高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念教学设计，共12页。教案主要包含了本节内容分析，学情整体分析，教学活动准备，教学活动设计等内容，欢迎下载使用。

《数列的概念》教学设计
课时1数列的概念及其表示
必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
数列的概念和表示方法
学习理解能力
观察记忆
概括理解
说明论证
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
迁移创新能力
综合问题解决
猜想探究
发现创新
数学抽象
【考查内容】
1.依据若干项求通项公式或某一项
2.利用递推公式求数列中的项或通项公式
3.借助数列的单调性求数列的最大项或最小项.
【考查题型】
选择题、填空题、解答题
数列通项公式的概念和应用
数学抽象数学运算
数列递推公式的概念和应用
逻辑推理
数学运算
数列前n项和的概念和应用
数学运算
一、本节内容分析
本节内容是对数列的概念及表示方法的初步探究,主要介绍数列的概念及分类,数列的表现方法,主要是通项公式和递推公式,数列的前n项和.这些内容是后续学习等差数列、等比数列的基础,在教材中起着引入铺垫的作用.通过本节的学习,学生能够掌握数列的通项公式、递推公式、前n项和公式并熟练运用.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:

核心知识
1.数列的概念和表示方法
2.数列通项公式的概念和应用
3.数列递推公式的概念和应用
4.数列前n项和的概念和应用
数学抽象
逻辑推理
数学运算
核心素养





二、学情整体分析
在学习本节内容之前,学生已经学习了函数的含义以及函数的表示方法,初中也有求找规律类型的题目,所以本节知识难度不是很大,但是大部分学生还是会在“数列实际上是一类定义在正整数集上的离散函数”有理解难度,对通项公式和前n项和公式的运算不到位,易忽视首项的运算.通过数列的递推公式进行逻辑推理也是一个难点.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.数列的概念和表示方法
2.数列通项公式的概念和应用
3.数列递推公式的概念和应用
4.数列前n项和的概念和应用
【教学目标设计】
1.了解数列的概念,理解数列是一种特殊函数,会用表格、图象、通项公式表示数列,达到直观想象核心素养水平.
2.会求简单数列的通项公式,会根据通项公式判断某数在不在数列中,达到数学抽象核心素养水平.
3.了解数列的递推公式,会根据递推公式写出数列的前几项,达到逻辑推理核心素养水平.
4.了解数列前n项和公式,并能根据前n项和公式推导出通项公式,达到数学运算核心素养水平.
【教学策略设计】
由于本节内容涉及的新概念、新运算较多,教学时,可以组织学生收集、阅读数列方面的研究成果,特别是我国古代的优秀研究成果,如“杨辉三角”、《四元玉鉴》等,撰写小论文,论述数列发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件等;可以将数列与函数进行联系,尤其是通过图象的表现,让学生在直观的环境下轻松地学习,提高学生学习数学的兴趣,通过层层深入的讲解,让学生进一步加强对数列概念的理解和计算能力.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.理解数列的概念,会猜测数列的通项公式,已知通项公式写出数列的任意一项.
2.根据数列的递推公式写出数列的前几项.
3.会计算简单数列的前n项和.
难点:
1.认识数列是一种特殊函数,发现数列的规律,找出数列可能的通项公式.
2.理解递推公式与通项公式的关系.
3.会利用前n项和求通项公式.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、_________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:同学们,上课之前我们先来看课本上这样两个例子:
1.王芳从1岁到17岁,每年生日测量的身高数据:75,87,96,103,110,116,120,128,138,145,153,158,160,162,163,165,168.
2.一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数:5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240.
以上的两个例子中的数据有什么特点?它们的顺序可以变换吗?
【学生独立思考,答不可以】
师:这都是日常生活中的例子,它们的共性就是其中的数据都是具有确定顺序的,生活中还有很多这样的例子.那么这列按照确定顺序排列的数叫做什么呢?
【设计意图】
由日常生活中的实例,让学生思考其中的共性,分析数据的排列特点,激发学生兴趣,引出课题.
教学精讲
探究1 数列的概念和表示方法
【情境设置】
数据排列的顺序
观察下面数据的排列,类比上面实例的叙述,你能说明下面的一列数也是具有确定顺序的吗?
的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数:.
【学生思考,合作交流,回答问题,教师予以肯定】
【设情境 巧引入】
通过情境问题.学生思考,交流,回答问题,为数列概念的引入做好铺垫.
【要点知识】
数列的概念
一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项,用表示.其中第1项也叫做首项.数列的一般形式是,简记为.
师:哪位同学可以说一下集合中元素的性质?
生:确定性、无序性、互异性.
师:很好.但是同时我们要注意,和集合中元素性质相比较,数列中的数具有以下特点:
(1)数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列;
(2)定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.
所以这个和集合中的元素要区分清.那么我们再用规范的数列的语言描述一下刚才的问题.
【学生根据数列的概念,规范语言,回答:的次幂排列成的一列数是数列,记为,首项是,教师予以肯定并总结】
【情境学习】
学生根据事实情况或者数学中的运算定律,通过和教学导入的例子类比,得出这组数之间的关系:是有确定顺序的一列数.
【要点知识】
数列和函数的关系
我们知道数列的一般形式是,而数列中的每一项和它的序号有如下对应关系:

