2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修一专题3.2 双曲线（4类必考点）

这是一份2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修一专题3.2 双曲线（4类必考点），文件包含专题32双曲线4类必考点人教A版2019选择性必修第一册原卷版docx、专题32双曲线4类必考点人教A版2019选择性必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。

专题3.2 双曲线 TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1"  HYPERLINK \l "_Toc116593822" 【考点1：双曲线的定义与标准方程】  PAGEREF _Toc116593822 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc116593823" 【考点2：双曲线的焦点三角形问题】  PAGEREF _Toc116593823 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc116593824" 【考点3：双曲线的几何性质】  PAGEREF _Toc116593824 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc116593825" 【考点4：与双曲线有关的最值或范围问题】  PAGEREF _Toc116593825 \h 7【考点1：双曲线的定义与标准方程】【知识点：双曲线的定义】平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．【知识点：双曲线的标准方程】(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)；(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．待定系数法求双曲线方程的五种类型1．（2023·江苏·高二假期作业）已知M(−2,0),N(2,0)，PM−PN=4，则动点P的轨迹是（　　）A．双曲线 B．双曲线左支C．一条射线 D．双曲线右支2．（2023秋·高二课时练习）已知点M−2,0,N2,0，动点P满足PM−PN=22，则动点P的轨迹方程为（    ）A．x22−y22=1x≥2 B．x22−y22=1C．x24−y22=1x≥2 D．x24−y22=13．（多选）（2023·江苏·高二假期作业）设F1,F2分别是双曲线x2−y29=1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且PF1=5，则PF2=（　　）A．5 B．3C．7 D．64．（2023·全国·高二专题练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)以椭圆x216+y29=1短轴的两个端点为焦点，且过点A(4,−5)；(2)经过点P(−3,27)和Q(−62,−7)．5．（2023·全国·高二课堂例题）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)a=4，经过点A1,−4103；(2)以椭圆x28+y25=1长轴的端点为焦点，且经过点3,10；(3)过点P3,154，Q−163,5且焦点在坐标轴上.6．（2023·全国·高二专题练习）求下列动圆的圆心M的轨迹方程：(1)与圆C1:x2+y−22=1和圆C2:x2+y+22=4都内切；(2)与圆C1:x+32+y2=9内切，且与圆C2:x−32+y2=1外切；(3)在△ABC中，B−3,0，C3,0，直线AB，AC的斜率之积为169，求顶点A的轨迹方程.【考点2：双曲线的焦点三角形问题】【知识点：双曲线的焦点三角形问题】(1)双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理．(2)以双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则①||PF1|－|PF2||＝2a.②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.③S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin θ.1．（2023·全国·高二专题练习）已知F1、F2分别是双曲线C:x24−y23=1的左、右焦点，O是坐标原点，点P是双曲线C上一点，且OP=10，则cos∠F1PF2=（    ）A．13 B．12 C．35 D．232．（2023春·江西宜春·高二校联考期末）已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，左右顶点分别为A1,A2，离心率为2，点P为双曲线C上一点，直线A1P，A2P的斜率之和为6155，△PF1F2的面积为15，则a=（    ）A．22 B．2 C．2 D．13．（2023·全国·高二专题练习）已知点F1,F2分别为双曲线C:x24−y25=1的左､右焦点，过点F1的直线l交双曲线C的右支第一象限于点P，若△F1PF2的内切圆的半径为1，则直线l的斜率为（    ）A．513 B．512 C．1 D．34．（2023春·陕西安康·高二校联考期末）设F1，F2为双曲线x29−y24=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积是 5．（2023·全国·高二专题练习）设双曲线x24−y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，且|PF1|=3|PF2|，则∠F1PF2的大小为 ．6．（2023·全国·高二课堂例题）已知双曲线的方程是x216−y28=1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，O为坐标原点，则ON= .7．（2023·江苏·高二假期作业）设点P在双曲线x29−y216=1上，F1,F2为双曲线的两个焦点，且PF1:PF2=1:3，则△F1PF2的周长等于 ，cos∠F1PF2= ．8．（2023秋·高二单元测试）双曲线16x2−9y2=144的左、右两焦点分别为F1,F2，点P在双曲线上，且PF1⋅PF2=64，求△PF1F2的面积．【考点3：双曲线的几何性质】【知识点：双曲线的几何性质】[方法技巧]1．求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．2．双曲线的形状与e的关系k＝eq \f(b,a)＝eq \f(\r(c2－a2),a)＝eq \r(\f(c2,a2)－1)＝eq \r(e2－1)，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从狭窄逐渐变得开阔．由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．[提醒]　求双曲线的离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围．　　1．（2023春·云南昭通·高二校考期中）双曲线x29−y23=1的渐近线方程是（    ）A．y=±33x B．y=±13x C．y=±3x D．y=±3x2．