GCB，
∵FB是∠ABC的平分线，CG是∠ACB的平分线，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECG=∠GCB，
∴∠DFB=∠DBF，∠ECG=∠EGC，
∴BD=DF，CE=GE，
∵FG=2，ED=6，
∴DB+EC=DF+GE=ED-FG=6-2=4，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明．
45．D
【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解．
【详解】解：∵，
∴
解得，
①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3，能组成三角形，周长=2+2+3=7；
②2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3，能组成三角形，周长=2+3+3=8，
所以该等腰三角形的周长为7或8．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
46．C
【分析】由已知条件根据等边三角形的性质、角平分线的性质求解．
【详解】解：如图，
∵等边三角形ABC中，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的角的平分线，交于点I，
∴∠1＝∠2＝∠ACB＝30°，
∴∠BIC＝180°﹣（∠1+∠2）＝120°．
故选：C．
【点睛】此题主要考查等边三角形的性质，解题的关键是根据题意作出图形进行求解.
47．D
【分析】根据等边三角形的性质和直角三角形的性质得出边的关系解答．
【详解】解：如图所示：
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
48．B
【分析】根据中位线定理以及含30度角的直角三角形的性质即可求得．
【详解】解：∵点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，
∴点E是AC的中点，
∴DE是直角三角形ABC的中位线，
根据三角形的中位线定理得：DE＝BC，
又∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴BC＝AB＝×8＝4．
故DE＝BC＝×4＝2m，
故选：B．
【点睛】本题考查了中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
49．A
【分析】根据等边三角形的性质和∠MON＝30°，可得A1B1＝OA1＝1，∠OB1A2＝90°，再由△A2B2A3、△A2B2A3是等边三角形，可得，从而得到，可得到A2B2＝2B1A2，同理B3A3＝2B2A3，进而得到A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，即可求解．
【详解】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，∠A1B1A2＝60°，
∵∠MON＝30°，
∴∠OB1A1＝30°，
∴A1B1＝OA1＝1，∠OB1A2＝90°，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A2B2A3是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴A2B2＝2B1A2，
同理B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，
以此类推：△A7B7A8的边长为 26＝64．
故选：A
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
50．C
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和定理可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到 ，再证得，得到AF＝AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据角平分线的性质定理和三角形的面积可证得③正确．
【详解】∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝−∠OBA−∠OAB＝−∠CBA−∠CAB
＝−（−∠C）＝＋∠C，故①正确；
∵∠C＝，由①知：∠AOB＝＋∠C，
∴∠AOB＝，
∴∠AOF＝，
∴∠BOE＝，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝−−＝，
∴∠AOH＝∠AOF，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠HAO＝∠FAO，
在△HAO和△FAO中，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH＋AH＝BE＋AF，故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB＋AC＋BC＝2b，
∴＝×AB×OM+×AC×OH+×BC×OD＝（AB+AC+BC）•a＝ab，
故③正确；
综上可知，①②③正确，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形全等的性质和判定、角平分线的性质，正确作出辅助线证得，得到是解决问题的关键．
51．30°##30度
【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ABC及∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数即可进行解答．
【详解】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠A＝∠ABD＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
52．4
【分析】先证明△ABC是等边三角形，再证明AD是BC的垂直平分线，即可得出BE=BC=4cm．
【详解】解：∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，A在BC的垂直平分线上，
∴BC=AB=8cm．
∵DB=DC，
∴点D在BC的垂直平分线上，
∴AD垂直平分BC，
∴BE=BC=4cm．
故答案为4．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质和线段的垂直平分线的性质定理的逆定理；证明AD是BC的垂直平分线是解题的关键．
53．45°或135°
【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为45°．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为135°．
【详解】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD=45°，
∴∠A=45°，
即顶角的度数为45°．
②如图，等腰三角形为钝角三角形
∵BD⊥AC，∠DBA=45°，
∴∠BAD=45°，
∴∠BAC=135°．
故答案为45°或135°．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键在于正确的画出图形，认真的进行计算．
54．或
【分析】作于H，根据点A和B的坐标，得．根据等腰三角形的三线合一的性质，得，再根据勾股定理求得，从而写出点C的坐标．
【详解】解：作于点H．
∵，，
∴．
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴；
同理，当点C在第二象限时，．
故答案为：或．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质、勾股定理、点的坐标等知识，数形结合是解题的关键．
55．2
【分析】过P点作PE⊥OB于E，如图，根据角平分线的性质得到PE=PD，再利用平行线的性质得到∠PCE=∠AOB=30°，接着根据含30度的直角三角形三边的关系得到PE=PC=2，从而得到PD的长．
【详解】解：过P点作PE⊥OB于E，如图，
∵∠AOP=∠BOP=15°，
∴OP平分∠AOB，∠AOB=30°，
而PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD，
∵PC∥OA，
∴∠PCE=∠AOB=30°，
∴PE=PC=×4=2，
∴PD=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了含30度的直角三角形的性质和平行线的性质．
56．①②③
【分析】根据等边三角形的三边都相等，三个角都是60°，可以证明ACD与BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝BE，所以①正确，对应角相等可得∠CAD＝∠CBE，然后证明ACP与BCQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PC＝PQ，从而得到CPQ是等边三角形，再根据等腰三角形的性质可以找出相等的角，从而证明PQ∥AE，所以②正确；根据全等三角形对应边相等可以推出AP＝BQ，所以③正确，根据③可推出DP＝EQ，再根据DEQ的角度关系DE≠DP．
【详解】解：∵等边ABC和等边CDE，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB，
即∠ACD＝∠BCE，
在ACD与BCE中，
，
∴ACD≌BCE（SAS），
∴AD＝BE，故①小题正确；
∵ACD≌BCE（已证），
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已证），
∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，
∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，
在ACP与BCQ中，
，
∴ACP≌BCQ（ASA），
∴AP＝BQ，故③小题正确；PC＝QC，
∴PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ＝60°，
∴∠ACB＝∠CPQ，
∴PQ∥AE，故②小题正确；
∵AD＝BE，AP＝BQ，
∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，
即DP＝QE，
∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，
∴∠DQE≠∠CDE，故④小题错误．
综上所述，正确的是①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定，需要多次证明三角形全等，综合性较强，但难度不是很大，是热点题目，仔细分析图形是解题的关键．
57．（1）见解析；（2）∠DEF＝67.5°.
