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    高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念导学案

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念导学案,共7页。学案主要包含了典例解析等内容,欢迎下载使用。

    4.2.1 等差数列的概念(2 导学案

    1.能用等差数列的定义推导等差数列的性质.

    2.能用等差数列的性质解决一些相关问题.

    3.能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题.

    重点:等差数列的性质及其应用

    难点:等差数列的性质推导

     

    1.等差数列的概念

    文字语言

    如果一个数列从第_2_项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示

    符号语言

    an1and(d为常数,nN*)

    2.等差中项

    (1)条件:如果aAb成等差数列.

    (2)结论:那么A叫做ab的等差中项.

    (3)满足的关系式是ab2A.

    3.等差数列的通项公式;ana1(n1)dnN*

    4.通项公式的应用;

    一、典例解析

    3.某公司购置了一台价值为220万元的设备,随着设备在使用过程中老化,其价值会逐年减少.经验表明,每经过一年其价值会减少d(d为正常数)万元.已知这台设备的使用年限为10年,超过10年 ,它的价值将低于购进价值的5%,设备将报废.请确定d的范围.

     

            等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作用.将实际问题抽象为等差数列问题,用数学方法解决数列的问题,再把问题的解回归到实际问题中去,是用数学方法解决实际问题的一般过程.

     

    跟踪训练1.  孟子故里邹城市是我们的家乡,它曾多次入选中国经济百强县.经济的发展带动了市民对住房的需求.假设该市2019年新建住房400万平方米,预计在以后的若干年内,该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在第(      )年新建住房的面积开始大于820万平方米?

    A.2026     B.  2027        C. 2028           D.2029

     

     

    4. 已知等差数列{an} 的首项a12{an} 中每相邻两项之间都插入3个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.

    (1)求数列{bn} 的通项公式.

    (2) b29是不是数列{an} 的项?若是,它是{an} 的第几项?若不是 ,请说明理由.

     

    对于第(2)小题,你还有其他解法吗?

     

     

    等差数列的性质

             如果在一个等差数列的每相邻两项之间都插入 )个合适的数,

    仍然可以构成一个新的等差 数列.

    5. 已知数列 是等差数列,,

    求证:

    5 是等差数列的一条性质,右图是它的一种情形.你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗?

     

            通过上节课我们知道等差数列对应的点分布在一条直线上,那么你能从直线斜率的角度来解释这一性质吗?

     

    1.在等差数列{an}中,若a3a5a7a9a11100,则3a9a13的值为(  )

    A20        B30           C40    D50

    2.某市出租车的计价标准为1.2/km,起步价为10元,即最初的4 km(不含4 km)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,需要支付车费________元.

    3.已知数列{an}是等差数列,若a4a7a1017a4a5a6a12a13a1477ak13,则k________.

    4.在首项为31,公差为-4的等差数列中,绝对值最小的项是________.

    5.已知三个数成等差数列并且数列是递增的,它们的和为18,平方和为116,求这三个数.

     

    1) 应用等差数列解决生活中实际问题的方法.

    2) 等差数列的每相邻两项之间都插入 )个合适的数,仍然可以构成一个新的等差数列.

    3) 等差数列,

     

    参考答案:

    知识梳理

    学习过程

    、典例解析

    3.分析:该设备使用n年后的价值构成数列{an},由题意可知,anan1d (n≥2). 即:anan1=-d.所以{an}为公差为-d的等差数列.10年之内(含10年),该设备的价值不小于万元;10年后,该设备的价值需小于11万元.利用{an}的通项公式列不等式求解.

    解:设使用n年后,这台设备的价值为an万元,则可得数列{an}

    由已知条件,得anan1dn≥2).

    所以数列{an}是一个公差为-d的等差数列.

    因为a1220d

    所以an220d(n1)(d)220nd.

    由题意,得a10≥11a1111.  

    即:解得19<d≤20.9

    所以,d的求值范围为19<d≤20.9

    跟踪训练1.  C解:设从2019年开始,该市每年新建住房面积为万平方米.

    由题意可知  是等差数列,首项a1 =400 ,公差50

     所以+() 50=50

    50 20,解得

    由于

    所以该市在2028年 建住房面积开始大于820万平方米.

     

    4. 分析:(1{an}是一个确定的数列,只要把a1 a2表示为{bn}中的项,就可以利用等差数列的定义得出的通项公式;(2)设{an}中的第n项是{bn}中的第cn项,根据条件可以求出ncn的关系式,由此即可判断b29是否为{an}的项.

    解:(1)设等差数列的公差为

    b1, b5, b5b1   =8

    b5b1   , 8, ,

    +() 2=2

    所以数列的通项公式是=2

    2)数列的各项依次是数列的第1,5,9,13项,这些下标构成一个首项为1,公差为4的等差数列,则=4 3

    4 3=29,   解得: =8

    所以, b29是数列的第8

    对于第(2)小题,你还有其他解法吗?

    5. 分析:利用等差数列的中的两个基本量    ,再根据等差数列的定义

    写出即可得证.

    证明:设数列 的公差为,

    +()

    +()

    +()

    +()

    所以:

    ,

    因为

    所以

    5 通过上节课我们知道等差数列对应的点分布在一条直线上,那么你能从直线斜率的角度来解释这一性质吗?

    思路:

    ,

     

    达标检测

    1【答案】C [a3a11a5a92a7

    a3a5a7a9a115a7100

    a720.

    3a9a133(a72d)(a76d)2a740.]

    223.2 [根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4 km时,每增加1 km,乘客需要支付1.2元.所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令a111.2,表示4 km处的车费,公差d1.2,那么当出租车行至14 km处时,n11,此时需要支付车费a1111.2(111)×1.223.2()]

    3【答案】18 [a4a7a103a717

    a7.

    a4a5a13a1411a977a97.

    d.

    aka9(k9)d13137(k9)×k18.]

    4【答案】1 [可求得数列的通项公式为an354n.

    则当n8an>0;当n9an<0.

    a83a9=-1.故绝对值最小的项为a9=-1.]

    5【答案】法一:设这三个数为abc(a<b<c),则由题意得

    ,解得

    法二:设这三个数为adaad

    由已知得

    a6,代入d±2

    该数列是递增的,d=-2舍去,

    这三个数为4,6,8.

     

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