2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修一专题2.8 直线和圆的方程（能力提升卷）

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专题2.8 直线和圆的方程（能力提升卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2023·全国·高三专题练习）若直线l1：x−2y+1=0与直线l2：x+ay−1=0平行，则l1与l2的距离为（    ）A．55 B．255 C．15 D．25【答案】B【分析】根据两条直线平行求得a，根据两平行直线间的距离公式求得正确答案.【详解】直线l1的斜率为12，所以直线l2的斜率为−1a=12,a=−2，即直线l2:x−2y−1=0，所以l1和l2的距离为−1−112+−22=255.故选：B2．（2023·高二校考阶段练习）圆E：x2+y2=1与圆F：x2+y2−4x−4y+4=0的公切线的条数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】求出两圆的圆心坐标与半径，由圆心距与半径间的关系可知两圆相交，从而得到两圆公切线的条数．【详解】解：化F:x2+y2−4x+4y+4=0为(x−2)2+(y+2)2=4，可知圆F的圆心坐标为(2,−2)，半径为2；又圆E:x2+y2=1的圆心坐标为(0,0)，半径为1．而|EF|=(2−0)2+(−2−0)2=22，即2−1<|EF|=22<2+1．∴圆E与圆F相交，则公切线条数为2．故选：B．3．（2023·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考开学考试）已知圆C:x2+y2−4y+a=0及点A−1,0，B1,2．若在圆C上有且仅有一个点P，使得PA2+PB2=12，则实数a的值为（    ）A．0 B．3 C．0或3 D．−5或3【答案】D【分析】先求出点P所在的圆E:x2+y−12=4，再由题得两圆相切，即得解.【详解】由题得圆C:x2+y−22=4−a,设Px,y，由|PA|2+|PB|2=12可得点P在圆E:x2+y−12=4上，由题可知E与圆C:x2+y−22=4−a相切，故4−a=1或9，即a=3或−5．故选：D【点睛】本题主要考查动点轨迹方程的求法和两圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．（2023·高二课时练习）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=34−x2图像上的点，则|OP|=（    ）A．222 B．4105 C．7 D．10【答案】D【分析】根据题意可知，点P既在双曲线的一支上，又在函数y=34−x2的图象上，即可求出点P的坐标，得到|OP|的值．【详解】因为|PA|−|PB|=2<4，所以点P在以A,B为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由c=2,a=1可得，b2=c2−a2=4−1=3，即双曲线的右支方程为x2−y23=1(x>0)，而点P还在函数y=34−x2的图象上，所以，由{y=34−x2x2−y23=1(x>0)，解得{x=132y=332，即|OP|=134+274=10．故选：D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．5．（2023春·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考开学考试）已知圆C:x2+y2−6x−2y+6=0上存在两个关于直线l:x+ay−1=0a∈R对称的点，过点P−3,a作圆C的一条切线，切点为A，则PA=（    ）A．41 B．43 C．7 D．210【答案】A【分析】分析可知直线l过圆心C，可求得实数a的值，可得出点P的坐标，求出PC，由圆的几何性质可得PA⊥AC，再利用勾股定理可求得PA.【详解】圆C的标准方程为x−32+y−12=4，圆心为C3,1，半径为r=2，由题意可知，直线l过圆心C，则3+a−1=0，则a=−2，故点P−3,−2，PC=−3−32+−2−12=35，由圆的几何性质可知PA⊥AC，故PA=PC2−r2=41.