高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念测试题

第四章　4.1

A级——基础过关练

1．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是(　　)

A．递增数列　　 B．递减数列　

C．常数列　　 D．摆动数列

【答案】A　【解析】an＝＝1－，∴n越大，越小，则an越大，故该数列是递增数列．

2．(多选)下列命题中正确的是(　　)

A．已知数列{an}，an＝(n∈N*)，那么是这个数列的第10项，且最大项为第1项

B．数列，，2，，…的一个通项公式是an＝

C．已知数列{an}，an＝kn－5，且a8＝11，则a17＝31

D．已知an＋1＝an＋3，则数列{an}是递增数列

【答案】ABD　【解析】对于A，令an＝＝⇒n＝10，易知最大项为第1项，A正确；对于B，数列，，2，，…变为，，，，…⇒，，，，…⇒an＝，B正确；对于C，an＝kn－5，且a8＝11⇒k＝2⇒an＝2n－5⇒a17＝29，C错误；对于D，由an＋1－an＝3＞0，易知D正确．

3．(2021年黑龙江三模)已知数列{an}，a1＝，an＝1－(n≥2)，则a2 020＝(　　)

A．　 B．　

C．－3　 D．

【答案】B　【解析】数列满足an＝1－(n≥2)，因为a1＝，故得到a2＝1－＝－3，再代入得到a3＝1－＝，a4＝1－＝，a5＝1－＝－3，进而可以发现数列是有周期的，周期为3，因为2 020＝673×3＋1，故a2 020＝a1＝．

4．如下图，下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为(　　)

A．an＝3n－1　　　　 B．an＝3n

C．an＝3n－2n　　 D．an＝3n－1＋2n－3

【答案】A　【解析】这四个图形中，着色三角形的个数依次为1,3,9,27，都是3的指数幂，猜想数列的通项公式为an＝3n－1．

5．(2021年南昌四校联考)已知an＝(n∈N*)，则在数列{an}的前40项中最大项和最小项分别是(　　)

A．a1，a30　 B．a1，a9　

C．a10，a9　 D．a12，a11

【答案】D　【解析】an＝＝1＋，故当n<时，an<1，且单调递减；当n>时，an>1，且单调递减．∵11<<12，∴这个数列的前40项中的最大项和最小项分别是a12，a11．

6．已知数列{an}的通项公式为an＝，那么是它的第________项．

【答案】4　【解析】令＝，解得n＝4(n＝－5舍去)，所以是第4项．

7．(2021年安徽期中)设数列{an}满足a1＝5，且对任意正整数n，总有(an＋1＋3)(an＋3)＝4an＋4成立，则数列{an}的前2 020项和为________．

【答案】－　【解析】由(an＋1＋3)(an＋3)＝4an＋4，得an＋1＝－3＝．因为a1＝5，所以a2＝＝0，同理可得a3＝－，a4＝－5，a5＝5，所以数列是以4为周期的数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝－，所以S2 020＝－×505＝－．

8．(2021年集宁月考)已知函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)(n∈N*)，且数列{an}是单调递增数列，则实数a的取值范围是____________．

【答案】　【解析】数列满足an＝f(n)(n∈N*)，且数列是单调递增数列，所以f(n)(n∈N*)为单调递增函数，则满足解不等式组可得<a<8．所以a的取值范围为．

