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初中数学苏科版八年级上册1.2 全等三角形优秀习题
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这是一份初中数学苏科版八年级上册1.2 全等三角形优秀习题，共43页。试卷主要包含了如图，，等内容，欢迎下载使用。
专题1.1�全等三角形七大基本模型 专项讲练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人
得分
一、单选题
1．如图，，，要说明，需添加的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知，若要使得，则添加的一个条件不能是（ ）
A． B．
C．AB=DC D．AC=DB
3．如图，△ABC和△AED共顶点A，AD＝AC，∠1＝∠2，∠B＝∠E． BC交AD于M，DE交AC于N，甲说：“一定有△ABC≌△AED．”乙说：“△ABM≌△AEN．”那么（ ）
A．甲、乙都对 B．甲、乙都不对 C．甲对、乙不对 D．甲不对、乙对
4．如图，在等腰直角三角形中，，点B在直线l上，过A作于D，过C作于E．下列给出四个结论：①；②与互余；③．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
5．如图，在△ABC和△CDE中，若∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，CE＝AC，则下列结论中正确的是（ ）
A．E为BC中点 B．2BE＝CD C．CB＝CD D．△ABC≌△CDE
评卷人
得分
二、解答题
6．如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB // DE，AB = DE，∠A = ∠D．
（1）求证：；
（2）若BF = 11，EC = 5，求BE的长．
7．如图1，A，B，C，D在同一直线上，，，且，求证：．
如果将BD沿着AC边的方向平行移动，如图2、图3，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
8．如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O，
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．
9．如图，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，AM⊥CD于M，AN⊥BE于N．求证：AM＝AN．
10．如图，，
求证：（1）；
（2）．
11．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．
(1)当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；
(2)将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
12．已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作，使，连接BD，CE．
（1）如图①，若，，，求证；
（2）如图②，若，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由．
13．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．
(1)如图1，求证：BD＝CE；
(2)如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）．
14．已知：，，，．
（1）试猜想线段与的位置关系，并证明你的结论．
（2）若将沿方向平移至图2情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由．
（3）若将沿方向平移至图3情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由．
15．如图，已知∠DCE=90°，∠DAC=90°，BE⊥AC于B，且DC=EC．
（1）∠D和∠ECB相等吗？若相等，请说明理由；
（2）△ADC≌△BCE吗？若全等，请说明理由；
（3）能否找到与AB+AD相等的线段，并说明理由。
16．在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型” 兴趣小组进行了如下探究：
（1）如图1，两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是 ，此时BD和CE的数量关系是 ；
（2）如图2，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图3，已知△ABC，请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数．
17．如图, AB=CB, BD=BE, ∠ABC=∠DBE=a.
（1）当a=60°, 如图①则，∠DPE的度数______________
（2）若△BDE绕点B旋转一定角度，如图②所示，求∠DPE（用a表示）
18．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：△ABE≌△CBF．
（2）当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，如图2，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
（3）当∠MBN绕点B旋转到图3这种情况下，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
19．在中，于点D，点E为AD上一点，连接CE，CE＝AB，ED＝BD．
（1）求证：；
（2）若，则的度数为 ．
20．如图，已知点是的中点，CD//BE，且．
（1）求证：△ACD≌△CBE．
（2）若，求∠B的度数．
21．如图①，点A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，作EC⊥AD于点C，FB⊥AD于点B，且AE＝DF．
(1)求证：EF平分线段BC；
(2)若将△BFD沿AD方向平移得到图②时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．
22．已知：如图，点C是线段AB的中点，CD=CE，∠ACD=∠BCE，求证：
（1）△ADC≌△BEC；
（2）DA=EB．
23．已知：如图，C为线段BE上一点，AB∥DC，AB＝EC，BC＝CD．求证：∠ACD＝∠E．
24．CD是经过∠BCA定点C的一条直线，CA=CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠β．
（1）若直线CD经过∠BCA内部，且E、F在射线CD上，
①若∠BCA=90°，∠β=90°，例如左边图，则BE CF，EF |BE - AF|
（填“＞”，“＜”，“＝”）；
②若0°＜∠BCA＜180°，且∠β＋∠BCA=180°，例如中间图，①中的两个结论还成立吗？并说明理由；
（2）如右边图，若直线CD经过∠BCA外部，且∠β=∠BCA，请直接写出线段EF、BE、AF的数量关系（不需要证明）．
25．如图，，，且．
（1）试说明：是等腰直角三角形；
（2）若，求的度数．
26．将的直角顶点置于直线上，，分别过点 、作直线的垂线，垂足分别为点、，连接．若， ．求的面积．
27．如图（1），已知中，，；是过的一条直线，且，在的异侧，于，于．
（1）求证：；
（2）若直线绕点旋转到图（2）位置时（），其余条件不变，问与，的数量关系如何？请给予证明．
（3）若直线绕点旋转到图（3）位置时（），其余条件不变，问与，的数量关系如何？请直接写出结果，不需证明；
（4）根据以上的讨论，请用简洁的语言表达直线在不同位置时与，的位置关系．
28．已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作，使，连接BD，CE．
（1）如图①，若，，，求证；
（2）如图②，若，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由．
29．问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______．
拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
30．如图，，，三点在一条直线上，和均为等边三角形，与交于点，与交于点．
（1）求证：；
（2）若把绕点任意旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
31．已知：如图1，在和中，，，．
（1）请说明．
（2）如图2，连接和，，与分别交于点和，，求的度数．
（3）在（2）的条件下，若，请直接写出的度数．
32．（1）作图发现
如图1，已知△ABC，小涵同学以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE．连接BE，CD．这时他发现BE与CD的数量关系是 ．
（2）拓展探究
如图2．已知△ABC，小涵同学以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，试判断BE与CD之间的数量关系，并说明理由．
评卷人
得分
三、填空题
33．如图，，，请补充一个条件： ，能使用“ASA”方法判定．
参考答案：
1．C
【分析】直接根据三角形证明全等的条件进行判断即可；
【详解】A、∵AB∥DE，∴∠ABC=∠DEC，∴根据ASA即可判定三角形全等，故此选项不符合题意；
B、∵AC∥DF，∴∠DFE=∠ACB，∴根据AAS即可判定三角形全等，故此选项不符合题意；
C、AC⊥DE，不符合三角形全等的证明条件，故此选项符合题意；
D、∵AC=DF，∴根据SAS即可判定三角形全等，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形证明全等所需添加的条件，正确掌握知识点是解题的关键；
2．C
【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断，即可得出结论．
【详解】解：∵，BC＝CB，
A、当添加∠A＝∠D时，可利用“AAS”判断△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；
B、当添加时，可利用“ASA”判断△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；
C、当添加AB=DC时，利用“SSA”不能判断△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；
D、当添加AC=DB时，可利用“SAS”判断△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
3．A
【分析】利用AAS判定△ABC≌△AED，则可得到AB=AE，再利用ASA判定△ABM≌△AEN．
【详解】∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠MAC＝∠2+∠MAC，
∴∠BAC＝∠EAD，
在△BAC和△EAD中，
,
∴△BAC≌△EAD，
∴甲说的正确；
∵△BAC≌△EAD（AAS），
∴AB=AE，
在△BAM和△EAN中，
,
∴△BAM≌△EAN（ASA），
∴乙说的正确；
故选A．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，根据题目的特点，补充适当条件，活用判定定理是解题的关键．
4．D
【分析】证△ADB≌△BEC即可．
【详解】证明：∵， ，
∴∠ADB=∠BEC=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∵，
∴∠ABD+∠CBE=90°，
∴∠BAD=∠CBE，
∴∠BCE+∠BAD=90°，故②正确；
∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠BEC=90°，
∴△ADB≌△BEC，
∴，AD=BE，故①正确；
DE=DB+BE=CE+AD，故③正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是找到并证明全等三角形．
5．D
【分析】首先利用HL定理证明Rt△ABC≌Rt△CDE，然后根据全等三角形的性质，即可一一判断．