故选：A.6．（2023·高二课时练习）若M，N分别为圆C1：(x+6)2+(y−5)2=4与圆C2：(x−2)2+(y−1)2=1上的动点，P为直线x+y+5=0上的动点，则PM+PN的最小值为（    ）A．45−3 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】设圆C3圆心(a,b)半径为1，(a,b)与2,1关于直线x+y+5=0对称，求出a,b，PM+PN最小时，由PM+PN=C1C3−3即可求解.【详解】易得圆C1圆心为−6,5半径为2，圆C2圆心为2,1半径为1，设圆C3圆心(a,b)半径为1，(a,b)与2,1关于直线x+y+5=0对称，则b−1a−2=1a+22+b+12+5=0，解得a=−6b=−7，如图所示，要使PM+PN最小，则PM+PN=PC1+PC2−2−1=PC1+PC3−3=C1C3−3=9.故选：C.7．（2023·黑龙江大庆·高二大庆中学校考阶段练习）已知圆O的圆心在坐标原点，且与直线y=x+22相切，点P为直线x+2y−9=0上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A、B为切点，则直线AB经过定点（    ）A．49,89 B．29,49 C．2,0 D．9,0【答案】A【分析】根据题意设P的坐标为(9−2m,m)，由切线的性质得点A、B在以OP为直径的圆C上，求出圆C的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦AB所在的直线方程，再求出直线AB过的定点坐标.【详解】由点P是直线x+2y−9=0上的任一点，所以设P(9−2m,m)，因为圆O:x2+y2=4的两条切线PA、PB，切点分别为A、B， 所以OA⊥PA，OB⊥PB，则点A、B在以OP为直径的圆C上，即AB是圆O和圆C的公共弦，则圆心C的坐标是(9−2m2,m2)，且半径的平方是r2=(9−2m)2+m24，所以圆C的方程是(x−9−2m2)2+(y−m2)2=(9−2m)2+m24，又由x2+y2=4，两式相减，可得(9−2m)x+my−4=0，即公共弦AB所在的直线方程是(9−2m)x+my−4=0，即m(y−2x)+(9x−4)=0，由{y−2x=09x−4=0，解得x=49,y=89，所以直线AB恒过定点(49,89).故选： A.8．（2023·全国·专题练习）若对圆(x−1)2+(y−1)2=1上任意一点P(x,y)，3x−4y+a+3x−4y−9的取值与x，y无关， 则实数a的取值范围是A．a≤4 B．−4≤a≤6 C．a≤4或a≥6 D．a≥6【答案】D【分析】根据点到直线距离公式，转化3x−4y+a+3x−4y−9为点P到两条平行直线的距离之和来求解实数a的取值范围【详解】依题意3x−4y+a+3x−4y−9=3x−4y+a5+3x−4y−95表示Px,y到两条平行直线3x−4y+a=0和3x−4y−9=0的距离之和与x,y无关，故两条平行直线3x−4y+a=0和3x−4y−9=0在圆(x−1)2+(y−1)2=1的两侧，画出图像如下图所示，故圆心1,1到直线3x−4y+a=0的距离d=3−4+a5≥1，解得a≥6或a≤−4（舍去）故选D.【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（2023·高二单元测试）已知直线l1：ax-y+1=0，l2：x+ay+1=0，a∈R，以下结论正确的是（    ）A．无论a为何值，l1与l2都互相垂直 B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A（0，1）和B（-1，0）C．无论a为何值，l1与l2都关于直线x+y=0对称 D．若l1与l2交于点M，则|MO|的最大值是2【答案】ABD【分析】结合两条直线垂直、直线过定点、直线与直线对称、直线与直线的交点等知识对选项进行分析，由此确定正确答案.