9．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

(1)，，，；

(2)1＋，1－，1＋，1－；

(3)7,77,777,7 777；

(4)0，，0，．

解：(1)∵，，，，

观察知每一项的分子是连续的奇数，分母是2n，

∴an＝(n∈N*)．

(2)∵1＋，1－，1＋，1－，

观察知每一项的组成是1加或减一个分数的形式，

分数的分子是连续的奇数，分母是连续偶数的平方，

∴an＝1＋(－1)n＋1·(n∈N*)．

(3)∵7,77,777,7 777，

∴该数列可化为×(10－1)，×(100－1)，×(1 000－1)，×(10 000－1)．

∴an＝(10n－1)(n∈N*)．

(4)∵0，，0，，

∴该数列可化为(1－1)·，(1＋1)·，(1－1)·，(1＋1)·．

∴an＝[1＋(－1)n]·(n∈N*)．

10．已知数列{an}满足a1＝4，an＋1－an＝3，试写出这个数列的前6项并猜想该数列的一个通项公式．

解：由已知，得a1＝4，an＋1＝an＋3，

∴a2＝a1＋3＝4＋3＝7，

a3＝a2＋3＝7＋3＝10，

a4＝a3＋3＝10＋3＝13，

a5＝a4＋3＝13＋3＝16，

a6＝a5＋3＝16＋3＝19．

由以上各项猜测数列的通项公式是an＝3n＋1．

B级——能力提升练

11．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n·2n＋1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为(　　)

a1

a2　a3

a4　a5　a6

……

A．－99　 B．－97　

C．97　 D．99

【答案】C　【解析】由题意可得该数阵中的第10行第3个数为数列{an}的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝48项，而a48＝(－1)48×96＋1＝97，故该数阵中的第10行第3个数为97．

12．(2020年驻马店期末)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5<ak<8，则k的值为(　　)

A．6　　　 B．7　　　　

C．8　　 D．9

【答案】C　【解析】∵Sn＝n2－9n，∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－10．a1＝S1＝－8适合此式，∴an＝2n－10(n∈N*)．∴5<2k－10<8，得7.5<k<9．又k∈N*，∴k＝8．

13．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是(　　)

A． B．

C．0 D．5

【答案】C　【解析】由题意得，an＝－3n2＋15n－18，则对称轴方程n＝－＝，又n取整数，所以当n＝2或3时，an取最大值为a3＝a2＝－3×22＋15×2－18＝0．

14．(2021年常州模拟)在一个数列中，如果对任意n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫作等积数列，k叫作这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________．

【答案】28　【解析】依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28．

15．已知数列{an}的通项公式是an＝．

(1)你能判断该数列是递增的，还是递减的吗？

(2)该数列中有负数项吗？

解：(1)对任意n∈N*，

∵an＋1－an＝－

＝＜0，

∴数列{an}为递减数列．

(2)令an＜0，即＜0，

∴n2＋5n＋4＜0，解得－4＜n＜－1，

与n∈N*矛盾，故数列{an}没有负数项．

16．已知数列{an}的前n项和为Sn，求数列{an}的通项公式．

(1)Sn＝2n2＋3n；

(2)Sn＝2n－1．

解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋3×1＝5；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1．当n＝1时，a1＝4×1＋1＝5成立．

所以an＝4n＋1．

(2)当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1．

当n＝1时，a1＝21－1＝1成立．

所以an＝2n－1．

C级——探究创新练

17．(多选)(2020年菏泽期末)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(　　)

A．a6＝8　

B．S7＝33

C．a1＋a3＋a5＋…＋a2 019＝a2 020

D．＝a2 020

【答案】ABCD　【解析】对A，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A正确；对B，S7＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＝33，故B正确；对C，由a1＝a2，a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，…，a2 019＝a2 020－a2 018，可得a1＋a3＋a5＋…＋a2 019＝a2 020，故C正确．对D，斐波那契数列总有an＋2＝an＋1＋an，则a＝a2a1，a＝a2(a3－a1)＝a2a3－a2a1，a＝a3(a4－a2)＝a3a4－a3a2，…，a＝a2 018a2 019－a2 018a2 017，a＝a2 019a2 020－a2 019a2 018，所以a＋a＋a＋…＋a＝a2 019a2 020，故D正确．

18．(2021年眉山期中)已知数列{an}的前n项和Sn，且Sn＝×4n＋1－．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{bn}满足bn＝，数列{bn}的前n项和Tn．求证：≤Tn<．

(1)解：当n＝1时，a1＝S1＝×42－＝4；

当n≥2时，Sn＝×4n＋1－，Sn－1＝×4n－，

an＝Sn－Sn－1＝4n·＝4n(n≥2)．

又a1＝4也符合上式，

∴an＝4n(n≥1，n∈N*)．

(2)证明：bn＝＝－，

Tn＝－＋－＋…＋－＝－，

∴Tn为递增函数，当n取1时，T1＝，即Tn≥．

又∵－<，∴≤Tn<．