初中数学人教版八年级上册11.2.2 三角形的外角优秀教学设计

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人教版数学八年级上册
第十一章 三角形
11.2.2 三角形的外角
1.理解并掌握三角形的外角的概念，能够在复杂图形中找出外角；
2.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和及三角形的内角和；
3.会利用三角形的外角性质解决问题.
1．将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为________.
 
∠AOB＝ ∠A＋∠ACO
∠ACO＝ 45°－ 30° ＝ 15°
∠A＝ 90°
＝90°＋15°
＝105°
2．若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形．
钝角
1. 在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝52°，则∠C＝ ______.
48 °
∠C＝180°－80°－52°
＝48°
2. 如图，在△ABC中， ∠A＝70°， ∠B＝60°，则∠ACB＝ ，∠ACD＝ .
50 °
130°
∠ACB＝180°－70°－60° ＝50°
∠ACD＝180°－∠ACB ＝130°
3. 什么是三角形的内角？其内角和等于多少？
三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，
它们的和是180 °.
B
D
C
A
O
●
40 °
70 °
？
●
●
问题：猪爸爸带着小猪佩奇和乔治玩游戏，他们打算用迂回的方式，佩奇先从A前进到C处，然后再折回到B处截住猪爸爸，乔治则直接在A处拦截猪爸爸，已知∠BAC＝40°， ∠ABC＝70°.佩奇从C处要转多少度角才能直达B处？
●
思考：像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.
由三角形内角和易得∠BCA＝180°－∠A－∠CBA＝70°，
所以∠BCD＝180°－∠BCA＝110°.
∠ACD是△ABC的一个外角
C
B
A
D
问题1 如图，延长AC到E，∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？
E
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD与∠BCE为对顶角，∠ACD ＝∠BCE；
∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角.
问题2 如上图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
画出△ABC的所有外角，共有几个呢？
∠ACD是△ABC的一个外角.
每一个三角形都有6个外角．
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
F
A
B
C
D
E
如图，∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
∠BEC是△AEC的外角；
∠AEC是△BEC的外角；
∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
问题3 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？
问题4 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？
∴∠A＋∠B＝∠BCD.
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∠BCD＋∠ACB＝180°，
D
证明：过C作CE平行于AB，
A
B
C
∴∠1＝ ∠B，(两直线平行，同位角相等)
∠2＝ ∠A ，(两直线平行，内错角相等)
∴∠ACD＝ ∠1＋ ∠2＝ ∠A＋ ∠B.
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD＝∠A＋∠B.
三角形内角和定理的推论：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
几何语言：∵ ∠ACD是△ABC的一个外角∴ ∠ACD＝ ∠A＋ ∠B.
说出下列图形中∠1和∠2的度数：
∠1＝40 °， ∠2＝140 °
∠1＝18 °， ∠2＝130 °
例1 如图，∠A＝42°，∠ABD＝28°，∠ACE＝18°， 求∠BFC的度数.
∵ ∠BEC是△AEC的一个外角，
∴ ∠BEC＝ ∠A＋ ∠ACE，
∵∠A＝42° ，∠ACE＝18°，
∴ ∠BEC＝60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∴ ∠BFC＝ ∠ABD＋ ∠BEF，
∵ ∠ABD＝28° ，∠BEC＝60°，
∴ ∠BFC＝88°.
解：
F
A
C
D
E
B
例2. 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
E
150°
20°
30°
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
解：延长BP交AC于点E，
则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，
∠PEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE
＝150°－30°＝120°.
(一题多解)如图，∠A＝51°，∠B＝20°，∠C＝30°，求∠BDC的度数.
＝51°＋20°＋30°
E
)
)
1
2
)
3
)
4
你发现了什么结论？
连接AD并延长于点E.
在△ABD中，∠1＋∠ABD＝∠3，
在△ACD中，∠2＋∠ACD＝∠4.
因为∠BDC＝∠3＋∠4，∠BAC＝∠1＋∠2，
所以∠BDC＝∠BAC＋∠ABD＋∠ACD
＝101°.
E
)
1
＝101°.
连接延长CD交AB于点F(解题过程同解法二).
)
2
F
延长BD交AC于点E.
在△ABE中，∠1＝∠ABE＋∠BAE，
在△ECD中，∠BDC＝∠1＋∠ECD.
所以∠BDC＝∠BAC＋∠ABD＋∠ACD
＝51° ＋20°＋30°
如图①，试比较∠2 、∠1的大小；
如图② ，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.
解：∵∠2＝∠1＋∠B，∴∠2＞∠1.
解：∵∠2＝∠1＋∠B，∠3＝∠2＋∠D，∴∠3＞∠2＞∠1.
三角形的外角大于与它不相邻的内角.
例3. 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
所以∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2(∠1＋ ∠2＋ ∠3)＝360 °.
你还有其他解法吗？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE＝ ∠2＋∠3，
∠CBF＝ ∠1＋∠3，
∠ACD＝ ∠1＋∠2.
又知∠1＋∠2＋∠3＝180 °，
所以∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－180°＝360°.
如图，∠BAE＋∠1＝180 ° ① ，
∠CBF ＋∠2＝180 ° ②，
∠ACD ＋∠3＝180 ° ③，
又知∠1＋ ∠2＋ ∠3＝180 °，
①＋ ②＋ ③得∠BAE＋ ∠CBF＋ ∠ACD＋(∠1＋∠2＋∠3)＝540 °，
过A作AM平行于BC，
∠3＝∠4
∠2＝ ∠BAM，
所以 ∠1＋∠2＋∠3＝ ∠1＋∠4＋∠BAM＝360°
∠2＋∠3＝∠4＋∠BAM，
结论：三角形的外角和等于360°.
思考 你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？
4
1.判断下列命题的对错.(1)三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. ( )(2)三角形的外角和等于它的内角和的2倍. ( )(3)三角形的一个外角等于两个内角的和. ( )(4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.( )(5)三角形的一个外角大于任何一个内角. ( )(6)三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.( )
2.如图，AB//CD，∠A＝37°， ∠C＝63°，那么∠F等于( )
A.26° B.63° C.37° D.60°
A
37°
63°
63°
∠F＝∠FEB－∠A
＝63°－ 37°
＝26°
3. (1)如图，∠BDC是________的外角，也是 的外角；
A
B
C
D
△ADE
△ADC
(2)若∠B＝45 °， ∠BAE＝36 °， ∠BCE＝20 °，试求∠AEC的度数.
＝45 °＋20 °＋36 °＝101 °.
解：根据三角形外角的性质有
∠ADC＝ ∠B＋ ∠BCE，
∠AEC＝ ∠ADC＋ ∠BAE.
所以∠AEC＝ ∠B＋∠BCE＋ ∠BAE
解：因为∠ADC是△ABD的外角.
4 .如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD， ∠ADC＝80°，∠BAC＝70°，求：(1)∠B 的度数；(2)∠C的度数.
在△ABC中，
∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，
∠C＝180º－40º－70º＝70°.
所以∠ADC＝∠B＋∠BAD＝80°.
又因为∠B＝∠BAD，
A
B
C
D
 
1
2
F
G
解：∵∠1是△FBE的外角，
∴∠1＝∠B＋ ∠E，
同理∠2＝∠A＋∠D.
在△CFG中，∠C＋∠1＋∠2＝180º，
∴∠A＋ ∠ B＋∠C＋ ∠ D＋∠E＝ 180º.
5. 如图，求∠A＋ ∠B＋ ∠C＋ ∠D＋ ∠E的度数.
课程结束
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