【分析】（1）由AB=AC，∠ABC=∠ACB，BE=CF，BD=CE．利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．
（2）根据∠A=45°可求出∠ABC=∠ACB=67.5°根据△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
【详解】∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△CEF中
，
∴△DBE≌△CEF，
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△CEF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝（180°﹣45°）＝67.5°
∴∠1+∠2＝112.5°
∴∠3+∠2＝112.5°
∴∠DEF＝67.5°
【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°．
58．（1）见解析；（2）BE垂直平分AD，理由见解析
【分析】（1）根据余角的性质即可得到结论；
（2）由AD平分∠MAC，得到∠3=∠4，根据三角形的外角的性质得到∠BAD=∠ADB，推出△BAD是等腰三角形，于是得到结论．
【详解】解：（1）∵AM⊥BC，
∴∠ABC+∠BAM=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠C=90°，
∴∠BAM=∠C；
（2）BE垂直平分AD，
理由：
∵AD平分∠MAC，
∴∠3=∠4，
∵∠BAD=∠BAM+∠3，
∠ADB=∠C+∠4，
∠BAM=∠C，
∴∠BAD=∠ADB，
∴△BAD是等腰三角形，
又∵∠1=∠2，
∴BE垂直平分AD．
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和，线段垂直平分线的判定，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
59．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）等边三角形的性质可以得出，两边及其夹角分别对应相等，两个三角形全等，得出线段与线段相等．
（2）根据平角的定义得出，通过证明得出，根据等边三角形的判定得出的形状．
【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形，
∴．
∴，
即：，
在和中
，
∴．
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
在和中
∴．
∴．
又∵，
∴是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，同时考查了等边三角形的性质和判定．
60．（1）①见解析；②见解析；（2）AC=BD，α．
【分析】（1）①先证明∠AOC=∠BOD，即可利用SAS证明△AOC≌△BOD得到AC=BD；
②由△AOC≌△BOD可得∠OAC=∠OBD，再由三角形外角的性质得到∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠APB=∠AQB，由此即可证明；
（2）同（1）先证明∠AOC=∠BOD，即可利用SAS证明△AOC≌△BOD得到AC=BD；∠OAC=∠OBD，再由三角形外角的性质得到∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠APB=∠AQB，由此即可得到答案．
【详解】（1）证明：①∵∠AOB=∠COD=60°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS）
∴AC=BD；
②设AC与BO交点为Q，
∵△AOC≌△BOD
∴∠OAC=∠OBD，
∴∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠APB=∠AQB，
∴∠OAC+60°=∠OBD+∠APB，
∴∠APB=60°；
（2）AC=BD，∠APB=α，理由如下：
设AC与BO交点为Q，
∵∠AOB＝∠COD＝α，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS）
∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，
∴∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠APB=∠AQB，
∴∠OAC+α=∠OBD+∠APB，
∴∠APB=α．
故答案为：AC=BD，α．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
知识清单
知识点一：等腰三角形：
等腰三角形的概念：
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
等腰三角形的相关概念：
等腰三角形相等的两边叫做等腰三角形的腰，另一边叫做等腰三角形的底．
两腰之间的夹角叫做等腰三角形的顶角，腰与底的夹角叫做等腰三角形的底角．
等腰三角形的性质：
①等腰三角形的两腰相等．即AB＝AC．
②等腰三角形的两个底角相等．即∠B＝∠C．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
【简称底边上三线合一】即∠ABD＝∠CAD，BD＝CD，AD⊥BC．
特别说明：①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线这四个元素中，其中两个成立，则另两个一定成立．
过关例题
【类型一：熟悉等腰三角形的性质】
1．下列叙述正确的语句是（ ）
A．等腰三角形两腰上的高相等
B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
C．顶角相等的两个等腰三角形全等
D．两腰相等的两个等腰三角形全等
2．如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（ ）
A．B．C．平分D．
【类型二：求周长】
3．等腰三角形的两边长分别为3和6，那么该三角形的周长为（ ）
A．12B．15C．10D．12或15
4．已知等腰三角形的两条边长分别为4和8，则它的周长为（ ）
A．16B．20C．16或20D．14
5．已知等腰三角形中的一边长为5cm，另一边长为9cm，则它的周长为（ ）
A．14 cmB．23 cm
C．19 cmD．19 cm或23cm
6．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N，若AB=12，AC=18，BC=24，则△AMN的周长为（ ）
A．30B．36C．39D．42
7．若等腰三角形的周长为，一边为，则腰长为（ ）
A．B．C．或D．以上都不对
8．等腰中，，周长为，则的长为（ ）
A．B．C．或D．以上都不正确
9．等腰三角形的周长为16，其一边长为4．那么它们的底边长为（ ）
A．5B．4C．8D．4或8
【类型三：求边长和线段长度】
10．等腰三角形的面积为24平方厘米，腰长8厘米．在底边上有一个动点P，则P到两腰的距离之和为（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
11．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，若△BCD的周长是14，BC＝6，则AC的长是（ ）
A．6B．8C．10D．14
【类型四：求角度】
12．若等腰三角形的顶角为80º，则它的底角度数为（ ）
A．20°B．50°C．80°D．100°
13．如图，中，，，，．则（ ）
A．B．C．D．
14．如图，在中，D是上一点，，则 °．
15．△ABC中，AB=AC，CD为AB上的高，且△ADC为等腰三角形，则∠BCD等于（ ）
A．67.5°B．22.5°C．45°D．67.5°或22.5°
16．如图，已知，，则的度数为 ．
知识清单
知识点二：等腰三角形的判定：
判定定理一：