【详解】解：∵∠ACB＝∠CED＝90°
在Rt△ABC与Rt△CDE中，，
∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL），
∴CB＝DE，CE＝AC，CD＝AB，△ABC≌△CDE，故D符合题意，其他选项不符合题意
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握HL定理判定三角形全等是解题关键
6．（1）见解析；（2）BE=3．
【分析】（1）根据平行线的性质由AB∥DE得到∠ABC＝∠DEF，然后根据“ASA”可判断△ABC≌△DEF；
（2）根据三角形全等的性质可得BC＝EF，由此可求出BE＝CF，则利用线段的和差关系求出BE．
【详解】（1）证明：∵AB∥DE
∴∠ABC＝∠DEF
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）
（2）解：∵△ABC≌△DEF
∴BC＝EF
∴BC－EC＝EF－EC
即BE＝CF
∵BF＝11，EC＝5
∴BF－EC＝6
∴BE＋CF＝6
∴BE＝3
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．
7．证明见解析，依然成立，证明见解析
【详解】解析：可以根据已知条件，利用SAS判定．如果将BD沿着AC边的方向平行移动，如图2、图3，其余条件不变，结论仍然成立．可以利用全等三角形的常用判定方法进行验证．
答案：解：证明：∵，
∴，
即．∴，∴．
在和中，
∴（SAS）．
在图2、图3中结论依然成立．
如在图3中，∵，
∴，
即，∵，∴．
在和中，
∴（SAS）
易错：认为平移后图2、图3中的两个三角形不全等．
错因：平移性质及三角形全等的判定没有掌握．
满分备考：平移和旋转变换是寻找全等三角形及其对应边角的一个特殊方法，在涉及的题目中应用可以防止出错．
8．（1）见解析；（2）78°
【分析】（1）由AE＝DB得出AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE，利用HL即可证明Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）根据直角三角形的两锐角互余得∠ABC＝39°，根据全等三角形的性质得∠ABC＝∠DEF＝39°，由三角形外角的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵AE＝DB，
∴AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE．
又∵∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF．
（2）∵∠C＝90°，∠A＝51°，
∴∠ABC＝∠C－∠A＝90°－51°＝39°．
由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF．
∴∠DEF＝39°．
∴∠BOF＝∠ABC＋∠BEF＝39°＋39°＝78°．
【点睛】本题主要考查直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
9．见解析
【分析】通过SAS证明△DBC≌△EBC，再通过AAS证明△AMD≌△ANE，即可求解．
【详解】解：∵AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD＝BD＝AE＝EC，∠B＝∠C，
在△DBC和△EBC中
∴△DBC≌△EBC（SAS）
∴∠BDC＝∠BDE，
∵∠BDC＝∠ADM，∠BEC＝∠AEN，
∴∠ADM＝∠AEN，
在△AMD和△ANE中
∵
∴△AMD≌△ANE（AAS）
∴AM＝AN．
【点睛】本题考查三角形全等的判断和性质，灵活运用三角形判断是解题的关键．
10．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据垂直得到，求出，即可得到结果；
（2）设交于，交于，根据全等三角形的性质得到，再根据已知条件转换即可；
【详解】证明：，，
，
，
，
在和中，，
；
如图，设交于，交于，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确证明是解题的关键．
11．(1)，证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）延长BD与EC交于点F，可以证明△ACE≌△ADB，可得BD=CE，且∠BFE=90°，进而结论得证；
（2）延长BD交CE于F，证明△ABD≌△ACE，则BD=CE、∠ABF=∠ECA；根据∠ABF=∠HCF以及三角形内角和定理可证得∠BHC=90°．
【详解】（1）证明：延长BD交CE于F，
在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠AEC+∠ACE＝90°，
∴∠ABD+∠AEC＝90°，
∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD，
∴．
（2）证明：延长BD交CE于F，
∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°，
∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，证得△ACE≌△ADB和△ABD≌△ACE是解决问题的关键．
12．（1）见详解；（2）DE＝BD＋CE．理由见详解
【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等，得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ABD≌△CAE；
（2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，就可以求出∠BAD＝∠ACE，进而由ASA就可以得出△ABD≌△CAE，就可以得出BD＝AE，DA＝CE，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图①，∵D，A，E三点都在直线m上，∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠BAD＋∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
（2）DE＝BD＋CE．理由如下：
如图②，∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，
∴由三角形内角和及平角性质，得：
∠BAD＋∠ABD＝∠BAD＋∠CAE＝∠CAE＋∠ACE，
∴∠ABD＝∠CAE，∠BAD＝∠ACE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（ASA），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AD＋AE＝BD＋CE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理的综合应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，灵活运用所学知识解决问题．
13．(1)见解析
(2)∠EDC，∠BAD，∠B，∠C
【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△DCE，可得BD=CE；
（2）由全等三角形的性质可得∠B=∠C，由三角形的外角性质和角平分线的性质可求解．
【详解】（1）证明：在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（SAS），
∴BD＝CE．
（2）解：∵△ABD≌△DCE，
∴∠B＝∠C，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠BAD，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，
∴∠B＝∠ADE＝∠BAD＝∠EDC＝∠C，
∴与∠ADE相等的角有∠EDC，∠BAD，∠B，∠C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定，明确角度的数量关系是解题的关键．
14．（1），见解析；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析
【分析】（1）先用判断出，得出，进而判断出，即可得出结论；
（2）同（1）的方法，即可得出结论；
（3）同（1）的方法，即可得出结论．
【详解】解：（1）理由如下：
∵，，
∴
在和中
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）成立，理由如下：
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴；
（3）成立，理由如下：
∵，，
∴
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出是解本题的关键．
15．（1）相等，见解析；（2）全等，见解析；（3）能，BE，AC，见解析
【分析】（1）利用同角的余角相等即可得出结论；
（2）利用AAS即可证出结论；
（3）根据全等三角形的性质可得AD=BC，AC=BE，然后根据AC=AB＋BC即可得出结论．
【详解】解：（1）相等，理由如下
∵∠DCE=90°，∠DAC=90°，
∴∠ECB＋∠ACD=90°，∠D＋∠ACD=90°
∴∠D=∠ECB；
（2）全等，理由如下
在△ADC和△BCE中
∴△ADC≌△BCE
（3）能，BE和AC，理由如下
∵△ADC≌△BCE
∴AD=BC，AC=BE
∵AC=AB＋BC
∴AC=AB＋AD
∴BE= AB＋AD
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握利用AAS判定两个三角形全等和全等三角形的对应边相等是解决此题的关键．
16．（1）△AEC，BD=CE；（2）BD=CE且BD⊥CE，理由见解析；（3）作图见解析，BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°．
【分析】（1）根据SAS证明两个三角形全等即可证明；
（2）通过条件证明△DAB≌△EAC（SAS），得到∠DBC+∠ECB=90°，即可证明BD⊥CE，从而得到结果；
（3）根据已知条件证明△DAC≌△BAE(SAS)，即可得到结论．
【详解】解：（1）∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，
∴∠DAE+∠EAB=∠BAC+∠EAB，
即，
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴BD=CE；
（2）BD=CE且BD⊥CE；
理由如下：因为∠DAE=∠BAC=90°，如图2．
所以∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE．
所以∠DAB=∠EAC．
在△DAB和△EAC中，
，
所以△DAB≌△EAC（SAS）．
所以BD=CE，∠DBA=∠ECA．
因为∠ECA+∠ECB+∠ABC=90°，
所以∠DBA+∠ECB+∠ABC=90°．
即∠DBC+∠ECB=90°．
所以∠BPC=180°-（∠DBC+∠ECB）=90°．
所以BD⊥CE．
综上所述：BD=CE且BD⊥CE．
（3）如图3所示，BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°．
由图可知，AD=AB，AE=AC，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即，
∴△DAC≌△BAE(SAS)，
∴BE=CD，，
又∵，
∴∠ADC+∠BDC=∠ABE+∠BDC=60°，
∴∠BPC=∠ABP+∠BDC+∠DBA=120°，
∴∠PBC+∠PCB=60°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的知识点应用，准确分析图形是解题的关键．
17．（1）60°；（2）∠DPE=a
【分析】（1）利用SAAS证得△ABE≌△CBD，利用全等三角形的性质得到∠AEB=∠CDB，再利用三角形内角和定义以及等边三角形的性质即可解答；
（2）利用SAAS证得△ABE≌△CBD，利用全等三角形的性质得到∠AEB=∠BDC，再利用三角形内角和定理即可完成.