（2023·江苏·高二假期作业）已知双曲线x29−y216=1与y216−x29=1，下列说法正确的是（　　）A．两个双曲线有公共顶点B．两个双曲线有公共焦点C．两个双曲线有公共渐近线D．两个双曲线的离心率相等3．（2022秋·江西景德镇·高二统考期中）已知双曲线x2a2−y24=1a>0的两条渐近线的夹角为π3，则a为（      ）A．233 B．2 C．233或23 D．234．（2023春·陕西榆林·高二校考阶段练习）若双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线被圆x+22+y2=4所截得的弦长为23，则C的离心率为（    ）A．3 B．233C．2 D．3225．（贵州省六校联盟2024届高三上学期高考实用性联考卷（一）数学试题）设直线y=kx与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)相交于A,B两点，P为C上不同于A,B的一点，直线PA,PB的斜率分别为k1,k2，若C的离心率为2，则k1⋅k2=（    ）A．3 B．1 C．2 D．36．（2023·陕西西安·统考一模）已知双曲线C：x2−y2b2=1b>0，直线y=−b与双曲线C的两条渐近线交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB为等边三角形，则双曲线C的焦距为（    ）A．2 B．3 C．2 D．4  7．（2023秋·云南保山·高三统考期末）已知双曲线M:x2a2−y2b2=1的焦距为4，焦点到渐近线的距离是1，则M的标准方程为 .8．（2023秋·高二课时练习）求双曲线y2−2x2=1的焦点坐标和渐近线方程.9．（2023·江苏·高二假期作业）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦点在x轴上，离心率为2，且过点−5,3；(3)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±32x.【考点4：与双曲线有关的最值或范围问题】【知识点：与双曲线有关的最值或范围问题的求解方法】 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是双曲线的性质，求最值或取值范围．(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．(4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围．[提醒]　求解与双曲线几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系1．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C:x24−y24=1的左焦点为F，点P是双曲线C右支上的一点，点M是圆E:x2+(y−22)2=1上的一点，则PF+PM的最小值为（    ）A．5 B．5+22 C．7 D．82．（2023·全国·高二专题练习）已知A0,4，双曲线x24−y25=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线左支上一点，则PA+|PF2|的最小值为（　　）A．5 B．7 C．9 D．113．（2023·全国·高二课堂例题）已知F1，F2分别为双曲线x25−y24=1的左、右焦点，P3,1为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则AP+AF2的最小值为（    ）A．37+4 B．37−4 C．37−25 D．37+254．（2023·全国·高二专题练习）已知F1，F2为双曲线C:x24−y22=1的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则PF12PF2的最小值为（    ）A．16 B．18 C．8+42 D．9+15225．（2023·全国·高二专题练习）设F1，F2为双曲线C：x23−y2=1的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当QF1+PQ取最小值时，QF2的值为（    ）A．3−2 B．3+2 C．6−2 D．6+26．（2023春·广东韶关·高二统考期末）已知点F1，F2是双曲线C:x2−y23=1的左、右焦点，点P是双曲线C右支上一点，过点F2向∠F1PF2的角平分线作垂线，垂足为点Q，则点A(−3,1)和点Q距离的最大值为（    ）A．2 B．7 C．3 D．47．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）过点2,2能作双曲线x2−y2a2=1的两条切线，则该双曲线离心率e的取值范围为 .8．（2023·全国·高二课堂例题）P为双曲线x2−y215=1右支上一点，M，N分别是圆x+42+y2=4和x−42+y2=1上的点，则PM−PN的最大值为 .9．（2023·北京·高三强基计划）已知双曲线x2a2−y2b2=1，F2为其右焦点，O为坐标原点若左支上存在一点P，使得F2P的中点M满足|OM|=18c，则双曲线的离心率e的取值范围是 ．10．（2023·全国·高二专题练习）点Q是双曲线C:x216−y24=1上一动点，过Q做圆D:x−62+y2=1的两条切线，切点为A，B，则QA的最小值为 .11．（2023秋·高二课时练习）设P是双曲线x2−y23=1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A3,1，B3,6，则|PA|＋|PF|的最小值为 ；|PB|＋|PF|的最小值为 ．12．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线C:x24−y23=1.(1)求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为6的双曲线的标准方程；(2)P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是(4,0)，求PA的最小值．类型一与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)类型二若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x或y＝－eq \f(b,a)x，则可设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)类型三与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1共焦点的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2－k)－eq \f(y2,b2＋k)＝1(－b20)或者eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(mn<0)类型五与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2－λ)－eq \f(y2,λ－b2)＝1(b2<λ0，b>0)eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq \f(b,a)xy＝±eq \f(a,b)x离心率e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长