一个三角形中如有两个角相等，则这两个角所对的两条边也相等．（等角对等边）则这个三角形是等边三角形．
判定定理二：
若三角形有一边上的中线、高线以及它对角的角平分线重合，则这个三角形是等腰三角形．
过关例题
【类型一：等腰三角形的判定】
17．下列能判定三角形是等腰三角形的是（ ）
A．有两个角为30°、60° B．有两个角为40°、80°
C．有两个角为50°、80° D．有两个角为100°、120°
18．如图，D为的边的延长线上一点，过D作，垂足为F，交于E，且．求证：是等腰三角形．
19．如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，求证：EF=BE+CF．
20．如图，在中，，平分．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
21．如图所示，已知中，，BD平分，交BD延长线于E，BA、CE延长线相交于F点．
求证：
(1)是等腰三角形；
(2)．
知识清单
知识点三：等边三角形：
等边三角形的定义：
三条边都 相等 的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的 等腰三角形 ．
等边三角形的性质：
①等边三角形的三条边都 相等 ，三个角也 相等 ，且三个角都等于 60 °．
②等边三角形三条边都存在 三线合一 ．
③等边三角形是一个 轴对称 图形，它有 3 条对称轴，对称轴的交点叫做中心．
特别说明：等边三角形三边上都存在三线合一，且他们所在的直线就是等边三角形的对
称轴．所有的等边三角形都是等腰三角形，但是等腰不一定是等边．
含30°的直角三角形中，30°角所对直角边与斜边的关系：
如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC．证明BD＝
∵△ABC是等边三角形
∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝ 60° ．
∵AD⊥BC
∴AD平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD＝ 30°
BD＝CD＝ BC
∴BD＝ AB
结论：在含30°角的直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半．
过关例题
【类型一：利用等边三角形求角度】
22．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AC上，且AE＝AD，则∠DEC的度数为（ ）
A．105°B．95°C．85°D．75°
23．如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
24．如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
25．如图，在等边三角形ABC中，D是AC边上的中点，延长BC到点E，使CE＝CD，则∠E的度数为( )
A．15°B．20°C．30°D．40°
26．如图，以为边，在的同侧分别作正五边形和等边，连接，则的度数是 ．
【类型一：利用等边三角形求线段长度】
27．如图，△ABC中，AD为角平分线，若∠B＝∠C＝60°，AB＝8，则CD的长度为 ．
28．如图：是等边三角形，是的平分线，过点D作的平行线交于点E，已知的边长为3，则的长为 ．
29．如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为 ．
【类型一：含30°的直角三角形】
30．在中，，，则 °
31．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6，则BC＝ ．
32．在中，，，，则 ．
33．如图所示，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
知识清单
知识点四：等边三角形的判定：
定义判定：三条边都 相等 的三角形是等边三角形．
判定定理1：三个角 相等 的三角形是等边三角形．或有两个角是 60° 的三角
形是等边三角形．
判定定理2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形．
过关例题
【类型一：等边三角形的判定】
34．下列条件不能得到等边三角形的是（ ）
A．有一个内角是60°的锐角三角形B．有一个内角是60°的等腰三角形
C．顶角和底角相等的等腰三角形D．腰和底边相等的等腰三角形
35．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，CE⊥AB于点D，且DE=DC，求证：△CEB是等边三角形.
36．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
37．如图，△ABC中,∠A＝60°,P为AB上一点， Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连PQ交AC边于D, PD=DQ,证明：△ABC为等边三角形.
【类型二：等腰或等边三角形的判定与性质】
38．如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数．
39．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
40．如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求证：△BCH≌△ACG；
（3）试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．
课后练习
一、选择题（10题）
41．如图，直线a，b相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
42．如果等腰三角形两边长是5cm和2cm，那么它的周长是（ ）
A．7cmB．9cmC．9cm或12cmD．12cm
43．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE，若∠ABC＝30°，则∠D的度数为（ ）
A．85°B．75°C．65°D．30°
44．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，若FG=2，ED=6，则DB+EC的值为（ ）
A．3B．4C．5D．9
45．已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（ ）．
A．8B．6或8C．7D．7或8
46．等边△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（ ）
A．60°B．90°C．120°D．150°
47．在边长为1的等边三角形中，作交的延长线于点M，作平行于垂直于与相交于点N，则的长为（ ）
A．B．C．D．2
48．如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝8m，∠A＝30°，则DE等于（ ）
A．1mB．2mC．3mD．4m
49．如图，已知：∠MON＝30°，点A1，A2，A3……在射线ON上，点B1，B2，B3……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1＝1，则△A7B7A8的边长为（ ）
A．64B．32C．16D．128
50．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①；②当时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB＋BC＋CA＝2b，则．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①③
二、填空题（6题）
51．如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．则∠DBC的大小为 ．
52．如图，AB＝AC＝8cm，DB＝DC，若∠ABC＝60°，则BE＝ cm.
