人教A版2019必修第二册高中数学专题04第八章立体几何初步含解析答案

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专题04�第八章�立体几何初步学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．有一封闭透明的正方体形容器，装有容积一半的有颜色溶液，当你任意旋转正方体，静止时液面的形状不可能是（    ）A．三角形 B．正方形 C．菱形 D．正六边形2．多面体的欧拉定理：简单多面体的顶点数、棱数与面数满足的数学关系.请运用欧拉定理解决问题：碳具有超导特性、抗化学腐蚀性、耐高压以及强磁性，是一种应用广泛的材料.它的分子结构十分稳定，形似足球，也叫足球烯，如图所示．碳的分子结构是一个由正五边形面和正六边形面共32个面构成的凸多面体，60个碳原子处于多面体的60个顶点位置，则32个面中正六边形面的个数是（　　）A．22 B．20 C．18 D．163．如图，这是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为，山高为是山坡上一点，且．现要建设一条从到的环山观光公路，这条公路从出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，公路上坡路段长为（    ）A． B． C． D．4．在直角三角形中，已知，以为旋转轴将旋转一周，边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为（    ）A． B．4 C． D．65．某圆柱的轴截面是面积为12的正方形为圆柱底面圆弧的中点，在圆柱内放置一个球，则当球的体积最大时，平面与球的交线长为（    ）A． B． C． D．6．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则的面积为（    ）A．6 B．3 C． D．7．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，则该平面图形的高为（    ）A． B．4 C． D．8．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为的等边三角形，则顶点到轴的距离是（   ）A． B． C． D．9．如图，的斜二测画法的直观图是腰长为1的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（    ）A． B．2 C． D．10．已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长4，高为3，则其表面积为（    ）A．3 B． C． D．4811．《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台即今天的正四棱台.如图，某方亭的上底面与下底面的边长分别为4和8，每个侧面与下底面夹角的正切值均为，则方亭的侧面积为（    ）A． B． C． D．12．在正三棱台中，已知，，侧棱的长为2，则此正三棱台的体积为（    ）A． B． C． D．13．楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体，其中面为正方形．若，，且与面的距离为，则该楔体形构件的体积为（    ）  A． B． C． D．14．已知正三棱锥 P－ABC 的底面边长为 ，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥 P－ABC 的体积为（    ）A．2 B． C．3 D．15．已知正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则（    ）A．2 B． C．4 D．16．陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺立体结构图．已知，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积(单位：)是（   ）  A． B． C． D．17．一个圆台的上、下底面的半径分别为和，体积为，则它的表面积为（   ）A． B． C． D．18．某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究，发现将该圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了周，如图，若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为，则该圆锥的体积为（   ）A． B． C． D．19．若一个圆台的两个底面半径分别为1和2，侧面积为，则它的体积为（    ）A． B． C． D．二、多选题20．