高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念优秀同步训练题

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1．数列的概念
数列的定义
一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一
个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号 SKIPIF 1 < 0 表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用 SKIPIF 1 < 0 表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用 SKIPIF 1 < 0 表示.其中第1项也叫做首项.
2．数列的分类
3．数列的通项公式
如果数列{ SKIPIF 1 < 0 }的第n项 SKIPIF 1 < 0 与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这
个数列的通项公式.
4．数列的递推公式
(1)递推公式的概念
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.
(2)对数列递推公式的理解
①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.
②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.
如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.
③用递推公式求出一个数列，必须给出：
基础——数列{ SKIPIF 1 < 0 }的第1项(或前几项)；
递推关系——数列{ SKIPIF 1 < 0 }的任意一项 SKIPIF 1 < 0 与它的前一项 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )(或前几项)间的关系，并且这个关系可
以用等式来表示.
5．数列表示方法及其比较
6．数列的前n项和
数列{ SKIPIF 1 < 0 }从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{ SKIPIF 1 < 0 }的前n项和，记作 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ++ SKIPIF 1 < 0 .
如果数列{ SKIPIF 1 < 0 }的前n项和 SKIPIF 1 < 0 与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做
这个数列的前n项和公式.
SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .
7．数列的性质
(1)单调性
如果对所有的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 > SKIPIF 1 < 0 ，那么称数列{ SKIPIF 1 < 0 }为递增数列；如果对所有的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 <
SKIPIF 1 < 0 ，那么称数列{ SKIPIF 1 < 0 }为递减数列.
(2)周期性
如果对所有的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 (k为正整数)，那么称{ SKIPIF 1 < 0 }是以k为周期的周期数列.
(3)有界性
如果对所有的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，那么称{ SKIPIF 1 < 0 }为有界数列，否则称{ SKIPIF 1 < 0 }为无界数列.
【题型1 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式】
【方法点拨】
根据数列的前几项写出其一个通项公式的方法：首先从下面4个角度观察数列的前几项：(1)各项的符号特
征；(2)各项能否分拆；(3)分式的分子、分母的特征；(4)相邻项的变化规律.其次寻找各项与对应的项的序号
之间的规律.
【例1】（2022·甘肃·高二期中）数列的一个通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2022·重庆高二阶段练习）数列的一个通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2022·浙江·高二开学考试）已知数列的前4项为：1，，，，则数列的通项公式能为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是（ ）
A．B．
C．D．
【题型2 判断数列的项】
【方法点拨】
根据题目条件，结合数列的通项公式，判断所给的数是否满足数列的通项公式，求出该数所对应的项数n，即可得解.
【例2】（2022·福建·高二阶段练习）若一数列为1，，，，…，则是这个数列的（ ）．
A．不在此数列中B．第13项C．第14项D．第15项
【变式2-1】（2022·广东佛山·高二期末）已知数列的通项公式为．则12是该数列的第（ ）项．
A．2B．3C．4D．5
【变式2-2】（2022·四川省高一阶段练习（理））已知数列的通项公式为那么是它的（ ）
A．第1项B．第2项C．第3项D．第10项
【变式2-3】（2021·河北保定·高二期中）已知数列的通项公式为，则下列不是数列的项的是（ ）
A．2B．4C．8D．16
【题型3 根据数列的递推公式求数列的项、通项公式】
【方法点拨】
结合所给数列的递推公式，分析数列之间的规律关系，转化求解即可.
【例3】（2022·陕西·高一期末（理））已知数列满足，，则数列的通项公式是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-1】（2022·甘肃·二模（文））数列满足，且，则（ ）
A．4043B．4044C．2021D．2022
【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，则数列第2022项为（ ）
A．B．C．D．
【题型4 数列的单调性的判断】
【方法点拨】
判断单调性的方法：①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性.
②利用定义判断：作差比较法，即作差比较 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小；作商比较法，即作商比较 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小，
从而判断出数列{ SKIPIF 1 < 0 }的单调性.
【例4】（2022·浙江·高二期中）在数列中， ， ，则（ ）
A．数列单调递减B．数列单调递增
C．数列先递减后递增D．数列先递增后递减
【变式4-1】（2022·辽宁葫芦岛·高二阶段练习）下列数列中，为递减数列的是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2022·天津·高三期中）数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
【变式4-3】（2022·浙江·高二期中）已知数列满足：（），且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型5 数列的周期性】
【方法点拨】
结合具体条件，分析数列的前几项，得出数列的周期，进行转化求解即可.
【例5】（2022·福建·高二期中）在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．3
【变式5-1】（2022·江苏·高二期中）若数列满足，，，则的值为（ ）
A．-3B．-2C．-1D．2
【变式5-2】（2022·河南·高二阶段练习）已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】（2022·贵州·高三阶段练习（文））已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【题型6 求数列的最大项、最小项】
【方法点拨】
利用数列的单调性或构造函数，利用函数的单调性，进行转化求解即可.
【例6】（2022·山西·高三期中）已知数列满足，，则数列（ ）
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
【变式6-1】（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，则中的最大项为（ ）
A．第6项B．第12项C．第24项D．第36项
【变式6-2】（2022·福建省高二阶段练习）已知数列满足，则数列的最大项为（ ）．
A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项
【变式6-3】（2022·全国·高二课时练习）已知，则数列的前50项中，最小项和最大项分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，