【详解】（1）解：∵∠ABC=∠DBE
∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE
即∠ABE=∠CBD
在△ABE和△CBD中
∴△ABE≌△CBD（SAS）
∴∠AEB=∠CDB
∵∠ABC=∠DBE，AB=CB, BD=BE
∴△ABC和△EBD是等边三角形
∴∠BDE=∠EDB=60°
∵∠EDP+∠CDB=60°
∴∠EDP+∠AEB=60°
∵∠DPE+∠AEB+∠BED+∠EDP=180°
∴∠DPE=60°
故答案为60°
（2）如图：
∵∠ABC=∠DBE=a
∴∠ABC﹣∠EBC=∠DBE﹣∠EBC
即∠ABE=∠CBD
在△ABE和△CBD中
∴△ABE≌△CBD（SAS）
∴∠AEB=∠BDC
∵∠DQB+∠DBE+∠BDC=180°
∠EQP+∠DPE+∠AEB=180°
又∵∠DQB=∠EQP
∴∠DBE=∠DPE
∴∠DPE=a
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，还涉及了等边三角形的判定及性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
18．（1）见解析；（2）AE+CF＝EF，证明见解析；（3）AE﹣CF＝EF，证明见解析
【分析】（1）利用SAS定理证明△ABE≌△CBF；
（2）延长DC至点K，使CK＝AE，连接BK，分别证明△BAE≌△BCK、△KBF≌△EBF，根据全等三角形的性质、结合图形证明结论；
（3）延长DC至G，使CG＝AE，仿照（2）的证明方法解答．
【详解】（1）证明：在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
（2）解：AE+CF＝EF，
理由如下：延长DC至点K，使CK＝AE，连接BK，
在△BAE与△BCK中，
，
∴△BAE≌△BCK（SAS），
∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC，
∵∠FBE＝60°，∠ABC＝120°，
∴∠FBC+∠ABE＝60°，
∴∠FBC+∠KBC＝60°，
∴∠KBF＝∠FBE＝60°，
在△KBF与△EBF中，
，
∴△KBF≌△EBF（SAS），
∴KF＝EF，
∴AE+CF＝KC+CF＝KF＝EF；
（3）解：AE﹣CF＝EF，
理由如下：延长DC至G，使CG＝AE，
由（2）可知，△BAE≌△BCG（SAS），
∴BE＝BG，∠ABE＝∠GBC，
∠GBF＝∠GBC﹣∠FBC＝∠ABE﹣∠FBC＝120°+∠FBC﹣60°﹣∠FBC＝60°，
∴∠GBF＝∠EBF，
∵BG＝BE，∠GBF＝∠EBF，BF＝BF，
∴△GBF≌△EBF，
∴EF＝GF，
∴AE﹣CF＝CG﹣CF＝GF＝EF．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
19．（1）理由见解析；（2），理由见解析．
【分析】（1）由HL证明即可；
（2）由全等三角形的性质，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠CDE＝90°，
在与中，
，
∴；
（2）∵，
∴AD＝CD，
∴是等腰直角三角形，
∴∠ACD＝45°，
∴∠ECD＝∠ACD﹣∠ACE＝45°﹣22°＝23°，
∴∠CED＝90°﹣23°＝67°，
∴∠B＝∠CED＝67°．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定、几何图形中角度的计算、等腰直角三角形的性质；关键在于熟练掌握证明三角形全的方式方法、运用等腰直角三角形的性质．
20．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据SAS证明△ACD≌△CBE；
（2）根据三角形内角和定理求得∠ACD，再根据三角形全等的性质得到∠B=∠ACD．
【详解】（1）∵C是AB的中点，
∴AC＝CB，
∵CD//BE，
∴，
在△ACD和△CBE中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，解题关键是根据SAS证明△ACD≌△CBE．
21．(1)证明过程见解析
(2)成立，理由见解析
【分析】（1）先根据已知条件证明Rt△ACE≌Rt△DBF，可得CE=BF，再证Rt△CEG≌Rt△BFG，可得CG=BG，即EF平分线段BC．
（2）思路和第一小题相同，先证Rt△ACE≌Rt△DBF，可得CE=FB，再证Rt△CEG≌Rt△BFG，可得CG=BG，即EF平分线段BC．
【详解】（1）证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠ACE=∠DBF=90°，
∵AB=CD，
∴AB+BC=BC+CD，
即AC=DB，
在Rt△ACE和Rt△DBF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△DBF(HL)，
∴CE=FB，
在Rt△CEG和Rt△BFG中，
，
∴Rt△CEG≌Rt△BFG(AAS)，
∴CG=BG，
即EF平分线段BC．
（2）解：（1）中结论仍成立，理由如下∶
∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠ACE=∠DBF=90°，
∵AB=CD，
∴AB-BC=CD-BC，
即AC=DB，
在Rt△ACE和Rt△DBF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△DBF(HL)，
∴CE=FB，
在Rt△CEG和Rt△BFG中，
，
∴Rt△CEG≌Rt△BFG（AAS），
∴CG=BG，
即EF平分线段BC．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理和性质．
22．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据SAS证明△ADC≌△BEC即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】证明：（1）∵点C是线段AB的中点，
∴CA＝CB，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ADC≌△BEC（SAS）；
（2）∵△ADC≌△BEC，
∴DA＝EB．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．见解析
【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ECD，可得∠A=∠E=∠ACD．
【详解】证明：∵AB∥DC，
∴∠B＝∠ECD，∠A＝∠ACD．
在△ABC和△ECD中，
∴△ABC≌△ECD（SAS）．
∴∠A＝∠E．
∴∠ACD＝∠E．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABC≌△ECD是本题的关键．
24．（1）①=，= ②两结论依然成立，证明见解析 （2）EF=BE+AF
【分析】（1）①本题考查全等三角形的判定，可利用AAS定理进行解答；
②本题考查全等三角形判定，可通过三角形内角和定理运用AAS解答．
（2）本题考查全等三角形的判定，运用三角形内角和以及平角定义，通过AAS解答．
【详解】证明：（1）①∵∠BCA=90°，∠β=90°，
∴∠FCA+∠BCF=90°，∠FCA+∠CAF=90°，
∴∠BCF=∠CAF，
又∵∠BEC=∠CFA，CA=CB，
∴△BEC△CFA(AAS)，
∴BE=CF，CE=AF，
∴，
②在△FCA中，∠CFA+∠FCA+∠CAF=180°，
又∵∠BEC=∠CFA=∠β，∠β＋∠BCA=180°，
∴∠FCA+∠CAF=∠BCA，
∵∠BCA=∠BCE+∠FCA，
∴∠CAF=∠BCE，
∵CA=CB，
∴△BEC△CFA(AAS)，
∴BE=CF，CE=AF，
∴；
（2）在△BEC中，∠B+∠BEC+∠BCE=180°，
又∵∠BEC=∠CFA=∠β，∠BCE+∠BCA+∠ACF=180°，∠β=∠BCA，
∴∠B=∠ACF，
∵CA=CB，
∴△BEC△CFA(AAS)，
∴BE=CF，CE=AF，
EF=EC+CF=AF+BE．
【点睛】本题考查全等三角形证明以及性质的应用，并结合一定的探究思路，按照题目指引利用AAS判别定理解答即可．
25．（1）见解析；（2）60°．
【分析】（1）利用ASA证明△BAE≌△CED，可证AE=DE，后利用∠BAE+∠BEA=90°，证明∠BEA+∠CED=90°，问题得证；