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”，半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美，如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，则正确的有（　　）A．则该半正多面体有12个顶点 B．则该半正多面体有14个面C．则该半正多面体表面积为3 D．则该半正多面体体积为21．正方体的棱长为4，P，Q分别为棱，的中点，F为棱上的动点．设过点P，Q，F的平面截该正方体所得的截面为，则下列命题是真命题的是（    ）A．当时，为四边形 B．当F与D重合时，为五边形C．当时，的面积为 D．当时，为六边形三、填空题22．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 个23．如图，在底面为正三角形的直三棱柱中，，，点为的中点，一只小虫从沿三棱柱的表面爬行到处，则小虫爬行的最短路程等于 ．  24．如图，圆柱形开口容器下表面密封，其轴截面是边长为的正方形.现有一只蚂蚁从外壁处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到中点处，则它所需经过的最短路程为 .25．如图所示，在长方体中，，对角线与底面所成角余弦值为，则从点沿表面到点的最短距离为 ．  26．在四面体ABCD中，已知AB＝CD＝2，AC＝BD＝，AD＝BC＝，E，F分别是AD，BC的中点．若过EF的中点用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面的面积为 ．27．已知正四棱锥，其底面边长为8，侧棱长为，则正四棱锥的侧面积为 .28．已知某圆锥的体积为，该圆锥侧面的展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为 ．29．如图，圆台的母线长为6，两底面半径分别为2，7，则此圆台的表面积为 ．    四、解答题30．已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为和，高为，求此正三棱台的表面积. 31．已知圆锥的顶点为，母线PA，PB所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形PAC的顶角为，若的面积为.(1)求该圆锥的侧面积；(2)求该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值.32．如图，四边形中，，，，，，(1)求将四边形绕直线旋转一周所成几何体的体积；(2)求将四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积．33．如图，在正方体中，若为棱的中点，(1)判断平面与平面是否相交．如果相交，在图1作出这两个平面的交线，并说明理由；(2)如图2，求证：平面．34．如图，在几何体中，四边形为直角梯形，，平面平面(1)证明：平面(2)证明：35．如图，在三棱台中，，分别为的中点．求证：平面.  36．如图，直三棱柱所有的棱长都为1，，分别为和的中点．  (1)证明：平面．(2)求三棱锥的体积．37．如图，在四棱锥中，，，，设，分别为，的中点，.  (1)证明：平面；(2)证明：平面平面.38．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面分别是中点.(1)求证：平面；(2)若为中点，求证：平面平面.39．如图，正方体中，M，N，E，F分别是，，，的中点．(1)求证：E，F，B，D四点共面；(2)求证：平面平面EFDB；(3)画出平面BNF与正方体侧面的交线需要有必要的作图说明、保留作图痕迹，并说明理由．40．如图所示，在三棱柱中，过BC的平面与上底面交于GH（GH与不重合）.(1)求证：；(2)若E，F，G分别是AB，AC，的中点，求证：平面平面BCHG.参考答案：1．A【分析】根据题意可得无论怎样转动，其液面总是过正方体的中心，再分别讨论液面与底面平行，液面过正方体对角线的两个顶点和液面过正方体六条棱的中点即可判断B，C和D是正确的，进而即可得到答案．【详解】因为正方体容器中盛有一半容积的有颜色溶液，无论怎样转动，其液面总是过正方体的中心．对于B，当过正方体一面上相对两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正方形，即静止时液面如图（1），故B正确；对于C，当过正方体一面上一边的中点和此边外的顶点以及正方体的中心作一截面，其截面形状为菱形，即静止时液面如图（2），故C正确；对于D，当过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正六边形，即静止时液面如图（3），故D正确；                                                                            故选：A．2．B【分析】结合题意，设正五边形的个数为，正六边形的个数为，可得方程组，解出即可得.【详解】由题意可知，，由可得，设正五边形的个数为，正六边形的个数为，则，因为一条棱连着两个面，所以足球烯表面的棱数，联立，解得，即32个面中正六边形面的个数是20.