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    高中4.1 数列的概念学案设计

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    这是一份高中4.1 数列的概念学案设计,共11页。学案主要包含了典例解析等内容,欢迎下载使用。

    4.3.1等比数列的概念 (1)   导学案

    1. 理解等比数列及等比中项的概念.

    2.掌握等比数列的通项公式,能运用公式解决相关问题.

    重点:等比数列及等比中项的概念

    难点:等比数列的函数特征及综合运用

     

    1. 等比数列的定义:

    一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 表示(显然 )

    符号语言:      

    2.等比中项:

    1.下列数列为等比数列的是(  )

    Amm2m3m4

    B22,42,62,82

    Cq1(q1)2(q1)3(q1)4

    D

    2.方程x25x40的两根的等比中项是(  )

    A          B±2        C±          D2

     

    一、    新知探究

         我们知道,等差数列的特征是从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。类比等差数列的研究思路和方法,从运算的角度出发,你觉得还有怎样的数列是值得研究的?

     

    1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:

                               

                

                                 

    2.《庄子·天下》中提到:一尺之锤,日取其半,万世不竭.如果把一尺之锤的长度看成单位“1”,那么从第1天开始,每天得到的的长度依次是

                                                    

    3.在营养和生存空间没有限制的情况下,某种细菌每20 min 就通过分裂繁殖一代,那么一个这种细菌从第1次分裂开始,各次分裂产生的后代个数依次是

                                     2,4,8,16,32,64,…                                    

    4.某人存入银行元,存期为5年,年利率为 ,那么按照复利,他5年内每年末得到的本利和分别是

              

    如果用 {an} 表示数列,那么有

         

    其余几个数列也有这样的取值规律吗?,请你试着写一写。

     

    探究1   类比等差数列的研究,你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律?你发现了什么规律?

     

    等差数列的概念

    文字语言

    如果一个数列从第__项起,每一项与它的______的差都等于__________,那么这个数列就叫做等差数列,这个____叫做等差数列的公差,公差通常用字母__表示

    符号语言

    an1and(d为常数,nN*)

    2 前一项 同一个常数 常数 d

    探究2   类比等差数列的概念,从上述几个数列的规律中,你能抽象出等比数列的概念吗?

     

     

                                      

    探究3在等差数列中,我们学习了等差中项的概念,通过类比,我们在等比数列中有什么相应的概念?如何定义?

     

     

    探究4.  你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗?

     

     

    请你回忆一下,等差数列通项公式的推导过程,类比猜想,等比数列如何推导通项公式?

     

    探究. 5在等差数列中,公差的等差数列可以与相应的一次函数建立联系,那么对于等比数列,公比满足什么条件的数列可以与相应的函数建立类似的联系?

     

     

     

    探究6类比指数函数的性质,你能说说公比的等比数列的单调性吗?

    ()

     

     

    、典例解析

    1. 若等比数列的第4项和第6项分别为4812,求的第5.

     

    2  已知等比数列的公比为,试用的第表示.

     

    1在一个等比数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项.

    2.等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.

     

    跟踪训练1 在等比数列{an}中,

    (1)a24a5=-,求an

    (2)a2a518a3a69an1,求n.

     

    3.  数列共有5项,前三项成等比数列,后三项成等差数列,第3项等于80,第2项与第4项的和等于136,第1项与第5项的和等于132,求这个数列.

     

     

    跟踪训练2.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.

     

    1.已知{an}是等比数列,a14,公比q,则a5(  )

    A           B        C          D

    2.设an(1)n(nN*),则数列{an}(  )

    A.等比数列                   B.等差数列

    C.递增数列                   D.递减数列

    3.若各项均为正数的等比数列{an}满足a33a12a2,则公比q(  )

    A1         B2           C3        D4

    4.若数列-1abc,-9成等比数列,则实数b的值为(  )

    A.-3        B3          C±3           D.不能确定

    5在等比数列{an}中,a22a516.{an}的通项公式.

     

    参考答案:

    知识梳理

    1D 解析:m0q1时,AC均不是等比数列;

    所以B不是等比数列.

    2B 解析:设方程的两根分别为x1x2,由根与系数的关系,得x1x24两根的等比中项为±±2.

    学习过程

    一、    新知探究

    探究4.  设一个等差数列的首项为,公差为,根据等差数列的定义,可得

    =

    所以= , = , = ,…

    于是  + ,

    + =(+ ) + + 2,

    + =(+ ) + + 3,……

    归纳可得+() (n)

    n时,上式为+() ,这就是说,上式当时也成立。

    因此,首项为,公差为的等差数列的通项公式为+()

     

    请你回忆一下,等差数列通项公式的推导过程,类比猜想,等比数列如何推导通项公式?

    设一个等比数列的为,根据等比数列的定义,可得

    所以 ,

    =( ) ,

    =()

                           ……

    归纳可得(n)

    ,这就是说,当n时,上式也成立。

    因此,首项为,公比为的等比数列的通项公式为

    探究5.

     

    , ()

    , ()

    即指数型函数

    (为, 常数, , )构成一个等比数列

    其首项为,公比为

    探究6

    ()

     

    、典例解析

    1. 分析:等比数列由唯一确定,可利用条件列出关于的方程(组),进行求解。

    解法1:由,得

    的两边分别除以的两边,得  解得.

    代入,得 .

    此时 .

    代入,得 .

    此时 .

    因此的第5项是24.

    解法2:因为 的等比中项,所以.

    所以.

    因此,的第5项是24-24.

    2  解:由题意,得

    .    

    的两边分别除以的两边,得=

    所以  .

     

    跟踪训练1 解:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q.

    (1)由题意可知

    q=-a1=-8

    ana1qn1=-8×n1(2)4n.

    (2)a3a6(a2a5)q,即918q

    q.

    a1qa1q418a132

    ana1qn11n6.

    3. 分析:先利用已知条件表示出数列的各项,再进一步根据条件列出方程组求解.

    解:设前三项的公比为 ,后三项的公差为,则数列的各项依次为 ,80,80, 80,

    于是得

    解方程组,得

    所以这个数列是20408096112,或1801208016-48.

    跟踪训练2.解法1:设这四个数依次为,

    于是得解方程组,得

    所以当a4d4时,所求的四个数为0,4,8,16

    a9d=-6时,所求的四个数为15,9,3,1.

    故所求的四个数为0,4,8,1615,9,3,1.

    解法2:设这四个数依次为,

    于是得解方程组,得

    所以当a8q2时,所求的四个数为0,4,8,16

    a3时,所求的四个数为15,9,3,1.

    故所求的四个数为0,4,8,1615,9,3,1.

     

    达标检测

    1A 解析: 等比数列的通项公式ana1qn1

    a5a1×q44×4,故选A

    2A 解析:由已知数列an(1)n(nN*)的前5项为-1,1,-1,1,-1

    明显数列{an}不是等差数列,也不是单调递增数列,

    也不是单调递减数列,排除BCD

    又当n2nN*时,=-1为常数,

    故数列{an}是等比数列.故选A

    3C 解析:因为a33a12a2,所以a1q23a12a1q.a10

    所以q22q30.q>0,解得q3.故选C

    4. A 解析:1abc,-9成等比数列,

    1ab成等比数列,abc成等比数列,

    bc,-9成等比数列,

    a2=-bb2acc2=-9b.

    b4a2c2(1)×(9)b2.b29.

    a2=-b>0b<0b=-3.

    5解:设数列{an}的公比为q.

    由题意,得解得

    所以{an}的通项公式为an2n1.

     

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