【详解】对于A，a×1+（-1）×a=0，故l1与l2互相垂直恒成立，故A正确；对于B，直线l1：ax-y+1=0，当a变化，x=0时，y=1恒成立，所以l1恒过定点A（0，1）；l2：x+ay+1=0，当a变化，y=0时，x=-1恒成立，所以l2恒过定点B（-1，0），故B正确；对于C，在l1上任取一点（x，ax+1），关于直线x+y=0对称的点的坐标为（-ax-1，-x），代入l2：x+ay+1=0，得2ax=0，不满足无论a为何值，2ax=0成立，故C不正确；对于D，联立ax−y+1=0x+ay+1=0，解得 x=−a−1a2+1y=−a+1a2+1，即M−a−1a2+1,−a+1a2+1，所以|MO|=(−a−1a2+1)2+(−a+1a2+1)2=2a2+1≤2，所以|MO|的最大值是2，故D正确.故选：ABD10．（2023秋·湖南邵阳·高二统考期末）圆O1:x2+y2−2x=0和圆O2:x2+y2+2x−8y=0的交点为A，B，则下列结论正确的是（    ）A．直线AB的方程为x−2y=0B．AB=255C．线段AB的垂直平分线方程为2x+y−2=0D．点P为圆O1上的一个动点，则点P到直线AB的距离的最大值为55+1【答案】ACD【分析】A：两个圆的方程作差即可求得公共弦所在直线方程；B：利用几何关系即可求AB弦长；C：弦AB中垂线为O1O2；D：根据几何关系，点P到直线AB的距离的最大值P到AB距离与圆O1半径之和.【详解】O1：(x−1)2＋y2＝1，O1(1，0)，r1＝1；O2：(x＋1)2＋(y−42＝9，O2(−1，4)，r2＝3.对于A，由x2＋y2−2x＝0与x2＋y2＋2x−8y＝0，两式作差可得4x−8y＝0，即x−2y＝0，∴公共弦AB所在直线方程为x−2y＝0，故A正确；对于B，圆心O1到直线x−2y＝0的距离d＝15，半径为r＝1，则|AB|＝21−152＝455，故B错误；对于C，圆O1的圆心为O1(1，0)，圆O2的圆心O2(−1，4)，kO1O2＝−2，∴AB的中垂线的斜率为−2，可得AB的中垂线方程为y−0＝−2×(x−1)，即2x＋y−2＝0，故C正确；对于D，P为圆O1上一动点，圆心O1到弦AB：x−2y＝0的距离为55，半径r1＝1，则P到直线AB的距离的最大值为1＋55，故D正确.故选：ACD.11．（2023·高二单元测试）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，△ABC满足AC=BC，顶点A(1,0)、B(−1,2)，且其“欧拉线”与圆M:(x−3)2+y2=r2相切，则下列结论正确的是（    ）A．△ABC的“欧拉线”方程为y=x−1B．圆M上存在三个点到直线x−y−1=0的距离为2C．若点(x,y)在圆M上，则yx+1的最小值是−2D．若圆M与圆x2+(y−a)2=2有公共点，则a∈[−3,3]【答案】BD【分析】A选项：根据题意，得出等腰△ABC欧拉线为底边上的中线或高线，利用点斜式求出直线方程；B选项，利用圆心到直线x−y−1=0的距离及圆的半径作出判断；C选项利用yx+1的几何意义来求出最小值；D选项用两圆的圆心距与半径的关系求出a的范围.【详解】因为AC=BC，所以△ABC是等腰三角形，由三线合一得：△ABC的外心、重心、垂心均在底边上的中线或高线上，设△ABC的欧拉线为l，则l过AB的中点，且与直线AB垂直，由A(1,0)、B(−1,2)可得：AB的中点C1−12,0+22，即C0,1，kAB=2−0−1−1=−1，所以kl=1，故l的方程为：y−1=x，即y=x+1，选项A错误；因为l与圆M:(x−3)2+y2=r2相切，故r=41+1=22，又圆心到x−y−1=0的距离d1=21+1=2，所以圆M上存在三个点到直线x−y−1=0的距离为2，B选项正确；点(x,y)在圆M上，yx+1表示圆上的点与−1,0的连线的斜率，当连线与圆相切且位于圆的下方时（如图所示），此时k<0，yx+1最小，设直线m：y=kx+1，由4kk2+1=22，解得：k=±1，因为k<0，所以k=−1，即yx+1的最小值是−1，C选项错误；圆x2+(y−a)2=2的圆心坐标为0,a，半径r1=2，则要想圆M与圆x2+(y−a)2=2有公共点，只需两圆圆心的距离小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值，故2≤9+a2≤32，解得：a∈[−3,3]，故D选项正确.故选：BD12．（2023·河北·高三校联考阶段练习）已知M是圆C:x2+y−32=4上的动点，过点Pt,6作圆C的两条切线，切点为A，B，Nx0,y0是曲线E:y=lnx上的动点，则下列结论正确的是（    ）A．