人教A版2019必修第二册高中数学专题01第六章平面向量含解析答案

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专题01第六章�平面向量学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列关于向量的描述正确的是（   ）A．若向量，都是单位向量，则B．若向量，都是单位向量，则C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共线2．下列命题中正确的是（    ）A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量C．若向量，同向，且，则 D．单位向量的模都相等3．下列说法错误的是（　　）．A．零向量没有方向B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同C．只有零向量的模等于0D．向量与的长度相等4．如图，在平行四边形中，（    ）A． B． C． D．5．在中，边上的中线为，点满足，则（    ）A． B．C． D．6．在中，，则（    ）A． B．C． D．7．如图，在△ABC中，点E是线段AB的中点，点D是线段BC上靠近B的三等分点，则（    ）A． B．C． D．8．在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．9．在中，，，是以为直径的圆上任意一点，则的最大值是（    ）A． B． C． D．10．已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（    ）A． B． C． D．11．向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（    ）A．32 B．-32 C．16 D．-1612．向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ）A． B．16 C． D．813．已知，，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ）A． B． C． D．14．已知为坐标原点，是终边上一点，其中，非零向量的方向与轴正方向相同，若，则取值范围是（    ）A． B． C． D．15．已知平面向量、、满足，，，，则的最小值为（    ）A． B． C． D．16．已知平面向量，，，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．17．已知向量，则向量与夹角的大小等于（    ）A． B． C． D．18．已知是的外心，，，则向量在向量上的投影向量为（    ）A． B． C． D．19．已知平面向量，，则在上的投影向量为（    ）A． B． C． D．20．若向量，满足，，且，则在上的投影向量为（    ）A． B． C． D．二、多选题21．下列结论中，错误的是（    ）A．表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；B．若，则，不是共线向量；C．若，则四边形是平行四边形；D．与同向，且，则三、填空题22．设都是单位向量，且，则的最小值为 ．23．如图，已知矩形ABCD的边，．点P，Q分别在边BC，CD上，且，则的最小值为 ．24．已知正方形的边长为1，点满足．当时， ；当 时，取得最大值．25．与是两个单位向量，，则当 时，取得最小值．26．等边三角形的边长为2，则在上的投影向量为 .四、解答题27．已知点G为三条中线的交点．(1)求证:(2)若点为所在平面内任意一点(不与点G重合)，求证:(3)过G作直线与AB，AC两条边分别交于点M，N，设，，求的最小值．28．已知，如图，在中，点满足在线段BC上且，点是AD与MN的交点，.(1)分别用来表示和(2)求的最小值29．如图，在中，点为上一点，且．(1)请用向量表示向量；(2)过点的直线与，所在直线分别交于点，，且满足，，求证：．30．如图所示，点是重心..(1)用表示(系数中的字母只含x，y)；(2)求最小值.31．已知向量，.(1)若，求实数k的值；(2)若，求实数k的值.32．已知向量，，(1)若，求实数的值；(2)若，求向量与的夹角的余弦值.33．已知平面向量．(1)若，求；(2)若，求向量与的夹角．34．已知向量.(1)若，求；(2)若，求与的夹角.35．阅读一下一段文字：，两式相减得：，我们把这个等式称作“极化恒等式”．它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试解决以下问题：如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．