故选：B.3．D【分析】利用圆锥的侧面展开图，利用两点间的距离，结合图象，求最小值．【详解】依题意，半径为，山高为，则母线，底面圆周长，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角，如图，是圆锥侧面展开图，显然，由点向引垂线，垂足为点，此时为点和线段上的点连线的最小值，即点为公路的最高点，段为上坡路段，段为下坡路段，由直角三角形射影定理知，即，解得，所以公路上坡路段长为．故选：D4．D【分析】求出母线长，设该圆锥任意两条母线的夹角为，根据三角形面积公式和正弦函数的性质即可求解.【详解】如图，在中，，，可得圆锥轴截面的顶角为，设该圆锥任意两条母线的夹角为，经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积为，当时，面积最大值为6.故选：D．5．D【分析】根据条件知当球的体积最大时，球与圆柱的上下底面及母线均相切，作出图形后，计算即可.【详解】由题意知，当球的体积最大时，球与圆柱的上下底面及母线均相切，因为正方形的面积为12，所以，如图1，记所在底面的圆心为所在底面的圆心为，平面与球的交线为圆形，如图即为截面圆的直径，易知，易知RtRt，故，所以，所以交线长为.故选:D.6．A【分析】将直观图还原成平面图，根据斜二测画法原理求出平面图形的边长，即可计算面积．【详解】直观图还原成平面图，则，所以的面积为，故选：A．7．C【分析】根据斜二测画法将直观图还原为直角梯形，如图，结合勾股定理计算即可求解.【详解】在直角梯形中，，则，直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形，，，，，所以该平面图形的高为．故选：C．8．A【分析】过点作交轴于点，利用正弦定理求得，再由斜二测画法规则即可得到结果.【详解】 过点作交轴于点，如图所示，在中，，由正弦定理可得，，所以，由斜二测画法可知，在原平面图形中，点B到x轴的距离是.故选：A.9．C【分析】根据题意，过点，分别作轴和轴的平行线，即可得到的坐标，再由两点间距离公式，即可得到结果.【详解】根据题意，如图，在直观图中，过点，分别作轴和轴的平行线，与轴和轴分别交于点，，由于的直观图是腰长为1的等腰直角三角形，则，，则的坐标为，则，，故原图中，的坐标为，A的坐标为，故，故选：C.10．B【分析】根据已知先求斜高，然后可得表面积.【详解】如图，作平面，，垂足分别为，连接.由题可知，，所以，所以表面积.故选：B11．B【分析】利用侧面与下底面的夹角的正切值均为，求得正棱台的高，进而求得其斜高，结合侧面积公式，即可求解.【详解】设上底面为，下底面为，取的中点，的中点，连接，设上底面的中心为，下底面的中心为，连接，过点作于点，如图所示，因为，所以即为侧面与下底面夹角的平面角，即，又因为，所以，所以，所以，所以方亭的侧面积为.故选：B.12．C【分析】先计算出三棱台的上下底面的面积，再根据底面边长与侧棱长求解三棱台的高，进而计算出三棱台的体积．【详解】正三棱台中，已知，，所以的面积为，的面积为，设，分别是，的中心，设，分别是，的中点，，，三点共线，，，三点共线，，，，，，过作，垂足为，则，，三棱台的高为，三棱台的体积为．故选：C．13．C【分析】设，分别为，的中点，连接，，，由，，，可知为三棱柱，再利用椎体与柱体的体积关系计算该几何体的体积．【详解】如图所示，  设，分别为，的中点，连接，，，因为面为正方形，所以，又平面，平面，所以平面，又平面平面，所以    ，因为，分别为，的中点，，，所以，则为平行四边形，则，同理，又，所以为三棱柱，由题意，可得；又；所以该多面体的体积为．故选：C．14．A【分析】作出图形，根据题意可得棱切球的球心即为底面正三角形的中点O，再求出三棱锥的高，最后根据三棱锥的体积公式，即可求解.【详解】因为球与该正三棱锥的各棱均相切，所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面垂直的直线上，又因为底面边长为，所以底面正三角形的内切圆的半径为，又因为球的半径，即，所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点O，如图，过球心O作PA的垂线交PA于H，则H为棱切球在PA上的垂足，  所以，又因为，所以,因为，所以，又由题意可知，平面，所以，所以所以，所以.故选：A.15．C【分析】根据棱柱的体积公式计算可得.【详解】因为正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则，所以，解得.故选：C16．C【分析】由题意先求圆锥的母线长，结合圆柱和圆锥的侧面积公式分析求解.【详解】由题意可知：圆锥的母线长为，所以这个陀螺的表面积是.故选：C.17．B【分析】先利用圆台的体积公式求得高，再利用圆台的表面积公式即可得解.【详解】依题意，设圆台的高为，则，解得，所以圆台的母线长为，则圆台的表面积为.故选：B．18．B【分析】设圆锥的母线长为，则圆锥绕顶点滚动所形成的圆的半径为，周长为，由周长公式求出，即可求出圆锥的高，再由圆锥的体积公式即可得出答案.