PA>5 B．若t=2，则四边形PACB的面积为6C．若∠APB>60°，则P点轨迹长度为27 D．当MN最小时，x0∈2,3【答案】BCD【分析】依次作出图形，轨迹勾股定理计算即可判断A、B；根据两点求距离公式求出当∠APB=60°时t的值，进而即可判断C；当MN最小时NC与曲线在N点处的切线垂直，利用两点求直线斜率公式和零点的存在性定理即可判断D.【详解】由题意知，圆C的圆心坐标为C(0,3)，半径为r=2，A：如图，当t=0时，PA=PC2−r2=9−4=5，故A不正确；B：如图，当t=2时，PC=13，PA=3，四边形PACB的面积S=2S△PAC=6，故B正确；C：如图，当∠APB=60°时，∠APC=30°，PC=4，又PC=t2+(6−3)2=t2+9，则t2+9=4，解得t=±7，所以当点P在点(−7,6)和(7,6)之间水平运动时，∠APB>60°，此时点P的轨迹长度为27，故C正确；D：如图，当MN最小时，NC与曲线在N点处的切线垂直，所以两直线斜率之积1x0⋅y0−3x0=−1，即x02+lnx0−3=0，令ft=t2+lnt−3，得f2=2+ln2−3=ln2−1<0，f3=3+ln3−3=ln3>0，所以f(2)f(3)<0，由零点的存在性定理，得x0∈(2,3)，故D正确.故选：BCD.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2023·广西玉林·统考模拟预测）写出一个半径为1，且与圆O:x2+y2=1及直线l:x=−1都相切的圆的方程 ．【答案】x2+(y−2)2=1（答案不唯一）.【分析】设所求圆C的圆心坐标为(x0,y0)，根据由已知圆C与直线l:x=−1相切，圆C与圆O相切，列出方程即可求解.【详解】设所求圆C的圆心坐标为(x0,y0)，由已知圆C与直线l:x=−1相切，圆C与圆O相切，则有−1−x0=1x02+y02=2，即得x0=0y0=2或x0=0y0=−2或x0=−2y0=0，所以所求圆的方程为x2+(y−2)2=1或x2+(y+2)2=1或(x+2)2+y2=1，故答案为：x2+(y−2)2=1（答案不唯一）.14．（2023·江苏·高二假期作业）已知A(3，－1)，B(1，2)，P(x，y)是线段AB上的动点，则yx的取值范围是 .【答案】[−13， 2]【分析】由题意利用直线的斜率公式，求得OA、OB的斜率，就可得yx的取值范围.【详解】因为A(3，－1)，B(1，2)，P(x，y)是线段AB上的动点，所以yx表示直线OP的斜率.如下图.因为直线OA的斜率为−1−03−0=−13，直线OB的斜率为2−01−0=2.所以yx的取值范围是[−13,2].故答案为：[−13,2]15．（2023·四川成都·高二阶段练习）直线 y=kx+3 与圆 x−22+y−32=4 相交于 M，N 两点，若 MN≤23，则 k 的取值范围是 ．【答案】−∞,−33∪[33,+∞)【分析】设圆心到直线y=kx+3的距离为d，则d=|2k|k2+1，利用勾股定理，结合|MN|≤23，即可求出k的取值范围．【详解】解：设圆心到直线y=kx+3的距离为d，则d=|2k|k2+1，由(|MN|2)2=4−d2且|MN|≤23得3k2≥1⇒k≥33或k≤−33．故答案为−∞,−33∪[33,+∞)．【点睛】本题主要考查直线和圆相交的性质，利用点到直线的距离公式，弦长公式，属于基础题．16．（2023·江苏南京·高一校联考期末）平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,3)，圆C:(x−a)2+(y−2a+4)2=1.若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则a的取值范围是 .【答案】0,125【分析】设点Mx,y，由|MA|=2|MO|化简得x2+y+12=4，结合点Mx,y在圆C上，推出2−1≤CD≤2+1，由此求得a的取值范围.【详解】设点Mx,y，因为|MA|=2|MO|，且A(0,3)，所以x2+y−32=2x2+y2，化简得x2+y2+2y−3=0，即x2+y+12=4，所以M在以D0,−1为圆心，2为半径的圆上.