（2）利用直角三角形的两个锐角互余，求解即可．
【详解】（1）∵，，且，
∴△BAE≌△CED，
∴AE=DE，
∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠BEA+∠CED=90°，
∴∠AED=90°，
∴△AED是等腰直角三角形；
（2）∵，，
∴，
∵∠CDE+∠CED=90°，
∴∠CDE=60°．
【点睛】本题考查了三角形的全等，等腰直角三角形的定义，直角三角形的锐角互余的性质，根据图形，结合条件选择对应判定方法，根据性质构造基本的计算等式是解题的关键．
26．32
【分析】根据AAS即可证明，根据全等三角形的对应边相等，得出，，所而，从而求出AD的长，则可得到的面积．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∴
∴，，
∵，
∴．
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，余角的性质等知识，熟悉相关性质是解题的关键．
27．（1）见解析；（2），见解析；（3）；（4）当，在的同测时，；当，在的异侧时，若，则，若，则
【分析】（1）在直角三角形中，由题中条件可得∠ABD=EAC，又有AB=AC，则有一个角及斜边相等，则可判定△BAD≌△AEC，由三角形全等可得三角形对应边相等，进而通过线段之间的转化，可得出结论；
（2）由题中条件同样可得出△BAD≌△AEC，得出对应线段相等，进而可得线段之间的关系；
（3）同（2）的方法即可得出结论．
（4）利用（1）（2）（3）即可得出结论．
【详解】解：（1）∵BD⊥AE，CE⊥AE
∴∠ADB=∠CEA=90°
∴∠ABD+∠BAD=90°
又∵∠BAC=90°
∴∠EAC+∠BAD=90°
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD与△ACE中
∴△ABD≌△ACE
∴BD=AE，AD=EC，
∴BD=DE+CE
（2）∵BD⊥AE，CE⊥AE
∴∠ADB=∠CEA=90°
∴∠ABD+∠BAD=90°
又∵∠BAC=90°
∴∠EAC+∠BAD=90°
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD与△ACE中
∴△ABD≌△ACE
∴BD=AE，AD=EC
∴BD=DE-CE，
（3）∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠EAC=90°，
又∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠EAC，
在△ABD与△CAE中，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE=BD+CE，
∴BD=DE-CE．
（4）归纳：由（1）（2）（3）可知：当B，C在AE的同侧时，若BD> CE,则BD= DE +CE,若BD> CE,则BD= DE +CE,若BD< CE,则BD= CE- DE.
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形全等的判定方法，余角的性质，线段的和差，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
28．（1）见详解；（2）DE＝BD＋CE．理由见详解
【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等，得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ABD≌△CAE；
（2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，就可以求出∠BAD＝∠ACE，进而由ASA就可以得出△ABD≌△CAE，就可以得出BD＝AE，DA＝CE，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图①，∵D，A，E三点都在直线m上，∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠BAD＋∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
（2）DE＝BD＋CE．理由如下：
如图②，∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，
∴由三角形内角和及平角性质，得：
∠BAD＋∠ABD＝∠BAD＋∠CAE＝∠CAE＋∠ACE，
∴∠ABD＝∠CAE，∠BAD＝∠ACE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（ASA），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AD＋AE＝BD＋CE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理的综合应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，灵活运用所学知识解决问题．
29．问题发现：，；拓展探究：成立，理由见解析
【分析】问题发现：根据题目条件证△ACE≌△DCB，再根据全等三角形的性质即可得出答案；
拓展探究：用SAS证，根据全等三角形的性质即可证得．
【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示：
∵，
∴，
又∵,
∴（SAS），
，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
故答案为：，；
拓展探究：成立．
理由如下：设与相交于点，如图1所示：
∵，
∴，
又∵，，
∴（SAS），
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，依然成立．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解决本题的关键．
30．（1）见解析（2）成立，理由见解析．
【分析】（1）根据等边三角形边长相等的性质和各内角为的性质可求得，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得．
（2）根据题意画出图形，证明方法与（1）相同．
【详解】解：（1）证明：如图1中，与都是等边三角形，
，，，
，
，，
即．
在和中，
，
(SAS)．
．
即AE=BD，
（2）成立；理由如下：
如图2中，、均为等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用及全等三角形的判定和性质的运用．解决本题的关键是证明三角形全等，属于中考常考题型．
31．（1）证明见解析；（2）∠ACE =62°；（3）∠CBA=6°．
【分析】(1)根据已知条件可以确定∠CAB =∠EAD，结合已知条件，用AAS可判定△ABC≌△ADE；
(2)由(1)中△ABC≌△ADE可得∠CBA=∠EDA ,AC=AE，在△MND和△ANB中，用三角形内角和定理由∠MND=∠ANB可得∠DAB=∠DMB=56°，即∠CAE =∠DAB=56°，由AC=AE，可得∠ACE =∠AEC=；
(3) 连接AM，先证(SAS),得到AM=AN,,进而可得,由(2)可知,根据等腰三角形内角和可得= ，由三角形外角定理可得=-= .
【详解】解：（1）∵∠CAE =∠DAB，
∴∠CAE +∠CAD =∠DAB +∠CAD，
即∠CAB =∠EAD，
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
（2）∵△ABC≌△ADE ，
∴∠CBA=∠EDA ,AC=AE ，
在△MND和△ANB中，
∵∠EDA +∠MND+∠DMB =，
∠CBA +∠ANB +∠DAB =，
又∵ ∠MND=∠ANB，
∴ ∠DAB=∠DMB=，
∴∠CAE =∠DAB=，
∵AC=AE，
∴∠ACE =∠AEC=，
∴∠ACE =，
（3）∠CBA=，
如图所示，连接AM，
,CN=EM,CA=EA,
(SAS),
AM=AN,,
=
即,
由(2)可得：,
=,
∠CAE =∠DAB=
=-= .
【点睛】本题综合考查了三角形的相关定理与证明，较为综合，熟练掌握三角形的内角和定理，外角定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键.