【详解】设圆锥的母线长为，则圆锥绕顶点滚动所形成的圆的半径为，周长为，又圆锥底面半径为，则底面周长为，故，解得，所以圆锥的高为，所以圆锥的体积为，故选：B.19．B【分析】由侧面积求得母线长，再求出圆台的高，然后由体积公式计算．【详解】记母线长为，高为，由侧面积为，，则高为，所以体积为，故选：B．20．ABD【分析】由图形即可判断AB；由半正多面体的所有顶点都在同一个正方体的棱上，可得正方形和正三角形的边长，计算即可判断C；利用割补法计算可得半正多面体的体积，即可判断D，【详解】该半正多面体的所有顶点恰为正方体各棱的中点，其棱长为，有12个顶点，14个面（6个正方形，8个正三角形），故AB正确；半正多面体的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，可得该半正多面体所有顶点都为正方体的棱的中点，它可由正方体去掉8个三棱锥所剩部分，所以该半正多面体的棱长为，故半正多面体的面积为，故C错误；半正多面体的体积为，故D正确.故选：ABD..21．AB【分析】通过作图，找出截面，根据截面形状可判定选项.【详解】当时，F与重合，如图①所示，延长交的延长线于M，连接PM交于N，连接QN，则为四边形，A正确．当F与D重合时，如图②所示，延长DP交的延长线于G，连接GQ交于H，延长GQ交的延长线于T，连接DT交于I，连接QI，PH，则为五边形PHQID，B正确．当时，F为的中点，如图③所示，连接，，易得为矩形，，则的面积为，C错误．当时，如图④所示，延长PF交的延长线于R，连接RQ交于V，延长RQ交的延长线于S，连接PS交于K，连接QK，FV，则为五边形PFVQK，D错误．故选：AB22．4【分析】把四棱锥放在正方体中，分析得到答案.【详解】四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数最多是4个，即，，，，故答案为：4.23．【分析】利用三棱柱平面展开图可3种情况，画出图形利用平面上两点间距离最短，可计算比较得解.【详解】    如图1，将三棱柱的侧面和侧面沿展开在同一平面内，连接，是中点，和是等边三角形，，，在中，由勾股定理得：.如图2，把底面和侧面沿展开在同一平面内，连接，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，，在中，，，，，，在中，由勾股定理可得，.如图3，连接,交于点，则，，在中，，，.，小虫爬行的最短路程为.故答案为：.24．【分析】画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出的最小值就是AE的长求解即可.【详解】侧面展开后得矩形，其中，问题转化为在上找一点，使最短，作P关于CD的对称点E，连接AE，令AE与CD交于点Q，则的最小值就是AE为故答案为：.25．【分析】将正方体按不同位置侧面展开，分别计算平面图形中两点间的距离，比较可得出最小值．【详解】由底面，得为对角线与底面所成角，设，则，则，得，从点沿表面到点可以分为以卡三种情况：  ①与相交，如图①所示，此时；②与相交，如图②所示，此时；③与相交，如图③所示，此时．综上可知，从点沿表面到点的最短距离为．故答案为：.26．/【详解】解析：将四面体补形为长方体易得．  【考查意图】补形法研究空间几何体的截面问题．27．80【分析】利用正四棱锥的性质，再根据条件，求出斜高，即可求出结果.【详解】如图所示，正四棱锥的底面边长为8，侧棱长为，取的中点，因为，所以，因为，，所以正四棱锥的侧面积为， 故正四棱锥的侧面积为.      故答案为：.28．【分析】由圆锥体积公式，侧面积公式，扇形圆心角公式，及轴截面三角形中的勾股定理，联立方程组可求解出结果.【详解】设圆锥的底面半径为R，母线长为，高为，圆锥的体积，化简得：，侧面展开图的圆心角，化简得：，由勾股定理可得：，代入得：，，圆锥的侧面积，故答案为：.29．【分析】根据题意，结合圆台的侧面积公式和圆的面积公式，准确计算，即可求解.【详解】由题意知，圆台上底面半径，下底面半径，母线长，由圆台表面积公式，可得：．故答案为：.30．【分析】根据勾股定理求解侧面的高，即可利用表面积公式求解.【详解】如图所示，画出正三棱台，其中为正三棱台上、下底面的中心，分别为的中点，则为正三棱台的高，为侧面梯形的高，四边形为直角梯形，,,所以,所以此三棱台的表面积,  31．(1)(2)【分析】（1）根据同角的平方关系求出，由三角形面积公式求出圆锥母线长，进而求出底面半径，结合圆锥的侧面积公式计算即可求解；（2）设圆柱底面半径，则圆柱的高为，结合圆柱侧面积公式和基本不等式计算即可.【详解】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、，由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，则，解得，又，所以，又因为的面积为，∴，解得（负值舍去），又，所以，∴圆锥的侧面积．（2）作出轴截面如图所示：由（1）可知，设圆柱底面半径，即，则圆锥的高，所以，即圆柱的高为，所以圆锥内接圆柱的侧面积，当且仅当，即时取等号，所以圆锥内接圆柱的侧面积的最大值为.32．