（1）若，求的值；（2）若， ，求的值．36．阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①-②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，为中点.(1)若，求的面积；(2)若，求的值.37．已知向量满足，，．(1)求与的夹角；(2)若，，求．38．已知为单位向量.(1)若，求的夹角；(2)若，求的值.39．已知，，且满足(1)求实数的值；(2)设，求非零向量与的夹角的余弦值．40．已知向量．(1)若，求；(2)若，求与的夹角的余弦值．41．已知向量，，且与的夹角为，(1)求；(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．42．已知，.(1)若，求的值；(2)求的最小值；(3)若向量与向量的夹角为钝角，求的取值范围.43．已知向量的夹角为.(1)求；(2)若存在实数，使得与的夹角为锐角，求的取值范围.44．设两个向量满足，(1)求方向的单位向量；(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围.45．若A，B，C是平面内不共线的三点，且同时满足以下两个条件：①；②存在异于点A的点G使得：与同向且，则称点A，B，C为可交换点组．已知点A，B，C是可交换点组．(1)求∠BAC；(2)若，，，求C的坐标；(3)记a，b，c中的最小值为，若，，点P满足，求的取值范围．46．定义非零向量的“相伴函数”为（），向量称为函数（）的“相伴向量”（其中O为坐标原点）．(1)设（），写出函数的相伴向量；(2)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记向量的相伴函数，若且，求的取值范围；(3)已知，，为（2）中函数，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．47．定义向量的“对应函数”为；函数的“对应向量”为（其中为坐标原点），记平面内所有向量的“对应函数”构成的集合为(1)设，求证：(2)已知且，是函数的“对应向量”，，求(3)已知，向量的“对应函数”在处取得最大值，当变化时，求的取值范围48．我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“广义坐标系”.如图所示，，分别为，正方向上的单位向量.若向量，则称有序实数对为向量的“广义坐标”，可记作. (1)已知，求，的“广义坐标”；(2)已知，，求；(3)已知，，求证：的充要条件是.参考答案：1．B【分析】利用单位向量的定义，即可判断出选项ABD的正误；选项C，利用共线向量的定义，即可判断出选项C的正误.【详解】对于选项A，向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为，方向不定，故向量和不一定相同，故选项A错误；对于选项B，单位向量的长度相同均为，所以，故选项B正确；对于选项C，任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C错误；对于选项D，因为所有单位向量的模为，且共起点，所以所有单位向量的终点在半径为的圆周上，故选项D错误；故选：B.2．D【分析】根据零向量，单位向量，相等向量的定义判断即可.【详解】对于A：模为的向量叫零向量，零向量的方向是任意的，故A错误；对于B：相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B错误；对于C：向量不可以比较大小，故C错误；对于D：单位向量的模为，都相等，故D正确.故选：D3．A【分析】A.由零向量的定义判断；B.由相等向量的定义判断；C.由向量模的定义判断；D.由相反向量的定义判断.【详解】A.规定零向量的方向是任意的，所以零向量有方向，故错误；B.两个相等的向量大小相同，方向相同，所以若起点相同，则终点必相同，故正确；C.由向量模的定义可知只有零向量的模等于0，故正确；D.向量与是相反向量，大小相同，方向相反，故正确；故选：A4．A【分析】根据给定图形，利用向量加法的平行四边形法则计算即得.【详解】依题意，，所以.故选：A5．A【分析】由平面向量的线性运算即可.【详解】  为的中点，，.故选：A.6．D【分析】运用平面向量加法、减法、数乘运算即可.【详解】如图，因为，所以，又，所以，所以.故选：D.7．B【分析】结合几何关系，利用向量的线性运算即可求解.【详解】．故选：B．8．A【分析】先将转化成，再结合平方差公式和已知条件即可求解.