32．（1）BE＝CD；（2）BE＝CD，理由见解析．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得到：AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，再通过角的等量代换可证出∠CAD＝∠EAB，因此△CAD≌△EAB，即可求解．
（2）根据正方形的性质可得到：AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，再通过角的等量代换可证出∠CAD＝∠EAB，因此△CAD≌△EAB，即可求解．
【详解】解：（1）∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，
在△CAD和△EAB中，
∵，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE＝CD．
（2）BE＝CD，理由同（1），
∵四边形ABFD和ACGE均为正方形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，
∵在△CAD和△EAB中，
，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE＝CD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
33．∠B＝∠E
【分析】已知∠1＝∠2，就是已知∠ACB＝∠DCE，则根据三角形的判定定理“ASA”即可证得．
【详解】可以添加∠B＝∠E．
理由是：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BCE＝∠2+∠BCE，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA）．
故答案是：∠B＝∠E．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握“两角及夹边对应相等的两个三角形全等”是解题关键．
专题1.1�全等三角形七大基本模型 专项讲练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人
得分
一、单选题
1．如图，，，要说明，需添加的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知，若要使得，则添加的一个条件不能是（ ）
A． B．
C．AB=DC D．AC=DB
3．如图，△ABC和△AED共顶点A，AD＝AC，∠1＝∠2，∠B＝∠E． BC交AD于M，DE交AC于N，甲说：“一定有△ABC≌△AED．”乙说：“△ABM≌△AEN．”那么（ ）
A．甲、乙都对 B．甲、乙都不对 C．甲对、乙不对 D．甲不对、乙对
4．如图，在等腰直角三角形中，，点B在直线l上，过A作于D，过C作于E．下列给出四个结论：①；②与互余；③．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
5．如图，在△ABC和△CDE中，若∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，CE＝AC，则下列结论中正确的是（ ）
A．E为BC中点 B．2BE＝CD C．CB＝CD D．△ABC≌△CDE
评卷人
得分
二、解答题
6．如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB // DE，AB = DE，∠A = ∠D．
（1）求证：；
（2）若BF = 11，EC = 5，求BE的长．
7．如图1，A，B，C，D在同一直线上，，，且，求证：．
如果将BD沿着AC边的方向平行移动，如图2、图3，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
8．如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O，
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．
9．如图，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，AM⊥CD于M，AN⊥BE于N．求证：AM＝AN．
10．如图，，
求证：（1）；
（2）．
11．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．
(1)当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；
(2)将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
12．已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作，使，连接BD，CE．
（1）如图①，若，，，求证；
（2）如图②，若，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由．
13．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．
(1)如图1，求证：BD＝CE；
(2)如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）．
14．已知：，，，．
（1）试猜想线段与的位置关系，并证明你的结论．
（2）若将沿方向平移至图2情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由．
（3）若将沿方向平移至图3情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由．
15．如图，已知∠DCE=90°，∠DAC=90°，BE⊥AC于B，且DC=EC．
（1）∠D和∠ECB相等吗？若相等，请说明理由；
（2）△ADC≌△BCE吗？若全等，请说明理由；
（3）能否找到与AB+AD相等的线段，并说明理由。
16．在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型” 兴趣小组进行了如下探究：
（1）如图1，两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是 ，此时BD和CE的数量关系是 ；
（2）如图2，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图3，已知△ABC，请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数．
17．如图, AB=CB, BD=BE, ∠ABC=∠DBE=a.
（1）当a=60°, 如图①则，∠DPE的度数______________
（2）若△BDE绕点B旋转一定角度，如图②所示，求∠DPE（用a表示）
18．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：△ABE≌△CBF．
（2）当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，如图2，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
（3）当∠MBN绕点B旋转到图3这种情况下，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
19．在中，于点D，点E为AD上一点，连接CE，CE＝AB，ED＝BD．
（1）求证：；
（2）若，则的度数为 ．
20．如图，已知点是的中点，CD//BE，且．
（1）求证：△ACD≌△CBE．
（2）若，求∠B的度数．
21．如图①，点A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，作EC⊥AD于点C，FB⊥AD于点B，且AE＝DF．
(1)求证：EF平分线段BC；
(2)若将△BFD沿AD方向平移得到图②时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．
22．已知：如图，点C是线段AB的中点，CD=CE，∠ACD=∠BCE，求证：
（1）△ADC≌△BEC；
（2）DA=EB．
23．已知：如图，C为线段BE上一点，AB∥DC，AB＝EC，BC＝CD．求证：∠ACD＝∠E．
24．CD是经过∠BCA定点C的一条直线，CA=CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠β．
（1）若直线CD经过∠BCA内部，且E、F在射线CD上，
①若∠BCA=90°，∠β=90°，例如左边图，则BE CF，EF |BE - AF|
（填“＞”，“＜”，“＝”）；
②若0°＜∠BCA＜180°，且∠β＋∠BCA=180°，例如中间图，①中的两个结论还成立吗？并说明理由；
（2）如右边图，若直线CD经过∠BCA外部，且∠β=∠BCA，请直接写出线段EF、BE、AF的数量关系（不需要证明）．
25．如图，，，且．
（1）试说明：是等腰直角三角形；
（2）若，求的度数．
26．将的直角顶点置于直线上，，分别过点 、作直线的垂线，垂足分别为点、，连接．若， ．求的面积．
27．如图（1），已知中，，；是过的一条直线，且，在的异侧，于，于．
（1）求证：；
（2）若直线绕点旋转到图（2）位置时（），其余条件不变，问与，的数量关系如何？请给予证明．
（3）若直线绕点旋转到图（3）位置时（），其余条件不变，问与，的数量关系如何？请直接写出结果，不需证明；
（4）根据以上的讨论，请用简洁的语言表达直线在不同位置时与，的位置关系．
28．已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作，使，连接BD，CE．
（1）如图①，若，，，求证；
（2）如图②，若，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由．
29．问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______．
拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
30．如图，，，三点在一条直线上，和均为等边三角形，与交于点，与交于点．
（1）求证：；
（2）若把绕点任意旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
31．已知：如图1，在和中，，，．
（1）请说明．
（2）如图2，连接和，，与分别交于点和，，求的度数．
（3）在（2）的条件下，若，请直接写出的度数．
32．（1）作图发现
如图1，已知△ABC，小涵同学以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE．连接BE，CD．这时他发现BE与CD的数量关系是 ．
（2）拓展探究
如图2．已知△ABC，小涵同学以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，试判断BE与CD之间的数量关系，并说明理由．
评卷人
得分
三、填空题
33．如图，，，请补充一个条件： ，能使用“ASA”方法判定．
参考答案：
1．C
【分析】直接根据三角形证明全等的条件进行判断即可；
【详解】A、∵AB∥DE，∴∠ABC=∠DEC，∴根据ASA即可判定三角形全等，故此选项不符合题意；
B、∵AC∥DF，∴∠DFE=∠ACB，∴根据AAS即可判定三角形全等，故此选项不符合题意；
C、AC⊥DE，不符合三角形全等的证明条件，故此选项符合题意；
D、∵AC=DF，∴根据SAS即可判定三角形全等，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形证明全等所需添加的条件，正确掌握知识点是解题的关键；
2．C
【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断，即可得出结论．
【详解】解：∵，BC＝CB，
A、当添加∠A＝∠D时，可利用“AAS”判断△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；
B、当添加时，可利用“ASA”判断△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；
C、当添加AB=DC时，利用“SSA”不能判断△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；
D、当添加AC=DB时，可利用“SAS”判断△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
3．A
【分析】利用AAS判定△ABC≌△AED，则可得到AB=AE，再利用ASA判定△ABM≌△AEN．
【详解】∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠MAC＝∠2+∠MAC，
∴∠BAC＝∠EAD，
在△BAC和△EAD中，
,
∴△BAC≌△EAD，
∴甲说的正确；
∵△BAC≌△EAD（AAS），
∴AB=AE，
在△BAM和△EAN中，
,
∴△BAM≌△EAN（ASA），
∴乙说的正确；
故选A．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，根据题目的特点，补充适当条件，活用判定定理是解题的关键．