53．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45度，则该等腰三角形的顶角的度数为
54．已知等边的两个顶点的坐标为，，则点C的坐标为 ．
55．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD= ．
56．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边ABC和等边CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP．其中正确的有 ．（填序号）
三、解答题（4题）
57．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝45°时，求∠DEF的度数．
58．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，AD平分∠MAC，交BC于点D，AM交BE于点G．
（1）求证：∠BAM=∠C；
（2）判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由．
59．已知：如图，点C为线段上一点，，都是等边三角形，交于点E，交于点F．
(1)求证：：
(2)求证：为等边三角形．
60．已知：在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD．
（1）如图1，若∠AOB＝∠COD＝60°，
求证：①AC＝BD；
②∠APB＝60°．
（2）如图2，若∠AOB＝∠COD＝α，则AC与BD间的等量关系式为 ，∠APB的大小为 ．
参考答案：
1．A
【分析】根据三角形的面积，等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、根据三角形的面积和两腰相等，所以腰上的高相等，故本选项正确；
B、必须是等腰三角形底边上的高，底边上的中线和顶角的平分线互相重合，故本选项错误；
C、顶角相等，但腰长不一定相等，所以三角形不一定相等，故本选项错误；
D、两腰相等，但顶角不一定相等，所以三角形不一定相等，故本选项错误．
故选：A．
2．D
【分析】利用三线合一的性质对每一个选项进行验证从而求解．
【详解】解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC中点，
∴∠B=∠C，（故A正确）
AD⊥BC，（故B正确）
∠BAD=∠CAD（故C正确）
无法得到AB=2BD，（故D不正确）．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质．
3．B
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】由题意，分以下两种情况：
（1）当等腰三角形的腰为3时，三边为3，3，6
此时，不满足三角形的三边关系定理
（2）当等腰三角形的腰为6时，三边为3，6，6
此时，满足三角形的三边关系定理
则其周长为
综上，该三角形的周长为15
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
4．B
【分析】因为等腰三角形的腰与底边不确定，故以4为底边和腰两种情况考虑．
【详解】若4为腰，8为底边，此时，不能构成三角形，故4不能为腰；
若4为底边，8为腰，此时三角形的三边分别为4，8，8，周长为，
综上三角形的周长为20．
故选：B．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，以及三条线段构成三角形的条件，利用了分类讨论的数学思想，由等腰三角形的底边与腰长不确定，故分两种情况考虑，同时根据三角形的两边之和大于第三边，舍去不能构成三角形的情况．
5．D
【分析】分腰长为5cm和9cm两种情况求解即可．
【详解】解：当等腰三角形的腰为5cm时，则周长为，
当等腰三角形的腰为9cm时，则周长为，
即等腰三角形的周长为19 cm或23cm，
故选：D
【点睛】此题考查了等腰三角形，分类讨论是解题的关键．
6．A
【详解】解：如图，∵OB、OC分别是∠ABC与∠ACB的平分线，∴∠1=∠5，∠3=∠6，又∵MN∥BC，∴∠2=∠5，∠6=∠4，∴BM=MO，NO=CN，∴△AMN的周长=AM+AN+MN=MA+AN+MO+ON=AB+AC，又∵AB=12，AC=18，∴△AMN的周长=12+18=30．故选A．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质；解答此题的关键是熟知平行线的性质，等腰三角形的性质及角平分线的性质及利用线段的等量代换．
7．C
【分析】根据等腰三角形的性质和周长，分情况讨论：①当11cm为等腰三角形的一条腰，则底边为4cm，又因为，，所以能构成三角形，即可得；②当11cm为等腰三角形的底边，则腰长为：（cm），又因为，，所以能构成三角形，即可得．
【详解】解：①当11cm为等腰三角形的一条腰，则底边为（cm），
∵，，
∴能构成三角形；
②当11cm为等腰三角形的底边，则腰长为：（cm），
∵，，
∴能构成三角形，
综上，等腰三角形的腰长为11cm或7.5cm，
故选C．
8．B
【分析】题目没有明确是腰还是底边，要分两种情况解答：当或当．
【详解】解：当时，，则；
当时，，但，故构不成三角形．
故选：B．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，注意考虑两种情况，但也要考虑三角形三边之间的关系来确定三边大小．
9．B
【分析】分4是底边和腰长两种情况，利用三角形的三边关系讨论求解．
【详解】解：①4是底边时，腰长为（16﹣4）＝6，
此时，三角形的三边分别为4、6、6，
能组成三角形，
②4是腰长时，底边为16﹣4×2＝8，
此时，三角形的三边分别为8、4、4，
不能组成三角形，
综上所述，底边为4．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系和等腰三角形的性质，准确分析判断是解题的关键．
10．B
【分析】利用，得CD，再利用，得，计算P到两腰的距离之和．
【详解】根据题意，作图如下：
∵
∴
∴
∵
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用等面积法进行转化是解题的关键．
11．B
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AD＝CD，再根据等腰三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD．
∵△BCD的周长是14，BC＝6，
∴AB＝BD+CD＝14﹣6＝8，
∵AB＝AC，
∴AC＝8．
故选：B．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质是解答本题的关键．
12．B
【分析】根据等腰三角形两底角相等即可得解．
【详解】解：∵等腰三角形的顶角为80°，
∴它的底角度数为×（180°-80°）=50°．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，关键是根据等腰三角形的性质解答．
13．B
【分析】根据等腰三角形的性质得到，由于，于是得到，根据三角形的内角和即可得到．
【详解】解：∵，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
14．25
【分析】设∠ADC＝α，然后根据AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，表示出∠B和∠BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数，进而求得∠B的度数即可．
【详解】解：∵AC＝AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，
设∠ADC＝α，
∴∠B＝∠BAD＝ ，
∵∠BAC＝105°，
∴∠DAC＝105°﹣，
在△ADC中，
∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，
∴2α+105°﹣＝180°，
解得：α＝50°，
∴∠B＝∠BAD＝＝25°，
故答案为：25．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
15．D
【分析】根据题意，应该考虑两种情况，①CD在△ABC内部；②CD在△ABC外部．分别结合已知条件进行计算即可．
【详解】①如右图所示，CD在△ABC内部，
∵AB=AC，CD为AB上的高，
∴∠B=∠ACB，
又∵△ADC是等腰三角形，
∴
∴
∴
②如右图所示，CD在△ABC外部，
∵AB=AC，CD为AB上的高，
∴∠B=∠ACB，
又∵△ADC是等腰三角形，
∴
∴
∴
故选D.
