(2019)高中数学必修第二册第六章6.2.4《向量的数量积》课后课时精练-人教A版
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A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知|a|＝2，|b|＝4，a·b＝－4，则向量a与b的夹角为( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
答案 D
解析 cosθ＝＝＝－，∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.故选D.
2．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝( )
A．0 B．2 C．4 D．8
答案 B
解析 ∵|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，∴|2a－b|＝2.
3．若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是( )
A．直角梯形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
答案 C
解析 由＋＝0，得平面四边形ABCD是平行四边形，由(－)·＝0，得·＝0，即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，则该四边形一定是菱形．
4．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D．π
答案 A
解析 由题意，得(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－2b2－a·b＝0，即a·b＝3a2－2b2.又|a|＝|b|，所以a·b＝3×2－2b2＝b2，所以cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝.
5．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若非零向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )
A．1 B．2 C. D.
答案 C
解析 因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，(a－c)·(b－c)＝－c·(a＋b)＋|c|2＝－|c||a＋b|cosθ＋|c|2＝0，其中θ为c与a＋b的夹角，所以|c|＝|a＋b|·cosθ＝cosθ≤，所以|c|的最大值是，故选C.
二、填空题
6．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，·(2a－3b)＝12，则|b|＝________；b在a上的投影向量的模等于________．
答案 1
解析 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝4|b|cos45°＝2|b|，
又·(2a－3b)＝|a|2＋a·b－3|b|2＝16＋|b|－3|b|2＝12，解得|b|＝或|b|＝－(舍去)．
b在a上的投影向量的模为||b|cos〈a，b〉|＝cos45°＝1.
7．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.
答案 2
解析 由题意，将b·c＝[ta＋(1－t)b]·b整理，得ta·b＋(1－t)＝0，又a·b＝，所以t＝2.
8．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．
答案
解析 因为＝＋＋＝－＋＋＝－，所以·＝(＋)·＝2＋·－2＝1＋×1×||cos60°－||2＝1，
所以||－||2＝0，解得||＝.
三、解答题
9．已知a，b是两个非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取得最小值时，
(1)求t的值(用a，b表示)；
(2)求证：b与a＋tb垂直．
解 (1)|a＋tb|2＝a2＋t2b2＋2ta·b
＝b22＋a2－.
当t＝－时，|a＋tb|取得最小值．
(2)证明：因为(a＋tb)·b＝a·b＋tb2＝a·b－×b2＝0，所以a＋tb与b垂直．
B级：“四能”提升训练
1．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
答案 4
解析 由a＋b＋c＝0，得(a＋b＋c)2＝0，得
a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0.
又(a－b)⊥c，a⊥b，
∴(a－b)·c＝0，a·b＝0.∴a·c＝b·c.
∴a2＋b2＋c2＝－4b·c，b2＋c2＝－1－4b·c.①
由a＋b＋c＝0，得b＋c＝－a，
故(b＋c)2＝1，即b2＋c2＋2b·c＝1.②
由①②得b·c＝－1，故a2＋b2＋c2＝4，即|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
2．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2.
(1)若四边形ABCD是矩形，求·的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，且·＝6，求与夹角的余弦值．
解 (1)因为四边形ABCD是矩形，所以·＝0，
由＝2，得＝，＝＝－.
所以·＝(＋)·(＋)
＝·
＝2－·－2＝36－×81＝18.
(2)由题意，＝＋＝＋＝＋，
＝＋＝＋＝－，
所以·＝·
＝2－·－2
＝36－·－18＝18－·.
又·＝6，
所以18－·＝6，
所以·＝36.
又·＝||||cosθ＝9×6×cosθ＝54cosθ，
所以54cosθ＝36，即cosθ＝.
所以与夹角的余弦值为.
