高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念优质课教案设计

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本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习数列的递推公式及数列的前n项和与通项的关系。
“数列的概念与简单表示法”，主要涉及数列的概念、表示方法、分类、通项公式、数列和函数之间的关系、数列的递推公式及数列的前n项和与通项的关系等。
数列作为一种特殊的函数，是刻画离散现象的数学模型，是一种离散型函数，在日常生活中有着重要的应用.学习数列对深化函数的学习有着积极地意义，数列是以后学习极限的基础，因此，数列在高中数学中占有重要位置。数列的概念是学习数列的起点与基础，因而建立数列的概念是本章教学的重点，更是本节课教学的重点。学生主动自我建构概念，需要经历辨析、抽象、概括等过程，影响概念学习过程的因素又是多样的，所以，数列特征的感知和描述，函数意义的概括和理解，是教学的难点.
重点：数列递推公式及数列的前n项和与通项的关系
难点：用递推公式解决有关问题、用数列的前n项和与通项的关系求通项公式
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数列概念的学习并不需要很多的知识基础，可以说学习数列的概念并无知识上的困难.这些都是数列概念教学的有利条件.刚开始高中数学学习的学生，自己主动地建构概念的意识还不够强，能力还不够高.同时，在建立概念的过程中，学生的辨别各种刺激模式、抽象出观察对象或事物的共同本质特征，概括形成概念，并且用数学语言（符号）表达等方面，会表现出不同的水平，从而会影响整体的教学.
课程目标
学科素养
A. 理解数列递推公式的含义,会用递推公式解决有关问题.
B.会利用数列的前n项和与通项的关系求通项公式.
1.数学抽象：数列递推公式
2.逻辑推理：数列的前n项和与通项的关系
3.数学运算：用递推公式求数列的特定项及通项
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
课前小测
1．数列{an}的通项公式为an＝eq \f(1,2)(n－1)(n＋1)，则a5＝( )
A．10 B．12 C．14 D．16
B 解析：由题意，通项公式为an＝eq \f(1,2)(n－1)(n＋1)，
则a5＝eq \f(1,2)×(5－1)×(5＋1)＝12.故选B.
2．由数列前四项：，，，，…，则通项公式______．
【详解】由题意，该数列前四项可变为：
，，，，…，
由此可归纳得到数列的通项公式为．
3．已知数列的前几项是、、、、，写出这个数列的一个通项公式是_________．
【详解】该数列的前四项可表示为
，，，，
因此，该数列的一个通项公式为.
二、新知探究
例4. 图中的一系列三角形图案称为谢宾斯基三角形，在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的通项公式
解：在图中（1）（2）（3）（4）中，着色三角形个数依次为
1,3,9,27
即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1，
因此这个数列的通项公式是an=3n−1
换个角度观察图中的4个图形，可以发现a1=1，且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形，于是从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的三倍，这样，例4中的数列的前4项满足
a1=1，a2=3a1，a3=3a2，a4=3a3
由此猜测，这个数列满足公式
an=1， n=13an−1, n≥2
通项公式和递推公式的区别
通项公式直接反映了an与n之间的关系,即已知n的值,就可代入通项公式求得该项的值an;递推关系则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,要求an,需将与之联系的各项依次求出.
一、数列的递推公式
像an=3an−1n≥2 这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式，知道了首项和递推公式就能求出数列的每一项了
1.设数列{an}满足a1=1,an=1+1an-1(n∈N*,n>1),则a3= .
解析:由已知,得a2=1+1a1=2,a3=1+1a2=32.
答案:32
二、数列的通项与前n项和
1.数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
2.an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2.
点睛(1)已知数列{an}的前n项和Sn,求an,一般使用公式an=Sn-Sn-1(n≥2),
但必须注意它成立的条件(n≥2且n∈N*).
(2)由Sn-Sn-1求得的an,若当n=1时,a1的值不等于S1的值,
则数列的通项公式应采用分段表示,即an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2.
2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)递推公式也是表示数列的一种方法．( )
(2)所有数列都有递推公式．( )
(3)an＝Sn－Sn－1成立的条件是n∈N*.( )
（1）√（2）×（3）√
3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2,求数列{an}的通项公式.
解:a1=S1=1+2=3,①
而n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+2)-[(n-1)2+2]=2n-1.②
在②中,当n=1时,2×1-1=1,故a1不适合②式.
∴数列{an}的通项公式为an=3,n=1,2n-1,n≥2.
三、典例解析
例1已知数列{an},a1=1,且满足an=3an-1+(-1)n2(n∈N*,且n>1),写出数列{an}的前5项.
分析:由a1的值和递推公式,分别逐一求出a2,a3,a4,a5的值.
解:由题意,得a2=3a1+(-1)22,而a1=1,
所以a2=3×1+(-1)22=72.