(1)(2)【分析】（1）作出辅助线，求出各边长度，求出四边形绕直线旋转一周形成圆台和三角形绕直线旋转一周形成圆锥的体积，相减即可；（2）求出以为半径的圆的面积，以为母线的圆台的侧面积和以为母线的圆锥的侧面积，相加后得到答案.【详解】（1）作，，E，F为垂足，因为，所以，因为，所以，，故，又，，故，，由勾股定理得，由四边形绕直线旋转一周形成圆台，且，由三角形绕直线旋转一周形成圆锥，且所以将四边形绕直线旋转一周所成几何体的体积为；（2）四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积分为三部分，以为半径的圆的面积为，以为母线的圆台的侧面积，以为母线的圆锥的侧面积，所以该几何体的表面积为.33．(1)解析见详解(2)证明见详解【分析】（1）根据基本事实2可作两个平面的交线.（2）如图可证，根据线面平行的判定定理证明.【详解】（1）平面与平面ABCD相交，因为，所以四点共面，且与不平行则必相交，如图，连接、并延长交于，连接，则平面平面.（2）连接，交与点，连接，在中，点分别是的中点，所以，而平面，平面，所以平面.34．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由线段对应成比例可得，进而得到，再由线面平行的判定定理证明即可.（2）先有线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理得到【详解】（1）连接交于，连接．因为四边形为直角梯形，，所以，又因为，所以，因为面面，所以平面.（2）因为四边形为直角梯形，所以．因为面面，所以平面．因为面，面面．所以．35．证明见解析【分析】连接，,证明四边形为平行四边形，得为的中点，利用三角形中位线定理可得,即可证得.【详解】证明：如图，连接，，  设，连接.在三棱台中，，为中点，可得所以四边形为平行四边形．所以为的中点．又为的中点，所以.又平面，平面，所以平面.36．(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用线面平行判定定理证明即可.（2）利用等体积法求即求，利用三棱锥求体积公式即可求解.【详解】（1）  证明：连接，在中，D，E分别为和的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）因为为直三棱柱，所以平面，又因为为边长为的正三角形，所以，又.37．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）连接，利用三角形中位线及平行四边形性质证得，再利用线面平行的判定推理即得.（2）由（1）的信息，利用线面平行的判定、面面平行的判定推理即得.【详解】（1）在四棱锥中，连接，由，分别为，的中点，得，而，，则，四边形为平行四边形，因此，而平面，平面，所以平面.  （2）由，得是的中点，而为中点，则，又平面，平面，于是平面，由（1）知，，而平面，平面，因此平面，又平面，所以平面平面.38．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）取的中点，由且，得到四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；（2）根据题意，证得四边形为平行四边形，得到，证得平面，由（1）可得平面，结合面面平行的判定定理，即可得证.【详解】（1）证明：取的中点，连接，因为底面是正方形，底面，且分别是的中点，所以，且，，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）证明：因为为的中点，连接，可得且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，且平面，所以平面，由（1）可得平面，且平面，所以平面平面.39．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)答案见解析【分析】（1）要证，，，四点共面，只需证明；（2）只需证明平面，平面即可；（3）因为平面，平面，设平面平面，由线面平行的性质定理知，过作的平行线即可.【详解】（1）因为分别是，的中点，所以为的中位线，所以，又四边形是矩形，所以，所以，故，，，四点共面；（2）由已知，为的中位线，所以，所以，又平面，平面，所以平面，同理，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，又，所以平面平面．（3）由过作的平行线交分别于，则连接分别交于，连接，如图，由，则平面，平面，设平面平面，由线面平行的性质定理知，所以过作的平行线交分别于，连接分别交于，连接，即可得到平面与正方体侧面的交线．40．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据面面平行的性质定理即可求证．（2）推导出，，由此能证明平面平面．【详解】（1）在三棱柱中，平面平面，平面平面，平面平面，故（2）在三棱柱中，，，分别是，，的中点，，四边形是平行四边形，，平面，平面，平面．又，平面，平面，平面．，平面平面平面．