数学人教A版 (2019)4.1 数列的概念综合训练题

这是一份数学人教A版 (2019)4.1 数列的概念综合训练题，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．数列0，，，，…的一个通项公式为（ ）
A．an＝ (n∈N*)B．an＝ (n∈N*)
C．an＝ (n∈N*) D．an＝ (n∈N*)
2．下列数列中，是其中一项的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知数列中，是这个数列的（ ）
A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第13项
4．若数列的前项和为，且，则（ ）
A．10B．11C．17D．18
5．在数列中，，，（，），则（ ）
A．B．6C．10D．
6．已知数列的通项公式为，则数列各项中最大项是（ ）
A．第13项B．第14项C．第15项D．第16项
7．已知数列满足，且，则此数列的第4项是（ ）
A．15B．255C．16D．63
8．高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”之称.以他名字“高斯”命名的成果达个.设，用表示不超过的最大整数，并用，表示的非负纯小数，则称为高斯函数.已知数学满足，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．(多选)下列关于数列的说法正确的是（ ）
A．按一定次序排列的一列数叫作数列
B．若{an}表示数列，则an表示数列的第n项，an=f(n)表示数列的通项公式
C．同一个数列的通项公式的形式不一定唯一
D．同一个数列的任意两项均不可能相同
10．一个无穷数列{an}的前三项是1，2，3，下列可以作为其通项公式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．下列四个选项中，不正确的是（ ）
A．数列，的一个通项公式是
B．数列的图象是一群孤立的点
C．数列1，，1，，与数列，1，，1，是同一数列
D．数列，，是递增数列
12．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，.下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．数列，，，，…的一个通项公式an＝________.
14．若数列的前n项和，则的通项公式是=___________.
15．数列满足，，则________.
16．数列中，如果存在，使得“且”成立（其中，），则称为的一个峰值.（1）若，则的峰值为___________（2）若，且不存在峰值，则实数的取值范围是___________
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．设数列满足，写出这个数列的前5项．
18．已知数列的前n项和为，求这个数列的通项公式.
19．已知数列中，，，，试写出，你发现数列具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 018项？
20．已知数列满足，
（1）数列中有哪些项是负数？
（2）当为何值时，取得最小值？并求出此最小值．
21．已知函数，.数列满足，且，求数列的通项公式.
22．已知数列.
（1）求这个数列的第10项；
（2）是不是该数列中的项，为什么？
（3）求证：数列中的各项都在区间(0，1)内；
（4）在区间内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由
参考答案
题号
答案
核心素养
水平等级
解析
1
C
数学运算
水平一
【分析】
根据所给的四项可知分子是从0开始的偶数，分母比分大1，从而可求得通项
【详解】
解：由0，，，，…可知各项的分子是从0开始的偶数，分母比分大1，
所以它的一个通项公式可以为，
故选：C
2
C
数学运算
水平一
【分析】
分别令四个选项的通项等于，解方程判断是否有正整数解即可求解.
【详解】
对于A：令，无正整数解，故选项A不符合题意；
对于B：令，无正整数解，故选项B不符合题意；
对于C：令，即解得，所以是数列的第项，故选项C符合题意；
对于D：令，无正整数解，故选项D不符合题意；
故选：C.
3
A
数学运算
水平一
【分析】
根据题意，令，求得，即可得到答案.
【详解】
由题意，数列通项公式为，
令，解得，即是这个数列的第10项.
故选：A.
4
B
数学运算
水平一
【分析】
根据之间的关系，可得，简单计算可得结果.
【详解】
由，
所以，
，
所以.
故选：B.
5
B
数学运算
水平一
【分析】
根据递推公式一一计算可得；
【详解】
解：因为，，（，），即（，），
所以，，
故选：B
6
C
数学运算
逻辑推理
水平二
【分析】
由给定条件知数列首项不是最大项，利用数列最大项比它前一项和后一项都不小的特点列式即可作答.
【详解】
依题意得，设数列的最大项为，于是有，
从而得，整理得：，解得，而，则，
所以数列各项中最大项是第15项.
故选：C
7
D
数学运算
水平二
【分析】
根据递推关系，代入数据，即可求得答案.
【详解】
由题意得：令，则，
令，则，
令，则，
故选：D
8
A
数学运算
逻辑推理
水平三
【分析】
算出数列的前若干项，归纳出当为奇数时，；当为偶数时，继而可以求出结果.
【详解】
解：由已知可得
，，
，，
，，
可归纳：
当为奇数时，；当n为偶数时，
.
故选：A.
9
ABC
逻辑推理
水平一
【分析】
根据数列的定义，可判断A、B、C的正误，常数数列各项可相等，可得D错误，即可得答案.
【详解】
根据数列的定义，我们把按定次序排列的一列数叫作数列，可得A正确；
若{an}表示数列，则an表示数列的第n项，an=f(n)表示数列的通项公式，可得B正确；
同一个数列的通项公式的形式不一定唯一，
例如，也可写成，可得C正确；
因为一个数列的每一项的值是可以相同的，比如说常数数列，可得D错误，
故选：ABC
10
AD
逻辑推理
水平二
【分析】
根据各选项的通项公式，分别求出、、判断是否符合题意，即可知正确选项.
【详解】
对于A，若，则，，，符合题意；
对于B，若，则，不符合题意；
对于C，若，当时，，不符合题意；
对于D，若，则，，，符合题意.
故选：AD.
11
ACD
数学运算
水平一
【分析】
由可判断A；由数列的通项公式以及可判断B；由数列定义可判断C；
由递减数列定义可判断D．
【详解】
对于A，当通项公式为时，，不符合题意，故选项A错误；
对于B，由数列的通项公式以及可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项B正确；
对于C，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项C错误；
对于D，数列，，是递减数列，故选项D错误．
故选：ACD．
12
BD
数学建模
水平三
【分析】
根据递推公式列出前几项，即可判断AB，再利用特殊值判断C，最后根据递推公式得到，即可证明D；
【详解】
解：由题意知：，，
所以，，，，， ， ；
所以，故错；
，故对；
令，，故错；
因为，所以
所以
即，故D正确；
故选：BD．
13
数学运算
水平一
【分析】
由于这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，从而可求得其通项公式
【详解】
这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，
所以它的一个通项公式为
故答案为：
14
数学运算
逻辑推理
水平二
【分析】
先利用计算时的通项公式，再检验也适合即可.
【详解】
时，，
而，也适合上式，
所以.
故答案为：.
15
数学运算
逻辑推理
水平二
【分析】
根据递推式求出的值，可以发现数列为周期数列，从而推出的值
【详解】
时，，得；时，，得；时，，得，可得，数列为周期函数，周期为，所以
故答案为：
16

