人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念第2课时学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念第2课时学案，共12页。

第2课时　递推公式及数列的前n项和
(教师独具内容)
课程标准：1.理解递推公式是数列的一种表示方法.2.能根据递推公式写出数列的前n项.3.了解数列前n项和的概念，理解数列的通项公式与前n项和公式的关系.4.掌握由一些简单的递推公式或前n项和公式求通项公式的方法．
教学重点：理解数列的递推公式，会用递推公式求数列的项．
教学难点：根据数列的递推公式或前n项和公式求数列的通项公式.




知识点一　数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
知识点二　通项公式与递推公式的区别与联系

区别
联系
通项公式
项an是序号n的函数式an＝f(n)
都可以确定数列
递推公式
已知一个数列的相邻两项或多项之间的关系式
知识点三　数列的前n项和的定义及前n项和公式
我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
显然S1＝a1，而Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)，于是有an＝
若a1适合an(n≥2)，则用一个公式表示an，若a1不适合an(n≥2)，则要用分段形式表示an.

1．递推公式的理解与应用
(1)与数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．
(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式，如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项．
(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项．
(4)运用递推法给出数列，不容易了解数列的全貌，计算也不方便，所以我们经常用它得出数列的通项公式或者得到一个特殊数列，比如具有周期性质的数列(若存在一个正整数t，使得∀n∈N*，an＋t＝an，则数列{an}为周期数列，其周期为t)．
2．由递推公式求数列的通项公式
给出了递推公式求通项公式，常用累加、累乘、周期性等知识，即：
(1)当an－an－1＝f(n)满足一定规律时，有
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1.(累加)
(2)＝g(n)满足一定条件时，有
an＝··…··a1.(累乘)
(3)若数列{an}为周期数列，且周期为T(T为正整数)时，由an＝an＋T可将an转化为a1，a2，…，aT处理．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)递推公式也是表示数列的一种方法．(　　)
(2)所有数列都有递推公式．(　　)
(3)仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列．(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)数列{an}中，a1＝－2，an＋1＝an－5，则a4＝________.
(2)数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝nan，则a3＝________.
(3)数列{an}中，若an＋1－an－n＝0，则a2021－a2020＝________.
答案　(1)－17　(2)2　(3)2020



题型一 由递推公式写出数列的项
例1　已知数列{an}满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式．
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)；
(2)a1＝1，an＋1＝.
[解]　(1)∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，
∴a2＝a1＋(2×1－1)＝0＋1＝1；
a3＝a2＋(2×2－1)＝1＋3＝4；
a4＝a3＋(2×3－1)＝4＋5＝9；
a5＝a4＋(2×4－1)＝9＋7＝16.
故该数列的一个通项公式是an＝(n－1)2.
(2)∵a1＝1，an＋1＝，
∴a2＝＝，a3＝＝，
a4＝＝，a5＝＝，
∴它的前5项依次是1，，，，.
它的前5项又可写成，，，，，
故它的一个通项公式为an＝.

根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．
[跟踪训练1]　设数列满足a1＝1，an＝2＋(n>1)，试写出这个数列的前4项．
解　∵a1＝1，an＝2＋(n>1)，
∴a2＝2＋＝3，∴a3＝2＋＝2＋＝，
∴a4＝2＋＝2＋＝.
题型二 用累加法求数列的通项公式
例2　已知数列{an}，a1＝1，以后各项由an＝an－1＋(n≥2)给出．
(1)写出数列{an}的前5项；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解]　(1)a1＝1，a2＝a1＋＝，
a3＝a2＋＝，
a4＝a3＋＝，
a5＝a4＋＝.
(2)由an＝an－1＋
得an－an－1＝(n≥2)，
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1
＝＋＋…＋＋＋1
＝＋＋…＋＋＋1＝－＋1＋1＝2－＝(n∈N*)．

(1)由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一，也是高考考查的热点．累加法、累乘法、迭代法是解决这类问题的常用方法．
(2)形如an＋1－an＝f(n)的递推公式，可以利用a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)求通项公式．
[跟踪训练2]　已知数列{an}中，a1＝3，对任意正整数n都有＝n(n＋1)(n≥2)，则数列{an}的通项公式为________.
答案　an＝
解析　因为＝n(n＋1)，所以an－an－1＝＝－，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝＋＋＋…＋＋＋3＝4－＝.
题型三 用累乘法求数列的通项公式
例3　已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前5项，猜想an，并加以证明．
[解]　由a1＝2，an＋1＝2an得
a2＝2a1＝2×2＝4＝22，
a3＝2a2＝2×4＝8＝23，
a4＝2a3＝2×8＝16＝24，
a5＝2a4＝2×16＝32＝25，
…
猜想an＝2n(n∈N*)．
证明如下：
证法一：(累乘法)
由a1＝2，an＋1＝2an得＝＝…＝＝＝2，
∴an＝··…···a1
＝2·2·…·2·＝2n(n∈N*)．
证法二：(迭代法)
由an＋1＝2an得an＝2an－1，an－1＝2an－2，…，a3＝2a2，a2＝2a1，
∴an＝2an－1＝2(2an－2)＝22·an－2＝22(2an－3)＝23·an－3＝…＝2n－1·a1＝2n(n∈N*)．

