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    高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念学案

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念学案,共12页。学案主要包含了数列,数列的分类,数列与函数,数列的通项公式等内容,欢迎下载使用。

    4.1数列的概念(1 导学案

    1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.

    2.掌握数列的分类.

    3.理解数列的函数特征,掌握判断数列增减性的方法.

    4.掌握数列通项公式的概念及其应用,能够根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.

    重点:数列的有关概念与数列的表示方法

    难点:数列的函数特征

     

    一、数列

    1.定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.

    2.:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1,常用符号a1表示;第二个位置上的数叫做这个数列的第2,a2表示……n个位置上的数叫做这个数列的第n,an表示.其中第1项也叫做首项.

    3.表示:数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}.

    点睛:(1)数列是按一定的顺序排列的一列数,有序性是数列的基本属性.

    数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列,

    例如1,2,3,…3,2,1…就是不同的数列.

    (2)符号{an}an是不同的概念,{an}表示一个数列,an表示数列中的第n.

    二、数列的分类

     

    类别

    含义

    按项的

    个数

    有穷数列

    项数有限的数列

    无穷数列

    项数无限的数列

    按项的变化趋势

    递增数列

    从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列

    递减数列

    从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列

    常数列

    各项相等的数列

    摆动数列

    从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项

    小于它的前一项的数列

     

    三、数列与函数

    数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2n})到实数集R的函数,

    其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第nan

    记为anf(n)

    另一方面,对于函数yf(x)

    如果f(n)(nN*)有意义,

    那么                  构成了一个数列{f(n)}

    f(1)f(2)f(n)

     

    四、数列的通项公式

          如果数列{an}的第nan与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.

    点睛:(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集){1,2,…,n}为定义域的函数表达式.

    (2)并不是所有的数列都有通项公式.

    (3)同一数列的通项公式,其表达形式可以是不唯一的,例如数列

    -1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cos nπ.

    1. 下列叙述正确的是(  )

    A.所有数列可分为递增数列和递减数列两类

    B.数列中的数由它的位置序号唯一确定

    C.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}

    D.同一个数在数列中不可能重复出现

    2.若数列{an}的通项公式是an=n2-1,则该数列的第10a10=     ,224是该数列的第     . 

     

    、情景导学

    古语云:“勤学如春起之苗,不见其增,日有所长

    如果对春起之苗每日用精密仪器度量,

    则每日的高度值按日期排在一起,可组成一个数列.

    那么什么叫数列呢?

    、问题探究

    1. 王芳从一岁到17岁,每年生日那天测量身高,将这些身高数据(单位:厘米)依次排成一列数:

    75,87,96,103,110,116,120,128,138

    145,153,158,160,162,163,165,168                     

    记王芳第的身高为 ,那么=75 , =87, =168.我们发现中的反映了身高按岁数从117的顺序排列时的确定位置,即=75 是排在第1位的数,=87是排在第2位的数 =168是排在第17位的数,它们之间不能交换位置,所以具有确定顺序的一列数。

    2. 在两河流域发掘的一块泥板(编号K90,约生产于公元

    7世纪)上,有一列依次表示一个月中从第1天到第15天,

    每天月亮可见部分的数:

    5,10,20,40,80,96,112,128,

    144,160,176,192,208,224,240.            
    记第月亮可见部分的数为 , 那么=5 , =10, =240.这里,中的反映了月亮可见部分的数按日期从1~15顺序排列时的确定位置,即=5是排在第1位的数,=10是排在第2位的数 =240是排在第15位的数,它们之间不能交换位置,所以,也是具有确定顺序的一列数。

    3. -次幂按1次幂, 2次幂, 3次幂, 4次幂……依次排成一列数:

     

    - -                    

     

    思考:你能仿照上面的叙述,说明也是具有确定顺序的一列数吗?

     

    三、典例解析

    1. 根据下列数列{an}的通项公式,写出数列的前5,并画出它们的图像.
    1    2

     

     

    2. 根据数列的前4,写出下列数列的一个通项公式:

    (1),2,,8,,…;        (2)1,-3,5,-7,9,…;

    (3)9,99,999,9 999,…;       (4),…;

    (5)-,-,…;

    (6)4,0,4,0,4,0,….

     

    根据数列的前几项写通项公式的具体思路为:

    (1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等.

    (2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系.

    (3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号.

    (4)对于周期出现的数列,考虑利用周期函数的知识解答.

    2.常见数列的通项公式

    (1)数列-1,1,-1,1,…的一个通项公式是an=(-1)n,数列1,-1,1,-1,…

    的一个通项公式是an=(-1)n+1(-1)n-1.

    (2)数列1,2,3,4,…的一个通项公式是an=n.

    (3)数列1,3,5,7,…的一个通项公式是an=2n-1.

    (4)数列2,4,6,8,…的一个通项公式是an=2n.

    (5)数列1,2,4,8,…的一个通项公式是an=2n-1.

    (6)数列1,4,9,16,…的一个通项公式是an=n2.

    (7)数列1,3,6,10,…的一个通项公式是an=.

    (8)数列1,,…的一个通项公式是an=.

     

    跟踪训练1.写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:

    (1)1,;  (2)2,4,6,8;

    (3)3,5,9,17; (4);

    (5)7,77,777,7 777.

     

    3 (1)已知数列{an}满足an=n2-5n-6,nN*.

    数列中有哪些项是负数?

    n为何值时,an取得最小值?求出此最小值.

    (2)已知数列{an}的通项公式an=(n+1)(nN*),试问数列{an}有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,请说明理由.