数学运算
逻辑推理
水平三
【分析】
令，利用数列的函数特性，可判断函数的单调性及最值问题；若，且不存在峰值，即不存在最大值，从而求出实数的取值范围.
【详解】
令开口向下，且对称轴为，但由于，所以时，，所以对于任意的，都有，所以的峰值为；
因为，且不存在峰值，令，
因为开口向下 ，所以数列是满足且，其中，），故，即，所以实数的取值范围是.
故答案为：；.
17

数学运算
水平一
【分析】
根据递推关系式即可求解.
【详解】
由题意可知，，
，，．
18
.
数学运算
逻辑推理
水平二
【分析】
利用公式即可求解
【详解】
解：当时，；
当时，，
所以.
19
数列具有周期性，周期，
数学运算
逻辑推理
水平二
【分析】
由已知的递推式可得数列具有周期性，周期，从而可求出数列中的第2 018项
【详解】
发现：，数列具有周期性，周期．
证明如下：∵，
∴，
∴．
∴数列是周期数列，且．
∴．
20
（1）数列中第1，2，3，4，5项为负数，即，，，，；（2）当，3时取得最小值，最小值为．
数学运算
逻辑推理
水平二
【分析】
（1）由，求出的范围，再由，可求出的值，从而可求出答案；
（2）配方后利用二次函数的性质可求得答案
【详解】
解：（1），解得，
，
数列中第1，2，3，4，5项为负数，即，，，，，
（2），当，3时取得最小值，最小值为．
21
数学运算
逻辑推理
水平二
【分析】
由可得，然后解方程可求出结果
【详解】
∵，∴，
∵.
∴，即.
∴.
∵，∴.
22
（1）；（2）不是该数列中的项，理由见解析；（3）证明见解析；（4）只有一项，第二项.
数学运算
逻辑推理
水平三
【分析】
（1）先对化简，然后，直接求即可；
（2）令=，解出是否为整数，若为整数，则是数列中的项，否则不是；
（3）由于，从而可判断出的范围；
（4）由<<，求出的范围，再判断
【详解】
（1）设an=f(n)===.
令n=10，得第10项a10=f(10)=.
（2）令=，得9n=300.
此方程无正整数解，所以不是该数列中的项.
（3）证明：∵an==，
且n∈N*，∴，
∴0（4）令∴∴
∴当且仅当n=2时，上式成立，故在区间内有数列中的项，且只有一项为a2=.