由形如an＝f(n)·an－1(n≥2)的数列的递推公式求通项公式时，通常用累乘法或迭代法，不断地变换递推公式中的“下标”，直到可以利用首项或前几项是解题的关键．
[跟踪训练3]　设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，则通项an＝________.
答案　(n∈N*)
解析　因为a1＝1，an＝an－1(n≥2)，所以＝，an＝···…···a1＝···…···1＝(n∈N*).
题型四 周期数列问题
例4　在数列{an}中，a1＝，an＝1－(n≥2，n∈N*)．
(1)求证：an＋3＝an；
(2)求a2021.
[解]　(1)证明：an＋3＝1－＝1－
＝1－＝1－＝1－
＝1－＝1－(1－an)＝an.
∴an＋3＝an.
(2)由(1)知数列{an}的周期T＝3，a1＝，a2＝－1，a3＝2.又a2021＝a3×673＋2＝a2＝－1，∴a2021＝－1.
[结论探究]　把本例(2)中的问题改为：求数列{an}的前10项和S10.
解　由(1)知数列{an}的周期T＝3，a1＝，a2＝－1，a3＝2.
∵a1＋a2＋a3＝，∴S10＝3×＋a10＝＋＝5.

求周期数列周期的方法
周期数列问题是数列中的一个重要题型，其周期性往往隐藏于数列的递推公式中．解决周期数列问题的关键在于利用递推公式算出前若干项或由递推公式发现规律，得出周期而得解．
[跟踪训练4]　已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则 a2021＝(　　)
A．3 B．6
C．－3 D．－6
答案　D
解析　a1＝3，a2＝6，a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－3－3＝－6，a6＝a5－a4＝－6＋3＝－3，a7＝3，a8＝6，a9＝a3，a10＝a4，∴数列{an}的周期为6，∴a2021＝a6×336＋5＝a5＝－6.故选D.
题型五 数列的通项an与前n项和Sn的关系
例5　已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求数列{an}的通项公式．
(1)lg (Sn＋1)＝n＋1；
(2)Sn＝2n2－3n.
[解]　(1)因为lg (Sn＋1)＝n＋1.
所以Sn＋1＝10n＋1，即Sn＝10n＋1－1.
当n＝1时，a1＝S1＝102－1＝99；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(10n＋1－1)－(10n－1)＝9×10n.
从而数列{an}的通项公式为an＝
(2)当n＝1时，a1＝S1＝－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，
∴an＝4n－5(n∈N*)．

数列的通项an与前n项和Sn的关系
(1)已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)，这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错．
(2)在书写数列{an}的通项公式时，务必验证n＝1是否满足an(n≥2)的情形．如果不满足，则通项公式只能用an＝表示．
[跟踪训练5]　已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求数列{an}的通项公式．
解　(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，
解得a2＝3a1＝3.
由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，
解得a3＝(a1＋a2)＝6.
(2)由题设知a1＝1.
当n>1时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
整理得an＝an－1.
于是a2＝a1，a3＝a2，…，an－1＝an－2，an＝an－1.
将以上(n－1)个等式中等号两端分别相乘，整理得an＝.
综上可知，数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)．



1．已知数列{an}的项满足an＋1＝an，而a1＝1，通过计算a2，a3，猜想an等于(　　)
A. B．
C. D．
答案　B
解析　∵an＋1＝an，∴当n＝1时，a2＝a1＝，当n＝2时，a3＝a2＝，将n＝1，n＝2，n＝3代入四个选项检验可知B正确．
2．下列说法中不正确的是(　　)
A．数列a，a，a，…是无穷数列
B．数列{f(n)}就是定义在正整数集N*上或它的有限子集{1,2,3，…，n}上的函数值
C．数列{n2－4n}的最小项是－3
D．已知数列{an}，则{an＋1－an}也是一个数列
答案　C
解析　C项中an＝n2－4n＝(n－2)2－4，所以当n＝2时，a2最小且a2＝－4.A，B，D都正确．故选C.
3．已知数列{an}满足a1＝，an＋an－1＝1(n∈N*，n≥2)，那么 a2021的值等于(　　)
A. B．
C．0 D．
答案　A
解析　由an＋an－1＝1得an＝1－an－1.又a1＝，∴a2＝，a3＝，a4＝，…，由此可知数列{an}的项以2为周期重复出现，a2021＝a1＝.故选A.
4．在数列{an}中，a1＝，an＋1＝，数列{an}的前n项和为Sn，则a4＝________，S2021＝________.
答案　－　
解析　∵an＋1＝，a1＝，∴a2＝＝3，a3＝＝－2，a4＝＝－，a5＝＝，∴数列{an}是以4为周期的周期数列，∴S2021＝a1＋a2＋…＋a2021＝505×＋＝.
5．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋n，求a5.
解　由a1＝2，an＋1＝2an＋n知，a2＝2a1＋1＝5，a3＝2a2＋2＝12，a4＝2a3＋3＝27，a5＝2a4＋4＝58.