4．D
【分析】证△ADB≌△BEC即可．
【详解】证明：∵， ，
∴∠ADB=∠BEC=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∵，
∴∠ABD+∠CBE=90°，
∴∠BAD=∠CBE，
∴∠BCE+∠BAD=90°，故②正确；
∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠BEC=90°，
∴△ADB≌△BEC，
∴，AD=BE，故①正确；
DE=DB+BE=CE+AD，故③正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是找到并证明全等三角形．
5．D
【分析】首先利用HL定理证明Rt△ABC≌Rt△CDE，然后根据全等三角形的性质，即可一一判断．
【详解】解：∵∠ACB＝∠CED＝90°
在Rt△ABC与Rt△CDE中，，
∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL），
∴CB＝DE，CE＝AC，CD＝AB，△ABC≌△CDE，故D符合题意，其他选项不符合题意
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握HL定理判定三角形全等是解题关键
6．（1）见解析；（2）BE=3．
【分析】（1）根据平行线的性质由AB∥DE得到∠ABC＝∠DEF，然后根据“ASA”可判断△ABC≌△DEF；
（2）根据三角形全等的性质可得BC＝EF，由此可求出BE＝CF，则利用线段的和差关系求出BE．
【详解】（1）证明：∵AB∥DE
∴∠ABC＝∠DEF
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）
（2）解：∵△ABC≌△DEF
∴BC＝EF
∴BC－EC＝EF－EC
即BE＝CF
∵BF＝11，EC＝5
∴BF－EC＝6
∴BE＋CF＝6
∴BE＝3
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．
7．证明见解析，依然成立，证明见解析
【详解】解析：可以根据已知条件，利用SAS判定．如果将BD沿着AC边的方向平行移动，如图2、图3，其余条件不变，结论仍然成立．可以利用全等三角形的常用判定方法进行验证．
答案：解：证明：∵，
∴，
即．∴，∴．
在和中，
∴（SAS）．
在图2、图3中结论依然成立．
如在图3中，∵，
∴，
即，∵，∴．
在和中，
∴（SAS）
易错：认为平移后图2、图3中的两个三角形不全等．
错因：平移性质及三角形全等的判定没有掌握．
满分备考：平移和旋转变换是寻找全等三角形及其对应边角的一个特殊方法，在涉及的题目中应用可以防止出错．
8．（1）见解析；（2）78°
【分析】（1）由AE＝DB得出AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE，利用HL即可证明Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）根据直角三角形的两锐角互余得∠ABC＝39°，根据全等三角形的性质得∠ABC＝∠DEF＝39°，由三角形外角的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵AE＝DB，
∴AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE．
又∵∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF．
（2）∵∠C＝90°，∠A＝51°，
∴∠ABC＝∠C－∠A＝90°－51°＝39°．
由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF．
∴∠DEF＝39°．
∴∠BOF＝∠ABC＋∠BEF＝39°＋39°＝78°．
【点睛】本题主要考查直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
9．见解析
【分析】通过SAS证明△DBC≌△EBC，再通过AAS证明△AMD≌△ANE，即可求解．
【详解】解：∵AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD＝BD＝AE＝EC，∠B＝∠C，
在△DBC和△EBC中
∴△DBC≌△EBC（SAS）
∴∠BDC＝∠BDE，
∵∠BDC＝∠ADM，∠BEC＝∠AEN，
∴∠ADM＝∠AEN，
在△AMD和△ANE中
∵
∴△AMD≌△ANE（AAS）
∴AM＝AN．
【点睛】本题考查三角形全等的判断和性质，灵活运用三角形判断是解题的关键．
10．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据垂直得到，求出，即可得到结果；
（2）设交于，交于，根据全等三角形的性质得到，再根据已知条件转换即可；
【详解】证明：，，
，
，
，
在和中，，
；
如图，设交于，交于，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确证明是解题的关键．
11．(1)，证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）延长BD与EC交于点F，可以证明△ACE≌△ADB，可得BD=CE，且∠BFE=90°，进而结论得证；
（2）延长BD交CE于F，证明△ABD≌△ACE，则BD=CE、∠ABF=∠ECA；根据∠ABF=∠HCF以及三角形内角和定理可证得∠BHC=90°．
【详解】（1）证明：延长BD交CE于F，
在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠AEC+∠ACE＝90°，
∴∠ABD+∠AEC＝90°，
∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD，
∴．
（2）证明：延长BD交CE于F，
∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°，
∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，证得△ACE≌△ADB和△ABD≌△ACE是解决问题的关键．
12．（1）见详解；（2）DE＝BD＋CE．理由见详解
【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等，得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ABD≌△CAE；
（2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，就可以求出∠BAD＝∠ACE，进而由ASA就可以得出△ABD≌△CAE，就可以得出BD＝AE，DA＝CE，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图①，∵D，A，E三点都在直线m上，∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠BAD＋∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
（2）DE＝BD＋CE．理由如下：
如图②，∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，
∴由三角形内角和及平角性质，得：
∠BAD＋∠ABD＝∠BAD＋∠CAE＝∠CAE＋∠ACE，
∴∠ABD＝∠CAE，∠BAD＝∠ACE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（ASA），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AD＋AE＝BD＋CE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理的综合应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，灵活运用所学知识解决问题．
13．(1)见解析
(2)∠EDC，∠BAD，∠B，∠C
【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△DCE，可得BD=CE；
（2）由全等三角形的性质可得∠B=∠C，由三角形的外角性质和角平分线的性质可求解．
【详解】（1）证明：在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（SAS），
∴BD＝CE．
（2）解：∵△ABD≌△DCE，
∴∠B＝∠C，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠BAD，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，
∴∠B＝∠ADE＝∠BAD＝∠EDC＝∠C，
∴与∠ADE相等的角有∠EDC，∠BAD，∠B，∠C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定，明确角度的数量关系是解题的关键．
14．（1），见解析；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析
【分析】（1）先用判断出，得出，进而判断出，即可得出结论；
（2）同（1）的方法，即可得出结论；
（3）同（1）的方法，即可得出结论．
【详解】解：（1）理由如下：
∵，，
∴
在和中
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）成立，理由如下：
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴；
（3）成立，理由如下：
∵，，
∴
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出是解本题的关键．
15．（1）相等，见解析；（2）全等，见解析；（3）能，BE，AC，见解析
【分析】（1）利用同角的余角相等即可得出结论；
（2）利用AAS即可证出结论；
（3）根据全等三角形的性质可得AD=BC，AC=BE，然后根据AC=AB＋BC即可得出结论．
【详解】解：（1）相等，理由如下
∵∠DCE=90°，∠DAC=90°，
∴∠ECB＋∠ACD=90°，∠D＋∠ACD=90°
∴∠D=∠ECB；
（2）全等，理由如下
在△ADC和△BCE中
∴△ADC≌△BCE
（3）能，BE和AC，理由如下
∵△ADC≌△BCE
∴AD=BC，AC=BE
∵AC=AB＋BC
∴AC=AB＋AD
∴BE= AB＋AD
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握利用AAS判定两个三角形全等和全等三角形的对应边相等是解决此题的关键．
16．（1）△AEC，BD=CE；（2）BD=CE且BD⊥CE，理由见解析；（3）作图见解析，BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°．
【分析】（1）根据SAS证明两个三角形全等即可证明；
（2）通过条件证明△DAB≌△EAC（SAS），得到∠DBC+∠ECB=90°，即可证明BD⊥CE，从而得到结果；
（3）根据已知条件证明△DAC≌△BAE(SAS)，即可得到结论．
【详解】解：（1）∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，
∴∠DAE+∠EAB=∠BAC+∠EAB，
即，
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴BD=CE；
（2）BD=CE且BD⊥CE；
理由如下：因为∠DAE=∠BAC=90°，如图2．
所以∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE．
所以∠DAB=∠EAC．
在△DAB和△EAC中，
，
所以△DAB≌△EAC（SAS）．
所以BD=CE，∠DBA=∠ECA．
因为∠ECA+∠ECB+∠ABC=90°，
所以∠DBA+∠ECB+∠ABC=90°．
即∠DBC+∠ECB=90°．
所以∠BPC=180°-（∠DBC+∠ECB）=90°．
所以BD⊥CE．
综上所述：BD=CE且BD⊥CE．
（3）如图3所示，BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°．
由图可知，AD=AB，AE=AC，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即，
∴△DAC≌△BAE(SAS)，
∴BE=CD，，
又∵，
∴∠ADC+∠BDC=∠ABE+∠BDC=60°，
∴∠BPC=∠ABP+∠BDC+∠DBA=120°，
∴∠PBC+∠PCB=60°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的知识点应用，准确分析图形是解题的关键．
17．（1）60°；（2）∠DPE=a
【分析】（1）利用SAAS证得△ABE≌△CBD，利用全等三角形的性质得到∠AEB=∠CDB，再利用三角形内角和定义以及等边三角形的性质即可解答；
（2）利用SAAS证得△ABE≌△CBD，利用全等三角形的性质得到∠AEB=∠BDC，再利用三角形内角和定理即可完成.