师:如果类比于函数的自变量和函数值之间的关系,你能得出什么结论?如果说数列也是一种函数的话,那么数列的定义域和值域又都应该如何表示呢?
【概括理解能力】
通过教师提醒学生数列的数需要注意的点,引导学生根据概念,规范语言,概括出题目条件,锻炼概括理解能力.
【引导学生思考,合作交流,回答问题,教师予以肯定】
【要点知识】
数列的函数表示
数列可看成从正整数集(或它的有限子集)到实数集的函数,其自变量是序号,对应的函数值是数列的第项,记为.
师:也就是说,当自变量从1开始,按照从小到大的顺序依次取值时,对应的一列函数值就是数列.另一方面,对于函数,如果有意义,那么构成了一个数列.特别地,以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的,而数列是自变量为离散的数的函数.
【意义学习】
学生类比学过的函数的概念和相关的定义域、值域,得出数列也是一种特殊函数的概念,更深地理解数列的项数和每一项的关系.
师:类比于函数的表示方法,数列有几种表示方法?
生:有列表法、图象法、解析式法.
【要点知识】
列表法、图象法
以①中例子中王芳的身高为例,用表格和图象来表示.


师:由此可以看出数列图象的什么特点?
【引导学生思考、交流发言,教师归纳整理】
师:可以总结出描出的点都是一群孤立的,都位于y轴的右侧的点.那接着再来思考:如果用函数的解析式来表示数列,怎么表示?
【深度学习】
学生通过和函数的三要素的类比,得出数列也具有其“定义域”“值域”“解析式”,并相应的有三种表示方法.学习数列新概念的同时也对函数知识加深了印象.
【情境学习】
以直观的教学手段来理解数学的抽象,以表格、图象展示知识情境更能把抽象的数列表示形象地展示出来,有助于学生对知识的理解和掌握.
【引导学生类比,积极思考、互相交流、自由发言,教师归纳整理】
探究2 数列通项公项的概念和应用
师:如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.例如上述例子求的次幂的通项公式为.显然,通项公式就是数列的函数解析式,根据通项公式可以写出数列的各项.
师:对于数列的通项公式需要注意如下几点:
(1)并不是所有数列都能写出其通项公式;(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的;(3)数列的通项公式具有双重身份,它表示了数列的第项,又是这个数列中所有各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系.
师:能否根据通项公式,用表格和图象描述一下这个数列?
【学生独立思考,自主完成,教师巡视学生完成程度,总结答题情况】
师:观察上面数列的图象,你能得到哪些结论?是否可以对数列进行分类?
【学生阅读教材,积极思考,师生共同归纳整理】
师:与函数类似,数列有其相应的“定义域”和“值域”.我们也可以定义数列的单调性,从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列;从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列;特别地,各项都相等的数列叫做常数列;而从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列.当然也可以按照数列项数的多少分为有穷数列和无穷数列.
【简单问题解决能力】
引导学生根据所理解的概念,实际操作,已知数列通项公式,用表格和图象形象地展示数列,锻炼学生的动手操作和简单问题解决能力.
【自主学习】
学生阅读,积极思考,师生共同总结得到数列的分类,使学生在自主学习的情境中获得知识.
【要点知识】
数列的分类