【详解】由题，所以由点P在斜边BC的中线AD上得，故，故选：A.9．A【分析】以中点为原点，建立平面直角坐标系，利用坐标法，结合三角函数的值域问题可求解.【详解】如图：以中点为原点，建立平面直角坐标系，则，，设，，所以，，所以.因为，（其中且）.所以.从而.故选：A10．D【分析】建立平面直角坐标系， 表示出点的坐标， 利用坐标法结合平面向量数量积的定义求最小值即可.【详解】以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系.则设，则所以所以当时, 取得最小值为.故选：D.11．D【分析】由题设有，代入极化恒等式求即可.【详解】由题设，，，.故选：D12．A【分析】可以把三角形补形为平行四边形，,利用已知条件求解即可.【详解】由题设，可以补形为平行四边形，由已知得．故选：A．13．A【分析】由已知可知与垂直，结合向量的几何意义，可将向量的模的问题转化为点到线的距离问题，即可求解.【详解】设，共起点，由，可得，所以与垂直，如图由向量减法的几何意义可知，向量的终点落在图中的圆上，由题意可知的终点在图中所示的射线上，所以的最小值是从圆上的点到射线上的点形成的向量，要求的最小值，只需求圆心到射线的距离减去圆的半径，故的最小值为.故选：.14．D【分析】根据向量模的坐标表示写出模的表达式，然后由函数性质得结论．【详解】由已知或，或，，，，又，所以时，取最小值，时，取最大值4，故选：D．15．C【分析】不失一般性，在平面直角坐标系中，设，，，根据平面向量数量积的坐标运算可得出、的值，以及的值，再利用平面向量的模长公式以及基本不等式可求得的最小值.【详解】不失一般性，在平面直角坐标系中，设，，，因为，，，所以，，当且仅当时，等号成立.因此，的最小值为.故选：C.16．B【分析】根据题意，由平面向量数量积的坐标运算可得，再由平面向量的夹角公式代入计算，即可得到结果.【详解】，，，，．故选：B17．C【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示求解即得.【详解】向量，则，而，则，所以向量与夹角的大小等于.故选：C18．C【分析】依题意可知是的中点，从而得到，，解法一：过点作，垂足为，即可得到，结合投影向量的定义即可得解；解法二：设，根据向量在向量上的投影向量等于计算可得.【详解】由，所以是的中点，又是的外心，则，再由，，则为正三角形，，角度一：如图，过点作，垂足为，则，，所以向量在向量上的投影向量等于.角度二：设，则，所以，所以向量在向量上的投影向量等于.故选：C.19．C【分析】由投影向量的公式计算即可．【详解】设与夹角为，则，在上的投影向量为：，故选：C．20．D【分析】根据向量等式关系化简，求得的值，再求出在上的投影向量即可.【详解】因为，，，所以，化简得，所以在上的投影向量是.故选：D.21．BCD【分析】根据平面向量的表示，共线向量的定义，以及向量的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，故A正确；对B：若，也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，故B错误；对C：若，则，可以方向不同，所以四边形不一定是平行四边形，故C错误；对D：因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，故D错误.故选：BCD.22．/【分析】首先求出，再根据数量积的运算律得到，最后结合数量积定义计算可得.【详解】因为，，则，所以，当与方向相同时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：23．【分析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，表示出，用基本不等式求最小值.【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则，，．设，则，，．因为．当且仅当，即时，“＝”成立，所以的最小值为．故答案为：【点睛】方法点睛：数量积的计算方法：（1）定义法；（2）坐标法；（3）基底法；（4）极化恒等式；（5）数量积的几何意义（投影）.24． /0.5【分析】第一空建立如图所示坐标系，用坐标分分别表示出，再计算数量积即可；第二空建立如图所示坐标系，用坐标表示出，，结合二次函数的性质计算数量积的最大值即可.【详解】根据题意，建立以为原点的平面直角坐标系，如图  则因为正方形的边长为1，当时，，所以，所以，所以；如图，  因为，所以，所以，，所以，所以当时，取得最大值.故答案为：；.25．/0.5【分析】先由向量加法法则及其几何意义得出与夹角为，再建立平面直角坐标系，用坐标进行运算即可求解，或也可通过作图探究最小值.