同理a3=3a2+(-1)32=10,a4=3a3+(-1)42=612,a5=3a4+(-1)52=91.
由递推公式写出数列的项的方法
根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.另外,解答这类问题时还需注意:若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.
跟踪训练1 已知数列{an}满足an=4an-1+3,且a1=0,则此数列的第5项是( )
A.15B.255 C.16 D.63
解析:因为a1=0,所以a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.
答案:B
跟踪训练2.已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前5项，并猜想通项公式．
解：由a1＝2，an＋1＝2an，
得：a2＝2a1＝2×2＝4＝22，
a3＝2a2＝2×4＝8＝23，
a4＝2a3＝2×8＝16＝24，
a5＝2a4＝2×16＝32＝25，
…，
猜想an＝2n(n∈N*)．
例2 若数列{an}的前n项和Sn=-2n2+10n,求数列{an}的通项公式.
解:∵Sn=-2n2+10n, ∴Sn-1=-2(n-1)2+10(n-1),
∴an=Sn-Sn-1=-2n2+10n+2(n-1)2-10(n-1)=-4n+12(n≥2).
当n=1时,a1=-2+10=8=-4×1+12.
此时满足an=-4n+12,
∴an=12-4n.
变式探究：试求本例中Sn的最大值.
解:∵Sn=-2n2+10n=-2n-522+252, 又∵n∈N*,
∴当n=2或n=3时,Sn最大,即S2或S3最大.
已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式的步骤：
(1)当n＝1时，a1＝S1.
(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.
(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的式子，
那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；
如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的式子，
那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
跟踪训练3.已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则an＝____________.
解析：∵Sn＝3n2－2n＋1，
∴Sn－1＝3(n－1)2－2(n－1)＋1＝3n2－8n＋6.
∴当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n＋1)－(3n2－8n＋6)＝6n－5.
又当n＝1时，a1＝S1＝2不适合上式，
∴an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,6n－5，n≥2.))
通过课前小测，进步深化学生对数列概念的理解和运用。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。
通过具体问题的思考和分析，帮助学生认识数列中的递推公式。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。
通过数列的通项与前n项和的认识，帮助学生理解数列求和概念。发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。

通过典型例题，加深学生对数列递推公式的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素
通过典型例题，帮助灵活运用数列前n项和与通项公式的关系，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
三、达标检测
1.已知数列{an},a1=1,an+1=12an+12n,则该数列的第3项等于( )
A.1B.14 C.34D.58
解析:a2=12a1+12=1,a3=12a2+122=34.
答案:C
2.已知数列{an},an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3=5,则实数m等于( )
A.0 B. 25 C.2 D.5
解析:由题意,得a2=ma3+1,即3=5m+1,解得m=25.
答案:B
3.若数列{an}的通项公式为an=-2n2+25n,则数列{an}的各项中最大项是( )
A.第4项B.第5项 C.第6项 D.第7项
解析:因为an=-2n2+25n=-2n-2542+6258,且n∈N*,
所以当n=6时,an的值最大,即最大项是第6项.
答案:C
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an+23,n∈N*,则数列{an}的通项公式an=( )
A.3×56n-1-1B.3×56n-1
C.3×56n-1+1D.3×56n+1
解析:当n=1时,a1=1-5a1+23,解得a1=4.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n-5an+23-(n-1-5an-1+23),即an=56an-1+16,
即an-1=56(an-1-1),故数列{an-1}是以3为首项,56为公比的等比数列,
则an-1=3×56n-1,所以an=3×56n-1+1.故选C.
答案:C
5. (1)已知数列{an}满足a1=-1,an+1=an+1n−1n+1,n∈N*,
求数列的通项公式an.
(2)在数列{an}中,a1=1,an=1-1nan-1(n≥2),
求数列{an}的通项公式.
分析:(1)先将递推公式化为an+1-an=1n−1n+1,再利用累加法求通项公式;(2)先将递推公式化为anan-1=n-1n,再利用累乘法求通项公式.
解:(1)∵an+1-an=1n−1n+1,
∴a2-a1=11−12,a3-a2=12−13,a4-a3=13−14,…,an-an-1=1n-1−1n(n≥2),
将以上n-1个式子相加,得
∴(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)
=1-12+12-13+…+1n-1-1n,
即an-a1=1-1n(n≥2,n∈N*).
∴an=a1+1-1n=-1+1-1n=-1n(n≥2,n∈N*).
又当n=1时,a1=-1也符合上式.∴an=-1n.
(2)因为a1=1,an=1-1nan-1(n≥2),
所以anan-1=n-1n,
所以an=anan-1·an-1an-2·an-2an-3·…·a3a2·a2a1·a1
=n-1n·n-2n-1·n-3n-2·…·23·12·1=1n.
又因为当n=1时,a1=1,符合上式,
所以an=1n.
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
四、小结
五、课时练
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。