师:结合图象,试着对课本上引入的三个例子做一下分类?
【学生思考,合作交流,回答问题,教师指定同学回答】
生:数列①(王芳1岁至17岁的身高)属于有穷数列、递增数列;数列②(月亮从第1天到第15天可见部分)属于有穷数列、递增数列;数列③(求的次幂属于无穷数列、摆动数列.
师:我们现在已经明白了什么是数列,数列和函数又有怎样的联系,以及数列按不同的标准又可以分为哪几类?那接下来我们就要重点对数列的应用进行研究,首先来看一下它的通项公式.
【典型例题】
根据所给数列的通项公式,写出数列的项并画出图象
例1 根据下列数列的通项公式,写出数列的前5项,并画出它们的图象.
(1);(2).
【学生独立思考,自主完成,教师指定同学到黑板上作答,参照教材上解答,点评总结】
师:给定一个数列的通项公式,我们可以求出其中任意一项,如果反过来,已知数列的前几项,我们能写出它的通项公式吗?该怎么写?
【少教精教】
指定学生在黑板上作答或指定学生讲解给全班,通过学生自己求项、描点、画图,教师少教,让学生自主探究所给数列的性质,以达到精教的目的.
【教师引导出例题,学生阅读教材,积极思考】
【典型例题】
根据所给数列的前几项,写出数列的一个通项公式
例2 根据下列数列的前4项,写出数列的一个通项公式:
(1);(2).
师:第(1)个数列,先观察前4项的绝对值,它们和序号有怎样的关系?
生:前4项的绝对值都是序号的倒数.
师:把绝对值符号去掉,再观察下前4项与序号有什么关系?
生:奇数项为正,偶数项为负.
师:所以我们可以得到它的一个通项公式为?
生:.
师:正确！另外注意或常常用来表示正、负相间的变化规律.
师:第(2)个数列属于什么数列?
生:摆动数列.
师:观察它的奇数项和偶数项分别和序号的关系.
生:这个数列前4项的奇数项是2,偶数项是0,所以它的一个通项公式为.
师:那我们求数列通项公式有没有可依照的方法?
【概括理解能力】
引导学生根据由类比函数得到的性质,将数列进行分类概括,更加深对概念的理解程度,锻炼概括理解能力.
【学生积极思考,教师总结】
【要点知识】
找通项公式的方法
由前几项归纳数列通项的常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.
师:找通项公式的一些具体策略还有:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征;⑤化异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;⑥对于符号交替出现的情况,可用或处理.
师:那接下来我们用这些方法着重练几道题目,求一下数列的通项公式.
【猜想探究能力】
教师一步步引导学生根据题目所给形式猜想、推测,找其内在联系,从而最终总结出符合的通项公式,锻炼猜想探究能力.
【巩固练习】
表示数列、求数列通项公式
1.写出下列数列的前10项,并作出它们的图象:
(1)所有正偶数的平方按从小到大的顺序排列成的数列;
(2)所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列;
(3)当自变量依次取时,函数的值构成的数列;
(4)数列的通项公式为
2.根据数列的通项公式填表:

3.除数函数的函数值等于的正因数的个数,例如,.写出数列的前10项.
4.根据下列数列的前5项,写出数列的一个通项公式:
(1);
(2).
【学生独立完成,教师巡视指导】
师:我们已经学会了求数列通项公式的方法,求出来通项公式,它还有什么用处?
【先学后教】
先引导学生分析题目,在完成的同时也在体会做题方法,最后由教师总结出相应的做题方法和具体策略,让学生对做题方法印象更深、运用更好.
【分析计算能力】
分析题目条件,利用通项公式判断某项在不在数列中,同时注意数列项数是正整数的隐含限制条件,锻炼分析计算能力.
【典型例题】
根据通项公式判断所给数是否为数列中的一项
例3 如果数列的通项公式为,那么120是不是这个数列的项?如果是,是第几项?
师:这道题求120是不是数列中的一项,实际就是求什么?
生:实际上是求方程是否有解.
师:对解有限定条件吗?可以自己先求算一下.
【学生独立思考,自主完成,教师指定同学回答】
生:解得.舍去.
师:要判断120是不是数列中的项,就是要回答是否存在正整数,使得,也就是判断上述关于的方程是否有正整数解.
师:那我们现在可以总结一下通项公式的常见的作用.
【要点知识】
数列通项公式的作用
1.求数列中任意一项.2.检验某数是否在该数列中.
师:好了,同学们,本节课我们所学的内容你记住了吗?
【教师启发学生总结重点,指定同学站起来回答】
【课堂小结】
数列的概念及其表示
1.数列的概念和表示方法.
2.通项公式的求法和应用.
【设计意图】
教师引导学生自主总结当堂课,整体学习,培养学生对学习内容的整体认识和把握.提升概括理解能力和逻辑推理核心素养.
教学评价
学完本节课,我们应该对数列的概念,尤其是数列与函数的联系加深理解,通常也会类比函数的单调性求解数列的单调性和最值.注意数列在不同标准下的分类.认识到数列的常用的三种表示方法:表格、图象、通项公式.递推公式也可表示一个数列,但通常应用于求数列的前几项,或者运用方法转化为通项公式.主要的是要掌握通项公式的概念、求法、应用,注意对于一个数列来说,可能不存在通项公式,如果存在通项公式的话,可能不止一个.本节课还引入了一个新的概念,就是数列的前项和,本节课任务只需明确前项和的概念,以及前项和公式向通项公式转化的思路.注意考虑时的首项是否符合通项公式,若满足,则可将通项公式合并写成一个;若不满足,则需要写成分段形式.
应用所学知识,完成下题:
已知数列的通项公式是.
(1)若,则数列中有多少项是负数?为何值时,有最小值?并求出最小值.
(2)对于,都有,求实数的取值范围.
解析:(1)由,解得.因为,所以,3,所以数列中有两项是负数,即为.因为,由二次函数性质,得或时,有最小值,其最小值为.
(2)由,知该数列是一个递增数列,又因为通项公式,可看作是关于的二次函数,考虑到,所以,解得.所以实数的取值范围为.
【设计意图】
引导学生整理知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中提升学科能力和核心素养.
教学反思
学习完本节,我们应该了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象,通项公式),理解数列的通项公式、递推公式的含义,并能应用公式解决一些数列问题.教学过程中要以恰当的教学情境,引入课题.注意问题情境的多次使用,服务于课堂的多个环节.要处理好数列与函数的关系,以处理好本节课的难点.在教学中要不惜时间让学生用不同的方法表示具体数列,让学生自主探究、合作交流,教师及时地引导学生改进方法,解决问题.最后,让学生总结各种表示方法的共同特征,进而认识到数列是特殊的函数.这样,学生就容易理解数列是“特殊”的函数到底“特殊”在哪里了,并顺势给出通项公式,也就是水到渠成的事了.
【以学定教】
综合函数的表示方法和单调性,加深对数列表示方法和分类标准的理解,掌握数列通项公式的应用,理解递推公式、前n项和公式的概念,解决问题.
【以学论教】
通过情境教学法引出本节课的学习,探究数列、通项公式、递推公式和数列的前n项和公式,根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处、不足之处及改进方法.