【点睛】考查等腰三角形的性质，画出示意图，数形结合是解题的关键.不要漏解.
16．75°##75度
【分析】根据三角形内角和定理，三角形外角和内角的关系以及等腰三角形的性质，逐步推出的度数即可．
【详解】解：∵∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，
∴∠ACB=15°，
∴∠CDB=∠CBD=30°，
∴∠BCD=180°−(∠CDB+∠CBD)=180°−60°=120°，
∵∠ECD=180°−∠BCD−∠ACB=180°−120°−15°=45°，
∴∠ECD=∠CED=45°，
∴∠CDE=180°−45°×2=90°，
∵∠EDF=∠EFD=180°−(∠CDB+∠CDE)=180°−(30°+90°)=60°，
∴∠DEF=180°−(∠EDF+∠EFD)=180°−(60°+60°)=60°，
∴=180°−(∠CED+∠DEF)=180°−(45°+60°)=75°．
故答案为：75°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形性质与内角外角的关系．
17．C
【详解】A、因为有两个角为30°、60°,则第三个角为90°，所以此选项不正确；
B、因为有两个角为40°、80°,则第三个角为60°，所以此选项不正确；
C、因为有两个角为50°、80°,则第三个角为50°，有两个角相等，所以此选项正确；
D、因为100°+120°>180°，所以此选项不正确；
故选：C.
18．见解析
【分析】首先依据等腰三角形的性质得到∠BDE=∠BED，然后结合对顶角的性质可得到∠BDE=∠CEF，接下来，依据直角三角形两锐角互余、等角的补角相等等知识可得到∠A=∠C，最后，再依据等边对等角的性质进行判断即可．
【详解】解：证明：∵BD=BE，
∴∠BDE=∠BED
又∵∠BED=∠CEF，
∴∠BDE=∠CEF
又∵DF⊥AC，
∴∠A+∠BDF=90°，∠C+∠CEF=90°，
∴∠A=∠C，
∴AB=BC（等角对等边），
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
19．证明见解析
【详解】试题分析：由BD为角平分线，利用角平分线的性质得到一对角相等，再由EF与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换可得出∠EBD=∠EDB，利用等角对等边得到EB=ED，同理得到FC=FD，再由EF=ED+DF，等量代换可得证．
试题解析：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠EBD=∠CBD，
又∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EBD=∠EDB，
∴EB=ED，
同理FC=FD，
又∵EF=ED+DF，
∴EB+FC=ED+DF=EF．
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握性质与判定是解本题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据三角形的外角性质得出，求出即可；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出和的度数，根据角平分线的定义求出的度数，根据三角形的外角性质求出即可．
【详解】（1）证明∶平分，
；
（2）解∶，
，
，
平分，
，
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据已知判定，从而得到，即等腰三角形；
（2）由已知可得，通过判定，从而得到．
【详解】（1）证明：平分，
．
，
，
又，
，
，即等腰三角形．
（2），
，
，
，
又，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题时注意结合图形分析已知条件与问题之间的位置关系，把条件与问题的联系作为主要的思考方向．
22．A
【分析】先利用等边三角形的性质、等腰三角形三线合一的性质得出，再利用AE＝AD得出，最后利用三角形外角的性质即可求出∠DEC的度数．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴，
∵AE＝AD，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及外角的性质，利用等腰三角形三线合一的性质得出是解题的关键．
23．C
【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=40°=∠EBC，即可得出结论．
【详解】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠CED=50°，
∴∠ECB=40°=∠EBC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=20°，
故选C．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解题关键．
24．D
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABD=∠BCE=60°，AB=BC．
∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠1=∠CBE．
∵∠CBE+∠ABE=60°，
∴∠1+∠ABE=60°．
∵∠2=∠1+∠ABE，
∴∠2=60°．
故选D．
25．C
【分析】根据等边三角形的性质可得∠ACB＝60°，再根据等边对等角的性质求出∠E＝∠CDE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求解得到∠E的度数．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，D是AC中点，
∴∠ACB＝60°，
∵CD＝CE，
∴∠E＝∠CDE，
∵∠BCD＝∠E+∠CDE＝2∠E＝60°，
∴∠E＝30°，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．
26．66°