所以M即在圆C上，又在圆D上，即圆C和圆D有公共点，所以2−1≤CD≤2+1，即1≤a2+2a−4+12≤3，即5a2−12a+8≥05a2−12a≤0，解得0≤a≤125.所以a的取值范围是0,125.故答案为：0,125【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，属于中档题.解答题（共6小题，满分70分）17．（2023秋·高一单元测试）已知直线l1:x+ay−a=0和直线l2:ax−2a−3y+a−2=0.(1)若l1⊥l2，求实数a的值；(2)若l1∥l2，求实数a的值.【答案】(1)0或2(2)−3【分析】（1）根据两直线垂直的公式A1A2+B1B2=0，即可求解；（2）根据两直线平行，A1B2=A2B1，求解a，再代回直线验证.【详解】（1）若l1⊥l2，则1×a+a×−2a−3=0，解得a=0或2；（2）若l1∥l2，则∴a2=−2a+3，解得a=−3或1.a=−3时，l1:x−3y+3=0,l2:3x−9y+5=0，满足l1∥l2，a=1时，l1:x+y−1=0,l2:x+y−1=0，此时l1与l2重合，所以a=−3.18．（2023·福建泉州·高二石狮市第一中学校考期中）在平面内，A(3,0)，B(−1,0)，C为动点，若AC⋅BC=5，(1)求点C的轨迹方程；(2)已知直线l过点（1，2），求曲线C截直线l所得的弦长的最小值.【答案】(1)(x−1)2+y2=9(2)25【分析】(1)代入法即可求得轨迹方程为圆.(2)由直线l过点(1,2)在圆内即可得到弦长最小值.【详解】（1）设C(x,y)，AC=(x−3,y)，BC=(x+1,y)，∴AC⋅BC=(x−3)(x+1)+y2=5，得(x−1)2+y2=9.（2）(1−1)2+22<9，点（1，2）在圆内，当直线l为如图所示位置时，当直线与点(1,2)与圆心连线垂直时，截得弦长CD最短，即，CD=2r2−d2=25.故最短弦长为25.19．（2023·福建三明·高二校考阶段练习）已知圆M以(1,3)为圆心且过坐标原点O，直线l:y=3x交圆M于不同的两点C,D.（1）求圆M的方程；（2）设P在圆M上，当△PCD的面积为4时，求直线PM的方程【答案】（1）(x−1)2+(y−3)2=4；（2）x+3y−4=0．【分析】（1）根据题意，求得圆的半径r=2，结合圆的标准方程，即可求解；（2）根据直线l过圆M的圆心，得到CD=4，设CD边上的高为ℎ，结合面积S△PCD=4，求得ℎ=2，得到PM⊥CD，进而求得直线PM的斜率为k，利用直线的点斜式方程，即可求解.【详解】（1）由圆M以(1,3)为圆心且过坐标原点O，可得r=12+(3)2=2，所以圆M的方程为(x−1)2+(y−3)2=4.（2）由圆心M(1,3)恰好在l:y=3x上，即直线l过圆M的圆心，所以CD=4，设CD边上的高为ℎ，所以S△PCD=12|CD|⋅ℎ=12×4ℎ=4，解得ℎ=2，又由圆的半径为r=2，可得PM⊥CD，因为kCD=3，所以直线PM的斜率为k=−33，所以直线PM的方程为y−3=−33(x−1)，即x+3y−4=0.20．（2023·高二课时练习）已知圆C:x2+y2−6x−4y+4=0．(1)若一直线被圆C所截得的弦的中点为M(2,3)，求该直线的方程；(2)设直线l:y=x+m与圆C交于A，B两点，把△CAB的面积S表示为m的函数，并求S的最大值．【答案】(1)y=x+1(2)S=9−m+122×1+m2,−32−10∴k>43设Ax1,y1， Bx2,y2，则x1+x2=2k2−6k1+k2，x1x2=k2−6k+81+k2，∴k1=y1x1−1=kx1−1+3x1−1=k+3x1−1，k2=y2x2−1=kx2−1+3x2−1=k+3x2−1，∴k1+k2=2k+3x1−1+3x2−1=2k+3x2−1+3x1−1x1−1x2−1=2k+3x1+x2−6x1x2−x1+x2+1 =2k+3×2k2−6k1+k2−6k2−6k+81+k2−2k2−6k1+k2+1=2k+3×2k2−6k−61+k2k2−6k+8−2k2−6k+1+k2=2k+−18k−69 =2k−2k−23=−23，∴k1+k2是定值−23.【点睛】本题中使用了设而不求的思路，设直线与圆的交点为Ax1,y1，Bx2,y2，利用韦达定理将x1+x2与x1x2代入k1和k2，通过化简即可证得k1+k2为定值.