【详解】法一：因为与是两个单位向量，，所以由向量加法法则及其几何意义可知与夹角为，将、放置共起点位置，如图所示，建立平面直角坐标系，则，，所以，所以当 ，取得最小值为.故答案为：.法二：因为与是两个单位向量，，所以由向量加法法则及其几何意义可知与夹角为，将、与放置共起点位置，如图所示：则终点始终在过终点且平行于所在直线上，且当与垂直时取得最小值为，此时，即.故答案为：.26．【分析】根据题意，结合投影向量的公式，准确计算，即可求解.【详解】因为等边的边长为，且，所以在上的投影向量为：.故答案为：.27．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）根据给定条件，利用向量线性运算及共线向量定理的推论推理即得.（2）利用（1）的结论，结合向量的减法法则推理即得.（3）由（1）的信息，结合共线向量定理的推论求得，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【详解】（1）令分别为的边上的中线，则，由点在上，得，显然，则，即，又点共线，于是，解得，则，因此，所以.  （2）由（1）知，，而点为所在平面内任意一点(不与点G重合)，因此，即，所以.（3）由（1）知，，而，，因此，又点共线，则，即，于是，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值.28．(1)；(2)【分析】（1）平面向量基本定理的运用，根据已知条件，结合向量的线性运算即可求解.（2）根据已知条件，结合三点共线性质和基本不等式中“1”的妙用即可求解.【详解】（1）因为，所以，因为，所以.（2）由（1），因为，，所以，因为三点共线，所以，，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.29．(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据平面向量的线性表示与运算法则，用表示向量即可；（2）由，，三点共线可设，结合已知条件得，又为上一点，且，故，由平面向量基本定理得，即可证明．【详解】（1）因为，，又，故得，所以．（2）由，，三点共线可设，又，，，为上一点，且，，， 所以．30．(1)(2)【分析】（1）连接并延长，交于点，根据重心性质，向量中点公式可得，由此可得结论；（2）由向量三点共线结论可得，结合基本不等式求结论.【详解】（1）连接并延长，交于点，则为中点，所以，由重心性质可得， 所以,因为，，所以，（2）又因为三点共线，由（1）可得，因为在线段上，所以，所以，当且仅当即即时取得等号.所以的最小值为.31．(1)(2)【分析】（1）由得到，然后即可解出；（2）由得到，然后用数量积的坐标运算即可解出.【详解】（1）由知，即.（2）由，，知.由知，故，即，从而.32．(1)(2)【分析】（1）利用向量平行的坐标形式可求的值；（2）利用向量垂直的坐标形式可求的值，再利用公式可求向量与的夹角的余弦值.【详解】（1）向量，则，由，得，解得.（2），由，有，解得，则，.所以向量与的夹角的余弦值.33．(1)(2)【分析】（1）利用平面向量数量积公式及模长公式计算即可；（2）根据平面向量共线的充要条件及夹角的坐标表示计算即可.【详解】（1）因为，所以即，即，即，所以，所以；（2）由题意可得又因，所以，解得，所以所以即又因为，所以.34．(1)；(2).【分析】（1）利用向量减法的坐标运算及共线向量的坐标表示求出，再求出向量的模.（2）利用向量加法的坐标运算及向量垂直的坐标表示求出，再求出向量夹角.【详解】（1）向量，则，由，得，解得，即，所以.（2）向量，则，由，得，解得，则，，而，因此，而，所以与的夹角.35．（1）21；（2）.【分析】（1）利用极化恒等式，即可求解.(2)根据条件解出m、n即可求解.【详解】解：（1）由“极化恒等式”知：；（2）设，因为由（1）知， ①因为同理可得， ②由①②解得，于是有.36．(1)10(2)240【分析】（1）利用数量积的定义求出，根据同角关系求出，代入三角形面积公式即可求解；（2）先利用极化恒等式得，由得，代入极化恒等式求解即可.【详解】（1）因为，所以，即，所以，又，所以，所以；（2）因为，，由极化恒等式得，所以，又，所以，由极化恒等式得.37．(1)(2)【分析】（1）利用向量数量积的性质及运算规律即可求解；（2）由，再利用求模公式求解．【详解】（1）因为，，，设，所以，所以，因为，所以，即与的夹角为；（2）因为，则，故．38．(1)(2)【分析】（1）由得，两边同时平方得到，从而求解的夹角即可；（2）由得，求，先平方再开方即可求解.【详解】（1）由于，所以，两边平方得，又为单位向量，所以，设的夹角为，则，所以，故的夹角为.