【分析】由是正五边形可得AB=AE以及∠EAB的度数，由△ABF是等边三角形可得AB=AF以及∠FAB的度数，进而可得AE=AF以及∠EAF的度数，进一步即可根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出答案．
【详解】解：∵五边形是正五边形，
∴AB=AE，∠EAB=108°，
∵△ABF是等边三角形，
∴AB=AF，∠FAB=60°，
∴AE=AF，∠EAF=108°－60°=48°，
∴∠EFA=．
故答案为：66°．
【点睛】本题考查了正多边形的内角问题、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
27．4．
【分析】由∠B=∠C=60°及三角形的内角和，得出∠BAC=60°，从而△ABC为等边三角形，再由等腰三角形的“三线合一”性质，得出BD=CD，而已知AB=8，即可得答案．
【详解】解∵∠B=∠C=60°
∴∠BAC=180°-60°-60°=60°
∴△ABC为等边三角形
∵AB=8
∴BC=AB=AC=8
∵AD为角平分线
∴BD=CD
∴CD=BD=BC=4 ．
故答案为4．
【点睛】本题考查等边三角形的判定及等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握三线合一性质是解题的关键．
28．1.5
【分析】由是等边三角形，是的平分线，可得，，，又由，可得，是等边三角形，从而推出，则为，据此可求得答案．
【详解】：解：∵是等边三角形，是的平分线，
∴，，
∵，
∴，，
∴，是等边三角形，
∴，
∴点D是的中点，
∴．
故答案为：1.5．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，平行线的性质，证明是解题的关键．
29．2
【详解】试题解析：过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
∵在△PFD和△QCD中，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE=AC，
∵AC=4，
∴DE=×4＝2．
30．30
【分析】由题意知，进而可知的度数．
【详解】解：由题意知
∴
故答案为：30．
【点睛】本题考查了正弦值求角度．解题的关键在于熟练掌握特殊角的正弦值．
31．3
【分析】根据直角三角形中,30°角所对直角边等于斜边的一半计算即可．
【详解】∵∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6，
∴BC=，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中,30°角所对直角边等于斜边的一半是解题的关键．
32．8
【分析】根据直角三角形30度角的性质得到，再利用，得到，求出即可．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：8．
【点睛】此题考查了含30度角的直角三角形的性质：直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记性质是解题的关键．
33．B
【分析】过P作PQ垂直于MN，利用三线合一得到Q为MN中点，求出MQ的长，在中，利用所对的直角边等于斜边的一半求出OQ的长，由OQ-MQ求出OM的长即可．
【详解】解：过P作，
∵，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
则，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及含直角三角形的性质，熟练掌握含直角三角形的性质，是解本题的关键．
34．A
【分析】根据等边三角形的判定、等腰三角形的性质进行逐一判断即可．
【详解】解：因为有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，
所以A选项符合题意，B选项不符合题意；
因为顶角和底角相等的等腰三角形是等边三角形，
所以C不符合题意；
因为腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形，
所以D选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的判定、等腰三角形的性质．
35．见解析．
【分析】思路：求出BE=BC，再求一个内角为60°即可.
【详解】∵CE⊥AB于点D，且DE=DC，
∴BC=BE，
∵AC=BC，CE⊥AB于点D，
∴CD垂直平分AB，
又∵∠ABC=120°，
∴∠ECB=60°，
∴△CEB为等边三角形．
【点睛】掌握等边三角形的定义是解题的关键.
36．等边三角形，证明见解析
【分析】先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠PAQ＝60°，从而得出△APQ是等边三角形．
【详解】解：△APQ为等边三角形．
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，
在△ABP与△ACQ中，
∵，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ，
∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明△ABP≌△ACQ，是解题的关键．
37．证明见解析.
【详解】试题分析：过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可．
试题解析：如图，过P作PE∥BQ交AC于E，
∴∠EPD=∠Q，
在△EPD和△CQD中，
∵
∴△EPD≌△CQD（ASA），
∴PE=CQ，∵PA=CQ，∴PE=PA，∴∠PEA=∠A=60°，
∵PE∥BQ，∴∠PEA=∠ACB=60°∴∠A=∠ACB=∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形.
点睛：本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
38．（1）见解析；（2）105°．
【分析】（1）由角平分线和平行线的性质可得到∠DBE=∠DEB，可证得结论；
（2）由∠A＝35°，∠C＝70°可求出∠ABC=75°，然后利用角平分线和平行线的性质可得到∠BDE=∠DEB即可求解.