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．符合递推关系式an＝an－1的数列是(　　)
A．1,2,3,4，… B．1，，2,2，…
C.，2，，2，… D．0，，2,2，…
答案　B
解析　B中从第2项起，后一项是前一项的倍，符合递推公式an＝an－1.其他选项均不符合，故选B.
2．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3，则通项an可能是(　　)
A．5－3n B．3·2n－1－1
C．5－3n2 D．5·2n－1－3
答案　D
解析　由a1＝2，an＋1＝2an＋3可得a2＝7，当n＝2时，经验证只有D适合．
3．已知数列{an}中，前n项和为Sn，且Sn＝an，则的最大值为(　　)
A．－3 B．－1
C．3 D．1
答案　C
解析　当n≥2时，Sn＝an，Sn－1＝an－1，两式作差可得an＝an－an－1⇒＝＝1＋，据此可得，当n＝2时，的最大值为3.
4．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sm＋n(m，n∈N*)且a1＝5，则a8＝(　　)
A．40 B．35
C．5 D．12
答案　C
解析　数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sn＋m(n，m∈N*)且a1＝5，令m＝1，则Sn＋1＝Sn＋S1＝Sn＋5.所以an＋1＝5，故a8＝5.故选C.
5．(多选)已知数列{an}满足(n－1)an＝nan－1＋1(n≥2)，Sn为其前n项和，且a1＝1，则下列正确的是(　　)
A．a2＝3 B．a3＝6
C．S4＝20 D．an＝2n－1
答案　AD
解析　由(n－1)an＝nan－1＋1(n≥2)，得(n－1)an＋(n－1)＝nan－1＋n(n≥2)，又a1＝1，所以当n≥2时，＝，所以an＋1＝(a1＋1)×××…×＝2×××…×＝2n，从而an＝2n－1.当n＝1时，也满足上式，所以an＝2n－1.所以a2＝2×2－1＝3，a3＝2×3－1＝5，a4＝2×4－1＝7.所以S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋3＋5＋7＝16.故选AD.
二、填空题
6．已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2＋，则a6＝________.
答案　－
解析　∵an＋1＝2＋＝，a1＝－2，∴a2＝＝，a3＝＝6，a4＝－，a5＝，a6＝－.
7．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋3(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________，的最小值为________.
答案　3n－2　1
解析　∵an＝an－1＋3，∴an－an－1＝3.∴a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，…，an－an－1＝3，以上各式两边分别相加，得an－a1＝3(n－1)，∴an＝a1＋3(n－1)＝1＋3(n－1)＝3n－2.∴＝＝3－.又n∈N*，∴的最小值为1.
8．已知数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，a8＝2，则a1＝________；若数列{an}的前n项和是Sn，则S2021＝________.
答案　　1012
解析　∵数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，∴an＋2＝＝＝.∴an＋3＝＝＝an.∴数列{an}是周期为3的数列．∵a8＝2，∴2＝，解得a7＝，同理可得a6＝－1，则a1＝a7＝，a2＝a8＝2，a3＝a6＝－1.∴S2021＝(a1＋a2＋a3)×673＋a1＋a2＝×673＋＋2＝1012.
三、解答题
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式．
解　已知Sn＝2n2－3n－1，∴当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－1－[2(n－1)2－3(n－1)－1]＝4n－5.
又a1＝S1＝－2不适合上式，
∴an＝
10．已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋.
(1)求a2，a3；
(2)求数列{an}的通项公式．
解　(1)a2＝a1＋＝3＋＝，
a3＝a2＋＝＋＝.
(2)原递推公式可化为an＋1＝an＋－，
则a2＝a1＋1－，a3＝a2＋－，
a4＝a3＋－，…，an－1＝an－2＋－，an＝an－1＋－，累计相加，得an＝a1＋1－，
故an＝4－.
B级：“四能”提升训练
1．设{an}是首项为1的正项数列且na＋(n＋1)a－(2n＋1)anan＋1＝0(n∈N*)，求an.
解　由na＋(n＋1)a－(2n＋1)anan＋1＝0，可得(an＋1－an)[nan＋1－(n＋1)an]＝0.
当an＋1－an＝0，即an＋1＝an时，an＝a1＝1.
当nan＋1－(n＋1)an＝0时，＝，
所以an＝a1···…·＝1···…·＝n.
综上可知，an＝1(n∈N*)或an＝n(n∈N*)．
2．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n＋1)(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：an＝＋＋＋…＋，求数列{bn}的通项公式．
解　(1)当n＝1时，a1＝S1＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，可知a1＝2满足该式，
∴数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*)．
(2)an＝＋＋＋…＋(n≥1)，①
an＋1＝＋＋＋…＋＋，②
②－①，得＝an＋1－an＝2，
∴bn＋1＝2(3n＋1＋1)，
而b1＝8，故bn＝2(3n＋1)(n∈N*)．