【详解】（1）解：∵∠ABC=∠DBE
∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE
即∠ABE=∠CBD
在△ABE和△CBD中
∴△ABE≌△CBD（SAS）
∴∠AEB=∠CDB
∵∠ABC=∠DBE，AB=CB, BD=BE
∴△ABC和△EBD是等边三角形
∴∠BDE=∠EDB=60°
∵∠EDP+∠CDB=60°
∴∠EDP+∠AEB=60°
∵∠DPE+∠AEB+∠BED+∠EDP=180°
∴∠DPE=60°
故答案为60°
（2）如图：
∵∠ABC=∠DBE=a
∴∠ABC﹣∠EBC=∠DBE﹣∠EBC
即∠ABE=∠CBD
在△ABE和△CBD中
∴△ABE≌△CBD（SAS）
∴∠AEB=∠BDC
∵∠DQB+∠DBE+∠BDC=180°
∠EQP+∠DPE+∠AEB=180°
又∵∠DQB=∠EQP
∴∠DBE=∠DPE
∴∠DPE=a
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，还涉及了等边三角形的判定及性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
18．（1）见解析；（2）AE+CF＝EF，证明见解析；（3）AE﹣CF＝EF，证明见解析
【分析】（1）利用SAS定理证明△ABE≌△CBF；
（2）延长DC至点K，使CK＝AE，连接BK，分别证明△BAE≌△BCK、△KBF≌△EBF，根据全等三角形的性质、结合图形证明结论；
（3）延长DC至G，使CG＝AE，仿照（2）的证明方法解答．
【详解】（1）证明：在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
（2）解：AE+CF＝EF，
理由如下：延长DC至点K，使CK＝AE，连接BK，
在△BAE与△BCK中，
，
∴△BAE≌△BCK（SAS），
∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC，
∵∠FBE＝60°，∠ABC＝120°，
∴∠FBC+∠ABE＝60°，
∴∠FBC+∠KBC＝60°，
∴∠KBF＝∠FBE＝60°，
在△KBF与△EBF中，
，
∴△KBF≌△EBF（SAS），
∴KF＝EF，
∴AE+CF＝KC+CF＝KF＝EF；
（3）解：AE﹣CF＝EF，
理由如下：延长DC至G，使CG＝AE，
由（2）可知，△BAE≌△BCG（SAS），
∴BE＝BG，∠ABE＝∠GBC，
∠GBF＝∠GBC﹣∠FBC＝∠ABE﹣∠FBC＝120°+∠FBC﹣60°﹣∠FBC＝60°，
∴∠GBF＝∠EBF，
∵BG＝BE，∠GBF＝∠EBF，BF＝BF，
∴△GBF≌△EBF，
∴EF＝GF，
∴AE﹣CF＝CG﹣CF＝GF＝EF．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
19．（1）理由见解析；（2），理由见解析．
【分析】（1）由HL证明即可；
（2）由全等三角形的性质，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠CDE＝90°，
在与中，
，
∴；
（2）∵，
∴AD＝CD，
∴是等腰直角三角形，
∴∠ACD＝45°，
∴∠ECD＝∠ACD﹣∠ACE＝45°﹣22°＝23°，
∴∠CED＝90°﹣23°＝67°，
∴∠B＝∠CED＝67°．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定、几何图形中角度的计算、等腰直角三角形的性质；关键在于熟练掌握证明三角形全的方式方法、运用等腰直角三角形的性质．
20．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据SAS证明△ACD≌△CBE；
（2）根据三角形内角和定理求得∠ACD，再根据三角形全等的性质得到∠B=∠ACD．
【详解】（1）∵C是AB的中点，
∴AC＝CB，
∵CD//BE，
∴，
在△ACD和△CBE中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，解题关键是根据SAS证明△ACD≌△CBE．
21．(1)证明过程见解析
(2)成立，理由见解析
【分析】（1）先根据已知条件证明Rt△ACE≌Rt△DBF，可得CE=BF，再证Rt△CEG≌Rt△BFG，可得CG=BG，即EF平分线段BC．
（2）思路和第一小题相同，先证Rt△ACE≌Rt△DBF，可得CE=FB，再证Rt△CEG≌Rt△BFG，可得CG=BG，即EF平分线段BC．
【详解】（1）证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠ACE=∠DBF=90°，
∵AB=CD，
∴AB+BC=BC+CD，
即AC=DB，
在Rt△ACE和Rt△DBF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△DBF(HL)，
∴CE=FB，
在Rt△CEG和Rt△BFG中，
，
∴Rt△CEG≌Rt△BFG(AAS)，
∴CG=BG，
即EF平分线段BC．
（2）解：（1）中结论仍成立，理由如下∶
∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠ACE=∠DBF=90°，
∵AB=CD，
∴AB-BC=CD-BC，
即AC=DB，
在Rt△ACE和Rt△DBF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△DBF(HL)，
∴CE=FB，
在Rt△CEG和Rt△BFG中，
，
∴Rt△CEG≌Rt△BFG（AAS），
∴CG=BG，
即EF平分线段BC．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理和性质．
22．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据SAS证明△ADC≌△BEC即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】证明：（1）∵点C是线段AB的中点，
∴CA＝CB，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ADC≌△BEC（SAS）；
（2）∵△ADC≌△BEC，
∴DA＝EB．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．见解析
【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ECD，可得∠A=∠E=∠ACD．
【详解】证明：∵AB∥DC，
∴∠B＝∠ECD，∠A＝∠ACD．
在△ABC和△ECD中，
∴△ABC≌△ECD（SAS）．
∴∠A＝∠E．
∴∠ACD＝∠E．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABC≌△ECD是本题的关键．
24．（1）①=，= ②两结论依然成立，证明见解析 （2）EF=BE+AF
【分析】（1）①本题考查全等三角形的判定，可利用AAS定理进行解答；
②本题考查全等三角形判定，可通过三角形内角和定理运用AAS解答．
（2）本题考查全等三角形的判定，运用三角形内角和以及平角定义，通过AAS解答．
【详解】证明：（1）①∵∠BCA=90°，∠β=90°，
∴∠FCA+∠BCF=90°，∠FCA+∠CAF=90°，
∴∠BCF=∠CAF，
又∵∠BEC=∠CFA，CA=CB，
∴△BEC△CFA(AAS)，
∴BE=CF，CE=AF，
∴，
②在△FCA中，∠CFA+∠FCA+∠CAF=180°，
又∵∠BEC=∠CFA=∠β，∠β＋∠BCA=180°，
∴∠FCA+∠CAF=∠BCA，
∵∠BCA=∠BCE+∠FCA，
∴∠CAF=∠BCE，
∵CA=CB，
∴△BEC△CFA(AAS)，
∴BE=CF，CE=AF，
∴；
（2）在△BEC中，∠B+∠BEC+∠BCE=180°，
又∵∠BEC=∠CFA=∠β，∠BCE+∠BCA+∠ACF=180°，∠β=∠BCA，
∴∠B=∠ACF，
∵CA=CB，
∴△BEC△CFA(AAS)，
∴BE=CF，CE=AF，
EF=EC+CF=AF+BE．
【点睛】本题考查全等三角形证明以及性质的应用，并结合一定的探究思路，按照题目指引利用AAS判别定理解答即可．
25．（1）见解析；（2）60°．
【分析】（1）利用ASA证明△BAE≌△CED，可证AE=DE，后利用∠BAE+∠BEA=90°，证明∠BEA+∠CED=90°，问题得证；
（2）利用直角三角形的两个锐角互余，求解即可．
【详解】（1）∵，，且，
∴△BAE≌△CED，
∴AE=DE，
∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠BEA+∠CED=90°，
∴∠AED=90°，
∴△AED是等腰直角三角形；
（2）∵，，
∴，
∵∠CDE+∠CED=90°，
∴∠CDE=60°．
【点睛】本题考查了三角形的全等，等腰直角三角形的定义，直角三角形的锐角互余的性质，根据图形，结合条件选择对应判定方法，根据性质构造基本的计算等式是解题的关键．
26．32
【分析】根据AAS即可证明，根据全等三角形的对应边相等，得出，，所而，从而求出AD的长，则可得到的面积．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∴
∴，，
∵，
∴．
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，余角的性质等知识，熟悉相关性质是解题的关键．