（2）因为，所以，由，故，所以故.39．(1)(2)【分析】（1）由向量线性运算以及模的运算公式列出方程求解即可；（2）设出非零向量的坐标，结合向量垂直得到，进一步结合向量夹角的余弦的坐标公式即可求解.【详解】（1），，，，（2）设，，，所以都不等于0，设与的夹角为，，则.40．(1)(2)【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算求出x，再根据向量模的坐标运算可得结果；（2）根据向量平行的坐标运算求出x，再根据向量夹角的坐标运算可得结果.【详解】（1）由可得，整理得．因为，所以，解得．所以，所以．（2），因为，所以，解得．所以，又，所以，所以与的夹角的余弦值为．41．(1)；(2).【分析】（1）由向量夹角坐标运算求得，再利用模长公式求解即可；（2） 由向量数量积大于0且两向量不同向列不等式求解即可.【详解】（1）向量，，可得，，且．因为与的夹角为，可得，   解得，所以， 则，  所以；（2）由向量，，可得，   由，解得   ,当向量与共线时，可得，解得，    所以实数的取值范围为.42．(1)(2)(3)【分析】（1）由向量平行的坐标表示可直接构造方程求得结果；（2）根据向量模长的坐标表示可将所求模长转化为关于的二次函数的形式，结合二次函数性质可求得结果；（3）根据向量夹角坐标表示可构造不等式组求得结果.【详解】（1），，解得：.（2），，则当时，.（3）与的夹角为钝角，，即，解得：且，的取值范围为.43．(1)(2)【分析】（1）根据向量夹角余弦公式计算出，得到答案；（2）设与的夹角为，则，且与不同向共线，得到不等式，求出答案.【详解】（1），因为，所以；（2）设与的夹角为，则且，故，且与不同向共线，，，故，且，解得且，故的取值范围是.44．(1)；(2)【分析】（1）计算出，利用求出答案；（2）根据夹角为钝角得到不等式，结合向量不与向量反向共线，得到答案.【详解】（1）由已知，所以，所以，即方向的单位向量为；（2）由已知，所以，因为向量与向量的夹角为钝角，所以，且向量不与向量反向共线，设，则，解得，从而，解得45．(1)；(2)；(3)．【分析】（1）根据与同向，设，利用夹角公式，结合，得到，再由，得到求解；（2）由（1）知，，得到是正三角形，利用边长相等求解；（3）设BC的中点为D，由，得到G为的重心，且为的中心，不妨设与的夹角为，，分别表示数量积求解.【详解】（1）解：因为与同向，设，则，，又∠GAB，．因为，所以，所以，由，得，又，所以，．（2）由（1）知，．所以，因为，，，所以，，，则，解得所以C的坐标为．（3）设BC的中点为D，则，又，所以，即G为的重心，又是正三角形，点G是的中心，所以，，，由对称性，不妨设与的夹角为，，如图所示，，，由图可知，与，与的夹角分别为，，所以，的值分别为，，当时，，所以，其取值范围是．所以的取值范围是．46．(1)；(2)；(3)存在点【分析】（1）根据两角差的正弦公式结合相伴向量的概念即可得结果；（2）首先根据相伴函数的概念求出，进而求出，通过正弦定理将表示成关于的三角函数，进而可得结果；（3）求出，设，由数量积为0列出关于的方程，结合性质即可得结果.【详解】（1），所以函数的相伴向量．（2）由题知，由，得．又，即，所以．又，由正弦定理，得，，即．因为，所以，所以，即的取值范围为．（3）由（2）知，所以，设，因为，，所以，，又因为，所以，所以，即，所以．因为，所以，所以，又因为，所以当且仅当时，和同时等于，所以在图像上存在点，使得．47．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）根据题意，得到对应的向量为，即可得证；（2）化简函数，得到，进而求得的值；（3）根据题意，由函数 在处取得最大值，得到，求得，结合三角函数的有界性求得，结合单调性，即可求解.【详解】（1）证明：因为，根据题意，可得函数对应的向量为，又因为平面内所有向量的“对应函数”构成的集合为，所以；（2）由函数，因为，所以，又因为，所以，可得.（3）由函数，其中，因为在处取得最大值，所以，即，此时，令，可得，即，其中，可得，解得，所以，当时，；当时，单调递减，；当时，单调递减，.综合可得的取值范围为.【点睛】关键点睛：解答本题的关键时理解对应向量以及对应函数的定义，明确其内涵，能根据该定义结合向量的坐标运算进行求解.48．(1)；(2)；(3)证明见解析.【分析】（1）根据已知条件及向量的坐标运算即可求解；（2）利用向量的数量积公式及数量积的运算律即可求解；（3）根据已知条件及向量的共线定理即可求解.【详解】（1）因为，所以（2）因为，两分别为，正方向上的单位向量，且夹角为，所以 ，所以，（3）必要性：若，则； 若，，则存在，使得，即，消去得；充分性：当，若，则，若，不妨设，则，则,则存在，使得，所以.