【详解】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）∵∠A＝35°，∠C＝70°，
，
∵DE∥BC，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质．
39．（1）见解析；（2）70°
【分析】（1）由AB=AC，∠ABC=∠ACB，BE=CF，BD=CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．
（2）根据∠A=40°可求出∠ABC=∠ACB=70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
【详解】解：证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△DBE和△ECF中，
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=（180°-40°）=70°，
∴∠1+∠2=110°，
∴∠3+∠2=110°，
∴∠DEF=70°．
【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题．
40．（1）见解析；（2）见解析；（3）△CGH是等边三角形，理由见解析
【分析】（1）利用SAS证明△ACD≌△BCE即可得出答案；
（2）根据△ACD≌△BCE，推出∠CBH=∠CAG，由∠ACB=∠ECD=60°，点B、C、D在同一条直线上，得出∠ACG=60°，根据AC=BC即可证明；
（3）由△ACG≌△BCH，推出CG=CH，根据∠ACG=60°即可证明．
【详解】解：（1）∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴AC=BC，EC=DC，
∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACD=∠ECB，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE；
（2）∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBH=∠CAG，
∵∠ACB=∠ECD=60°，点B、C、D在同一条直线上，
∴∠ACG=60°=∠ACB，
又∵AC=BC，
∴△ACG≌△BCH(ASA)；
（3）△CGH是等边三角形，理由如下：
∵△ACG≌△BCH，
∴CG=CH（全等三角形的对应边相等），
又∵∠ACG=60°，
∴△CGH是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形）．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，关键是利用好全等三角形以及等边三角形的性质．
41．D
【分析】以点O、A、B为顶点的等腰三角形有3种情况，分别为，，，从这三方面考虑点B的位置即可．
【详解】解：如图所示，
①当时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b在O点两侧各有一个交点，此时B点有2个；
②当时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b有另外一个交点，此时B点有1个；
③当时，作OA的垂直平分线，与直线b有一个交点，此时B点有1个，
综上，B点总共有4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，因此要注意分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点B是解题的关键．
42．D
【分析】因为题中没有说明已知两边哪个是底，哪个是腰，所以要分情况进行讨论．
【详解】解：当三边是2cm，2cm，5cm时，不符合三角形的三边关系；
当三角形的三边是5cm，5cm，2cm时，符合三角形的三边关系，
此时周长是5+5+2=12cm．
故选D．
【点睛】考查了等腰三角形的性质，此类题注意分情况讨论，还要看是否符合三角形的三边关系．
43．B
【分析】根据AB∥CD，可得∠C＝∠ABC＝30°，再由等腰三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠ABC＝30°，
又∵CD＝CE，
∴∠D＝∠CED，
∵∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，
∴∠D＝75°．
故选：B
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形中，等边对等角是解题的关键．
44．B
【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的判定证得EG=EB，DF=DC即可求得结果．
【详解】解：∵ED∥BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EGC=∠GCB，
∵FB是∠ABC的平分线，CG是∠ACB的平分线，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECG=∠GCB，
∴∠DFB=∠DBF，∠ECG=∠EGC，
∴BD=DF，CE=GE，
∵FG=2，ED=6，
∴DB+EC=DF+GE=ED-FG=6-2=4，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明．
45．D
【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解．
【详解】解：∵，
∴
解得，
①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3，能组成三角形，周长=2+2+3=7；
②2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3，能组成三角形，周长=2+3+3=8，
所以该等腰三角形的周长为7或8．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
46．C
【分析】由已知条件根据等边三角形的性质、角平分线的性质求解．
【详解】解：如图，
∵等边三角形ABC中，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的角的平分线，交于点I，
∴∠1＝∠2＝∠ACB＝30°，
∴∠BIC＝180°﹣（∠1+∠2）＝120°．
故选：C．
【点睛】此题主要考查等边三角形的性质，解题的关键是根据题意作出图形进行求解.
47．D
【分析】根据等边三角形的性质和直角三角形的性质得出边的关系解答．
【详解】解：如图所示：
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
48．B
【分析】根据中位线定理以及含30度角的直角三角形的性质即可求得．
【详解】解：∵点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，
∴点E是AC的中点，
∴DE是直角三角形ABC的中位线，
根据三角形的中位线定理得：DE＝BC，
又∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴BC＝AB＝×8＝4．
故DE＝BC＝×4＝2m，
故选：B．
【点睛】本题考查了中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
49．A
【分析】根据等边三角形的性质和∠MON＝30°，可得A1B1＝OA1＝1，∠OB1A2＝90°，再由△A2B2A3、△A2B2A3是等边三角形，可得，从而得到，可得到A2B2＝2B1A2，同理B3A3＝2B2A3，进而得到A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，即可求解．
【详解】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，∠A1B1A2＝60°，
∵∠MON＝30°，
∴∠OB1A1＝30°，
∴A1B1＝OA1＝1，∠OB1A2＝90°，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A2B2A3是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴A2B2＝2B1A2，
同理B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，
以此类推：△A7B7A8的边长为 26＝64．
故选：A
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
50．C
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和定理可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到 ，再证得，得到AF＝AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据角平分线的性质定理和三角形的面积可证得③正确．
【详解】∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝−∠OBA−∠OAB＝−∠CBA−∠CAB
＝−（−∠C）＝＋∠C，故①正确；
∵∠C＝，由①知：∠AOB＝＋∠C，
∴∠AOB＝，
∴∠AOF＝，
∴∠BOE＝，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝−−＝，
∴∠AOH＝∠AOF，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠HAO＝∠FAO，
在△HAO和△FAO中，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH＋AH＝BE＋AF，故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB＋AC＋BC＝2b，
∴＝×AB×OM+×AC×OH+×BC×OD＝（AB+AC+BC）•a＝ab，
故③正确；
综上可知，①②③正确，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形全等的性质和判定、角平分线的性质，正确作出辅助线证得，得到是解决问题的关键．