     

     

    求数列的最大()项的两种方法

    (1)由于数列是特殊的函数,所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2,…,n}这一条件.

    (2)可以利用不等式组(n>1)找到数列的最大项;

    利用不等式组(n>1)找到数列的最小项.

    变式探究在本例(2),若已知数列的通项公式an=,nN*,试求该数列{an}的最小项.

    1.下列各项表示数列的是(  )

    A.,○,,□

    B.2 008,2 009,2 010,…,2 017

    C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形

    D.a+b,a-b,ab,λa

    2.下列数列既是递增数列,又是无穷数列的是(  )

    A.1,2,3,…,20

    B.-1,-2,-3,…,-n,…

    C.1,2,3,2,5,6,…

    D.-1,0,1,2,…,100,…

    3. 观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律,猜想第n个图中有     小圆圈. 

    4.已知数列{an}的通项公式为an=log3(2n+1),a3=     . 

    5.已知数列,…,5是该数列的第     . 

    6.在数列{an},已知an=(nN*).

    (1)写出a10,an+1.

    (2)79是不是该数列中的项?如果是,是第几项?

    7.已知数列{an}的通项公式an=(kR).

    (1)k=1,判断数列{an}的单调性;

    (2)若数列{an}是递减数列,求实数k的取值范围.

     

    数列的概念与表示

     

    参考答案:

    知识梳理

    1. 解析:按项的变化趋势,数列可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列等数列,A错误;数列1,3,5,7与由实数1,3,5,7组成的集合{1,3,5,7}是两个不同的概念,C错误;同一个数在数列中可能重复出现,2,2,2,…表示由实数2构成的常数列,D错误;对于给定的数列,数列中的数由它的位置序号唯一确定,B正确.

    答案:B

    2.解析:a10=102-1=99.an=n2-1=224,解得n=15,

    224是该数列的第15.

    答案:99 15

     

    学习过程

    一、    典例解析

    1.:1)当通项公式中的n=12345 时,数列{an}的前5项依次为

    1,3,6,10,15
    如图所示(1)

    2)当通项公式中的n=12345 时,数列 {an}的前5项依次为

        1,0,-1,0,1

    如图所示(2)

     

     

    2. :(1)数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察,,…,所以,它的一个通项公式为an=.

    (2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,…是连续的正奇数,其通项公式为2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).

    (3)各项加1,分别变为10,100,1 000,10 000,…,此数列的通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1.

    (4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,其通项公式为(n+1)2,分子的后一部分是减去一个自然数,其通项公式为n,合得原数列的一个通项公式为an=.

    (5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是an=(-1)n·.

    (6)由于该数列中,奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段函数的形式表示通项公式,an=又因为数列可改写为2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…,因此其通项公式又可表示为an=2+2×(-1)n+1.

     

    跟踪训练1.:(1)an=;(2)an=2n+;(3)an=2n+1;

    (4)an=;(5)an=(10n-1).

    3 分析:(1)根据数列的函数的特征,以及不等式的解法,即可求出;根据二次函数的性质即可求出.

    (2)数列{an}的通项计算an+1-an确定单调性求解最大()

    (1):an=n2-5n-6<0,解得0<n<6.

    nN*,数列中第1,2,3,4,5项为负数,

    -10,-12,-12,-10,-6.

    an=n2-5n-6=,n=2,3,an取得最小值,最小值为-12.

    (2)解法一:an+1-an=(n+2)-(n+1)

    =,

    n<9,an+1-an>0,an+1>an;

    n=9,an+1-an=0,an+1=an;

    n>9,an+1-an<0,an+1<an.

    a1<a2<a3<<a9=a10>a11>a12>…,

    数列中有最大项,最大项为第9,10,

    a9=a10=.

    解法二:ak是数列{an}的最大项,

    整理,9≤k≤10,

    所以k=9k=10.a1=<a9=a10,即数列{an}中的最大项为a9=a10=.

    变式探究:设第nan最小,

    解得

    所以5≤n≤6,所以n=5n=6.a1=>a5=a6,

    a5a6都是数列的最小项,a5=a6=.

    达标检测

    1.解析:数列是指按照一定次序排列的一列数,而不能是图形、文字、向量等,只有B项符合.

    答案:B

    2.解析:由递增数列和无穷数列的定义知D项正确.

    答案:D

    3. 分析:仔细观察每个图形中圆圈的个数与对应顺序之间的关系,从而归纳出第n个图形中小圆圈的个数.

    解析:观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,…,故第n个图中小圆圈的个数为(n-1)·n+1=n2-n+1.

    答案:n2-n+1

    4.解析:观察可得数列的一个通项公式是an=,5,所以5是该数列的第19.

    答案:19

    5.解析:an=log3(2n+1),a3=log3(23+1)=log39=2.

    答案:2

    6.:(1)a10=;

    an+1=.

    (2)an==79,解得n=15(n=-16舍去),所以79是该数列中的项,并且是第15.

    7.分析:对于(1),因为已知数列的通项公式,所以可以通过比较数列的相邻两项anan+1的大小来确定数列的单调性;

    对于(2),可根据数列是递减数列,得出anan+1的大小关系,从而确定k的取值范围.

    :(1)k=1,an=,所以an+1=,

    所以an+1-an=>0,

    故数列{an}是递增数列.

    (2)若数列{an}是递减数列,an+1-an<0恒成立,

    an+1-an=<0恒成立.

    因为(2n+5)(2n+3)>0,所以必有3k<0,k<0.

     

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