27．（1）见解析；（2），见解析；（3）；（4）当，在的同测时，；当，在的异侧时，若，则，若，则
【分析】（1）在直角三角形中，由题中条件可得∠ABD=EAC，又有AB=AC，则有一个角及斜边相等，则可判定△BAD≌△AEC，由三角形全等可得三角形对应边相等，进而通过线段之间的转化，可得出结论；
（2）由题中条件同样可得出△BAD≌△AEC，得出对应线段相等，进而可得线段之间的关系；
（3）同（2）的方法即可得出结论．
（4）利用（1）（2）（3）即可得出结论．
【详解】解：（1）∵BD⊥AE，CE⊥AE
∴∠ADB=∠CEA=90°
∴∠ABD+∠BAD=90°
又∵∠BAC=90°
∴∠EAC+∠BAD=90°
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD与△ACE中
∴△ABD≌△ACE
∴BD=AE，AD=EC，
∴BD=DE+CE
（2）∵BD⊥AE，CE⊥AE
∴∠ADB=∠CEA=90°
∴∠ABD+∠BAD=90°
又∵∠BAC=90°
∴∠EAC+∠BAD=90°
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD与△ACE中
∴△ABD≌△ACE
∴BD=AE，AD=EC
∴BD=DE-CE，
（3）∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠EAC=90°，
又∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠EAC，
在△ABD与△CAE中，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE=BD+CE，
∴BD=DE-CE．
（4）归纳：由（1）（2）（3）可知：当B，C在AE的同侧时，若BD> CE,则BD= DE +CE,若BD> CE,则BD= DE +CE,若BD< CE,则BD= CE- DE.
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形全等的判定方法，余角的性质，线段的和差，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
28．（1）见详解；（2）DE＝BD＋CE．理由见详解
【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等，得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ABD≌△CAE；
（2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，就可以求出∠BAD＝∠ACE，进而由ASA就可以得出△ABD≌△CAE，就可以得出BD＝AE，DA＝CE，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图①，∵D，A，E三点都在直线m上，∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠BAD＋∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
（2）DE＝BD＋CE．理由如下：
如图②，∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，
∴由三角形内角和及平角性质，得：
∠BAD＋∠ABD＝∠BAD＋∠CAE＝∠CAE＋∠ACE，
∴∠ABD＝∠CAE，∠BAD＝∠ACE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（ASA），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AD＋AE＝BD＋CE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理的综合应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，灵活运用所学知识解决问题．
29．问题发现：，；拓展探究：成立，理由见解析
【分析】问题发现：根据题目条件证△ACE≌△DCB，再根据全等三角形的性质即可得出答案；
拓展探究：用SAS证，根据全等三角形的性质即可证得．
【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示：
∵，
∴，
又∵,
∴（SAS），
，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
故答案为：，；
拓展探究：成立．
理由如下：设与相交于点，如图1所示：
∵，
∴，
又∵，，
∴（SAS），
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，依然成立．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解决本题的关键．
30．（1）见解析（2）成立，理由见解析．
【分析】（1）根据等边三角形边长相等的性质和各内角为的性质可求得，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得．
（2）根据题意画出图形，证明方法与（1）相同．
【详解】解：（1）证明：如图1中，与都是等边三角形，
，，，
，
，，
即．
在和中，
，
(SAS)．
．
即AE=BD，
（2）成立；理由如下：
如图2中，、均为等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用及全等三角形的判定和性质的运用．解决本题的关键是证明三角形全等，属于中考常考题型．
31．（1）证明见解析；（2）∠ACE =62°；（3）∠CBA=6°．
【分析】(1)根据已知条件可以确定∠CAB =∠EAD，结合已知条件，用AAS可判定△ABC≌△ADE；
(2)由(1)中△ABC≌△ADE可得∠CBA=∠EDA ,AC=AE，在△MND和△ANB中，用三角形内角和定理由∠MND=∠ANB可得∠DAB=∠DMB=56°，即∠CAE =∠DAB=56°，由AC=AE，可得∠ACE =∠AEC=；
(3) 连接AM，先证(SAS),得到AM=AN,,进而可得,由(2)可知,根据等腰三角形内角和可得= ，由三角形外角定理可得=-= .
【详解】解：（1）∵∠CAE =∠DAB，
∴∠CAE +∠CAD =∠DAB +∠CAD，
即∠CAB =∠EAD，
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
（2）∵△ABC≌△ADE ，
∴∠CBA=∠EDA ,AC=AE ，
在△MND和△ANB中，
∵∠EDA +∠MND+∠DMB =，
∠CBA +∠ANB +∠DAB =，
又∵ ∠MND=∠ANB，
∴ ∠DAB=∠DMB=，
∴∠CAE =∠DAB=，
∵AC=AE，
∴∠ACE =∠AEC=，
∴∠ACE =，
（3）∠CBA=，
如图所示，连接AM，
,CN=EM,CA=EA,
(SAS),
AM=AN,,
=
即,
由(2)可得：,
=,
∠CAE =∠DAB=
=-= .
【点睛】本题综合考查了三角形的相关定理与证明，较为综合，熟练掌握三角形的内角和定理，外角定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键.
32．（1）BE＝CD；（2）BE＝CD，理由见解析．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得到：AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，再通过角的等量代换可证出∠CAD＝∠EAB，因此△CAD≌△EAB，即可求解．
（2）根据正方形的性质可得到：AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，再通过角的等量代换可证出∠CAD＝∠EAB，因此△CAD≌△EAB，即可求解．
【详解】解：（1）∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，
在△CAD和△EAB中，
∵，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE＝CD．
（2）BE＝CD，理由同（1），
∵四边形ABFD和ACGE均为正方形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，
∵在△CAD和△EAB中，
，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE＝CD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
33．∠B＝∠E
【分析】已知∠1＝∠2，就是已知∠ACB＝∠DCE，则根据三角形的判定定理“ASA”即可证得．
【详解】可以添加∠B＝∠E．
理由是：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BCE＝∠2+∠BCE，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA）．
故答案是：∠B＝∠E．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握“两角及夹边对应相等的两个三角形全等”是解题关键．
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