51．30°##30度
【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ABC及∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数即可进行解答．
【详解】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠A＝∠ABD＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
52．4
【分析】先证明△ABC是等边三角形，再证明AD是BC的垂直平分线，即可得出BE=BC=4cm．
【详解】解：∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，A在BC的垂直平分线上，
∴BC=AB=8cm．
∵DB=DC，
∴点D在BC的垂直平分线上，
∴AD垂直平分BC，
∴BE=BC=4cm．
故答案为4．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质和线段的垂直平分线的性质定理的逆定理；证明AD是BC的垂直平分线是解题的关键．
53．45°或135°
【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为45°．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为135°．
【详解】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD=45°，
∴∠A=45°，
即顶角的度数为45°．
②如图，等腰三角形为钝角三角形
∵BD⊥AC，∠DBA=45°，
∴∠BAD=45°，
∴∠BAC=135°．
故答案为45°或135°．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键在于正确的画出图形，认真的进行计算．
54．或
【分析】作于H，根据点A和B的坐标，得．根据等腰三角形的三线合一的性质，得，再根据勾股定理求得，从而写出点C的坐标．
【详解】解：作于点H．
∵，，
∴．
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴；
同理，当点C在第二象限时，．
故答案为：或．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质、勾股定理、点的坐标等知识，数形结合是解题的关键．
55．2
【分析】过P点作PE⊥OB于E，如图，根据角平分线的性质得到PE=PD，再利用平行线的性质得到∠PCE=∠AOB=30°，接着根据含30度的直角三角形三边的关系得到PE=PC=2，从而得到PD的长．
【详解】解：过P点作PE⊥OB于E，如图，
∵∠AOP=∠BOP=15°，
∴OP平分∠AOB，∠AOB=30°，
而PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD，
∵PC∥OA，
∴∠PCE=∠AOB=30°，
∴PE=PC=×4=2，
∴PD=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了含30度的直角三角形的性质和平行线的性质．
56．①②③
【分析】根据等边三角形的三边都相等，三个角都是60°，可以证明ACD与BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝BE，所以①正确，对应角相等可得∠CAD＝∠CBE，然后证明ACP与BCQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PC＝PQ，从而得到CPQ是等边三角形，再根据等腰三角形的性质可以找出相等的角，从而证明PQ∥AE，所以②正确；根据全等三角形对应边相等可以推出AP＝BQ，所以③正确，根据③可推出DP＝EQ，再根据DEQ的角度关系DE≠DP．
【详解】解：∵等边ABC和等边CDE，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB，
即∠ACD＝∠BCE，
在ACD与BCE中，
，
∴ACD≌BCE（SAS），
∴AD＝BE，故①小题正确；
∵ACD≌BCE（已证），
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已证），
∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，
∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，
在ACP与BCQ中，
，
∴ACP≌BCQ（ASA），
∴AP＝BQ，故③小题正确；PC＝QC，
∴PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ＝60°，
∴∠ACB＝∠CPQ，
∴PQ∥AE，故②小题正确；
∵AD＝BE，AP＝BQ，
∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，
即DP＝QE，
∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，
∴∠DQE≠∠CDE，故④小题错误．
综上所述，正确的是①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定，需要多次证明三角形全等，综合性较强，但难度不是很大，是热点题目，仔细分析图形是解题的关键．
57．（1）见解析；（2）∠DEF＝67.5°.
【分析】（1）由AB=AC，∠ABC=∠ACB，BE=CF，BD=CE．利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．
（2）根据∠A=45°可求出∠ABC=∠ACB=67.5°根据△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
【详解】∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△CEF中
，
∴△DBE≌△CEF，
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△CEF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝（180°﹣45°）＝67.5°
∴∠1+∠2＝112.5°
∴∠3+∠2＝112.5°
∴∠DEF＝67.5°
【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°．
58．（1）见解析；（2）BE垂直平分AD，理由见解析
【分析】（1）根据余角的性质即可得到结论；
（2）由AD平分∠MAC，得到∠3=∠4，根据三角形的外角的性质得到∠BAD=∠ADB，推出△BAD是等腰三角形，于是得到结论．
【详解】解：（1）∵AM⊥BC，
∴∠ABC+∠BAM=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠C=90°，
∴∠BAM=∠C；
（2）BE垂直平分AD，
理由：
∵AD平分∠MAC，
∴∠3=∠4，
∵∠BAD=∠BAM+∠3，
∠ADB=∠C+∠4，
∠BAM=∠C，
∴∠BAD=∠ADB，
∴△BAD是等腰三角形，
又∵∠1=∠2，
∴BE垂直平分AD．
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和，线段垂直平分线的判定，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
59．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）等边三角形的性质可以得出，两边及其夹角分别对应相等，两个三角形全等，得出线段与线段相等．
（2）根据平角的定义得出，通过证明得出，根据等边三角形的判定得出的形状．
【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形，
∴．
∴，
即：，
在和中
，
∴．
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
在和中
∴．
∴．
又∵，
∴是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，同时考查了等边三角形的性质和判定．
60．（1）①见解析；②见解析；（2）AC=BD，α．
【分析】（1）①先证明∠AOC=∠BOD，即可利用SAS证明△AOC≌△BOD得到AC=BD；
②由△AOC≌△BOD可得∠OAC=∠OBD，再由三角形外角的性质得到∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠APB=∠AQB，由此即可证明；
（2）同（1）先证明∠AOC=∠BOD，即可利用SAS证明△AOC≌△BOD得到AC=BD；∠OAC=∠OBD，再由三角形外角的性质得到∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠APB=∠AQB，由此即可得到答案．
【详解】（1）证明：①∵∠AOB=∠COD=60°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS）
∴AC=BD；
②设AC与BO交点为Q，
∵△AOC≌△BOD
∴∠OAC=∠OBD，
∴∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠APB=∠AQB，
∴∠OAC+60°=∠OBD+∠APB，
∴∠APB=60°；
（2）AC=BD，∠APB=α，理由如下：
设AC与BO交点为Q，
∵∠AOB＝∠COD＝α，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS）
∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，
∴∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠APB=∠AQB，
∴∠OAC+α=∠OBD+∠APB，
∴∠APB=α．
故答案为：AC=BD，α．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
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